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用频率估计概率知识精讲【知识回顾】概率 事件发生的可能性，也称为事件发生的概率.利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果;从而较方便地求出某些事件发生的概率.用树状图和列表的方法求概率时应注意各种结果出现的可能性务必相同.频数，频率在考察中，每个对象出现的次数称为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率.当试验次数很大时，一个事件发生的频率稳定在相应的概率附近.因此，我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率. 概率是对随机现象的一种数学描述，它可以帮助我们更好地认识随机现象，并对生活中的一些不确定情况作出自己的决策.从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是偶然的，但多次观察某个随机现象，立即可以发现：在大量的偶然之中存在着必然的规律.例1. 要知道一个鱼缸里有多少条鱼，只要数一数就可以了.但要估计一个鱼塘里有多少条鱼，该怎么办呢?先考虑一个比较简单的问题：问题1一个口袋中有8个黑球和若干个白球，如果不许将球倒出来数，那么你能估计出其中的白球数吗? 方法1从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中.不断重复上述过程.我共摸了200次，其中有57次摸到黑球，因此我估计口袋中大约有20个白球.假设口袋中有x个白球，通过多次试验，我们可以估计出从口袋中随机摸出一球，它为黑球的概率；另一方面，这个概率又应等于8/(8+x)，据此可估计出白球数x. 这是一种方案，你能理解并运用到实践中吗?方法2利用抽样调查的方法，从口袋中一次随机摸出10个球，求出其中黑球数与10的比值，再把它放回口袋中.不断重复上述过程.我总共摸了20次，黑球数与10的比值的平均数为0.25，因此我估计口袋中大约有24个白球.假设口袋中有x个白球，通过多次抽样调查，求出样本中黑球与总球数比值的“平均水平”，这个“平均水平”就接近于8/(8+x)，据此，我们可以估计出白球数x的值。这又是一种方案，你能理解并运用到实践中吗?相比较而言，方法2更具有现实意义.当然，当总数较小时，用方法2估计，其精确度可能较差，但对于许多实际问题（其总数往往较大），这种精确度是允许的，而且这种方法方便可行。问题2如果口袋中只有若干个白球，没有其它颜色的球，而且不允许将球倒出来数，那么你如何估计出其中的白球数呢?可以向口袋中另放几个黑球，也可以从口袋中抽出几个球并把它们染成黑色或做上标记 现在，你能设计一个方案估计某鱼塘中鱼的总数了吗?从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是偶然的，但多次观察某个随机现象，立即可以发现：在大量的偶然之中存在着必然的规律。 例2. 在有一个10万人的小镇，随机调查了2000人，其中有250人看中央电视台的早间新闻.在该镇随便问一个人，他看早间新闻的概率大约是多少?该镇看中央电视台早间新闻的大约是多少人?解：根据概率的意义，可以认为其概率大约等于250/20000.125.该镇约有1000000.12512500人看中央电视台的早间新闻.用摸拟试验的方法求无放回事件概率例3. 一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是09这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开.粗心的小明忘了其中中间的两个数字，他一次就能打开该锁的概率是多少?解：其概率为1/100. 第一次从09这10个数字中抽取1个数字，其概率为1/10；第二次仍从09中抽取第二个数字，其概率仍为1/10.故概率为1/100.例4. 为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获n条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘。再从鱼塘中打捞a条鱼，如果在这a条鱼中有b条鱼是有记号的，则鱼塘中鱼的条数可估计为an/b.你认为这种估计方法有道理吗?为什么?解：有道理.设有x条鱼，则有n/xb/a，解得xan/b.例5. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复. 下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数1001502005008001000摸到白球的次数5896116295484601摸到白球的频率0.580.640.580.590.6050.601请估计：当很大时， 摸到白球的频率将会接近 ；假如你去摸一次， 你摸到白球的概率是， 摸到黑球的概率是 ；试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只?答案：（1）0.6； （2）0.6； 0.4； （3）8，12.例6. 小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC。