2、1二次函数所描述的关系 二次函数的定义.1二次函数所描述的关系课堂实录稿.doc

二次函数所描述的关系课堂实录稿 一（一）创设问题情境，引入新课师：我们知道，在生活中数学无处不在。下面请同学们欣赏四幅美丽的图片，同时仔细观察图片中出现的图形。师：在上面的图片中存在着什么样的数学问题呢?它会与某种函数有关吗?说到“函数”我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗?生：学过正比例函数、一次函数、反比例函数。师：那函数的定义是什么，大家还记得吗?生：在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。师：你们还记得正比例函数、一次函数、反比例函数图象的特征吗?生：正比例函数、一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线。师：非常好!刚才我们从图片中观察到的图形不是这三种函数的图象，那它是什么函数的图象呢?实际上，它们是我们将要学习的二次函数的图象。这节课我们先来学习二次函数所描述的关系。(二)讲解新课某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子 (1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量? (2)假设果园增种；棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? (3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式 师请大家互相交流后回答 生(1)变量有树的数量，每棵树上平均结的橙子数，所有的树上共结的橙子数其中 树的数量是自变量，每棵树上平均结的橙子数以及所有的树上共结的橙子数是因变量 (2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有(x+100)棵树，平均每棵树就会少结5x个橙子，则平均每棵树结(600-5x)个橙子 (3)如果果园橙子的总产量为y个，则 y=(x+100)(600-5x)-5x2+100x+60000 师大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数?若是函数，与原来学过的函数相同吗? 生因为x是自变量，y是因变量，给x一个值，相应地就确定了一个y的值，因此根据函数的定义，y是x的函数 但是从函数形式上看，它不同于正比例函数，一次函数与反比例函数，自变量的最高次数是2，所以我猜测可能是二次函数 二、想一想 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多? 师请大家发表自己的看法 生甲在函数y=-5x2+100+60000中，因为一次项系数100大于二次项系数-5，因此当x越大时，y的值越大 生乙我不同意他的观点因为x2的增长速度比x的增长速度要快，因此-5x2的绝对值要大于100x的绝对值，因此x应取比较小的数才能使y的值大 师大家说的都有道理，究竟是如何呢?我们不妨取一些特殊的数字验证一下 我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况你能根据表格中的数据作出猜测吗?自己试一试 x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y/个 请大家先填表，再猜测 生从左到右依次填60095，60180，60255，60320，60375，60420，60455，60480，60495，60500，60495，60480，60455，60420 可以猜测当x逐渐增大时，y也逐渐增大当x取10时，y取最大值x大于10时，y的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多 师大家的猜想很有道理，推理能力日渐增长，究竟猜想结果如何，我们将要在后面的学习中专门进行研究 三、做一做 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的 设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)， 师首先我们要回顾一下有关名词，本金利息，本息时，如何计算利息，在前面的学习中我们已接触过，大家还记得吗?生记得. 本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的报酬，本息和就是本金和利息的和，利息本金利率期数(时间) 师根据利息的公式，大家可以计算出一年后的本息和 生一年后的本息和为(100+100x1)=100(1+x) 师再计算出两年后的本息和，这时，一年后的本息和将作为第二年的本金 生y100(1+x)+100(1+x)xl =100(1+x)+100(1+x)x 100(1+x)(1+x) =100(1+x)2=100x2+200x+100 师在这个关系式中，y是x的函数吗?是x的什么函数?请猜想 生因为年利率x是一个变量，两年后的本息和y是随着x的变化而变化的，因此x是自变量，y是x的函数再从函数的形式来看,y是x的二次函数 四、二次函数的定义 师从我们刚才推导出的式子y=-5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢? 生一般地，形如yax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function) 师很好，上面说的只是一般形式，并不是每个二次函数关系式必须如此，有时没有一次项，有时没有常数项，有时这两项都不存在，只要有二次项存在即为二次函数如正方形面积A与边长a的关系Aa2，圆面积S和半径r的关系Sr2也都是二次函数的例子 二随堂练习1课本随堂练习。2补充练习：(1)已知正方形的周长是c cm，面积为s cm，则s与c之间的函数关系式为。(2)在边长为4 m的正方形中间挖去一个边长为x m的小正方形，剩下的四方框形的面积为y m，则y与x间的函数关系式为。(3)用一根长为8 m的木条，做一个长方形的窗框，若长方形的宽为x m，则该窗户的面积y(m)与x(m)之间的函数关系式为。 （4）y(m2+m)xm2-m是二次函数，求m的值 分析：根据：二若次函数的定义，只要满足m2+m0，且m2-m=2，y=(m2+m)xm2-m就是二次函数 解：由题意得 m2+m0， m2-m=2 m0或m-1, 解，得 m=2或m-1, 故若y(m2+m)xm2-m是二次函数，则m的值等于2三小结师：通过这节课的学习，你有什么收获?生：我知道了二次函数的定义，并且会判断一个函数是不是二次函数。生：我还能够表示简单变量之间的二次函数关系。生：我感受到函数与我们的实际生活紧密相连，在解决数学问题以及实际问题中，函数的思想是非常重要的，因此我们要好好地学习它。师：大家总结得非常好。本节课一开始同学们在图片中观察到的图形就是二次函数的图象抛物线。下节课我们将一起“结识抛物线”。四课后作业1习题21。2思考题：在本节课第二个“做一做”中，如果考虑利息税，那么两年后的本息和y(元)的表达式是什么?五、教学反思本节课的教学设计经过实际教学检验，成功之处有：(1)创设问题情境好，美丽的图片吸引了学生，激起了他们的求知欲。(2)教师提出的问题环环相扣、层层深入，