为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为a米的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：你能否求出封闭图形ABC的面积？ 解：随着投掷石子的次数的增加，投在O内石子的频率稳定在0.5，因此可以认为阴影部分的面积和O的面积相等，所以封闭图形ABC的面积因该是O面积的2倍，即封闭图形ABC的面积为2a2平方米。调查活动：到相关部门查询一下当地的汽车总数，组成合作小组，设计一个方案估计一下当地某种汽车的数量，并继续查询有关机关，检验你们的估计结果.同班交流各组结果，讨论如何获得更为精确的估计值. 概率练习题基础演练1、某市气象局预报称：明天本市的降水概率为70%，这句话指的是 （ ）A. 明天本市70%的时间下雨，30%的时间不下雨 B. 明天本市70%的地区下雨，30%的地区不下雨 C. 明天本市一定下雨 D. 明天本市下雨的可能性是70%2、小明的书包里共有外观、质量完全一样的5本作业簿，其中语文2本，数学2本，英语1本，那么小明从书包里随机抽出一本，是数学作业本的概率为（ ）A. B. C. D. 3、某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为110号共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答。在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号，7号题，第3位选手抽中8号题的概率是（ ）。A. B. C. D. 4、现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）.用小莉掷A立方体朝上的数字为、小明掷B立方体朝上的数字为来确定点P（），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知直线上的概率为（ ）A. B. C. D. 5、一个均匀的立方体各面上分别标有数字1，2，3，4，6，8，其表面展开图是如图所示，抛掷这个立方体，则朝上一面的数字恰好等于朝下一面上的数字的2倍的概率是（ ）A. B. C. D. 6、在拼图游戏中，从图1的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“小房子”（如图2）的概率等于（ ）A、1B、C、D、7、某商场在“五一”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的红色、白色乒乓球各两个顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖那么顾客摸奖一次，得奖的概率是 。8、如图是由8块相同的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形地面示意图，一只蚂蚁在上面自由爬动，并随机停留在某块瓷砖上，则蚂蚁停留在黑色瓷砖上（不考虑停留在边界的情况）的概率是 9、一套书共有上、中、下三册，将它们任意摆放到书架的同一层上，这三册书从左向右恰好成上、中、下顺序的概率为 。10、某班级中男生和女生若干个，若随机抽取1人，抽到男生的概率是4/5，则抽到女生的概率为 .11、四张扑克牌的牌面如图所示，将扑克牌洗均匀后，如图背面朝上放置在桌面上。（1）若随机抽取一张扑克牌，则牌面数字恰好为5的概率是_；（2）规定游戏规则如下：若同时随机抽取两张扑克牌，抽到两张牌的牌面数字之和是偶数为胜；反之，则为负。你认为这个游戏是否公平？请说明理由。综合测试1、北京08奥运会吉祥物是“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮”。现将三张分别印有“欢欢、迎迎、妮妮”这三个吉祥物图案的卡片（卡片的形状大小一样，质地相同）放入盒子。（1）小玲从盒子中任取一张，取到印有“欢欢”图案的卡片的概率是多少？（2）小玲从盒子中任取一张卡片，记下名字后放回，再从盒子中任取第二张卡片，记下名字。用列表或画树状图列出小玲取到的卡片的所有可能情况，并求出小玲两次都取到印有“欢欢”图案的卡片的概率。2、某校有A、B两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐 （1）求甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率；（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率参考答案1. D 2. B 3. C 4. C 5. C 6. D 7. 1/3 8. 0.5 9. 1/6 10. 1/511. （1）0.5；（2）这个游戏不公平。用树形图排列如图所示：由上表可知，共有12种情况，每种情况发生的可能性相同，两张牌的牌面数字为偶数的情况有4种，而两张牌的牌面数字为奇数的有8种，因而抽到两张牌的牌面数字之和是偶数的概率为4/121/3，抽到牌面数字之和为奇数的概率为8/122/3，1/32/3.负的概率大于取胜的概率，所以该游戏不公平。综合测试1、（1）1/3；（2）用树形图排列如下：由上表可知，共有12种情况，每种情况发生的可能性相同，两次都取到欢欢的情况有1种，因此小玲两次都