高中数学第一章二项式定理课件人教B版选修2.ppt

1 3 1二项式定理 你能回答如下问题么 1 若今天是星期一 再过30天是星期几 怎么算 解 30 7 4 2且过2天是星期三 过30天是星期三 2 若今天是星期一 再过8n天是星期几 怎么算 转化为求8n被7除的余数问题 思考 a b 4 a b 3 a b a3 3a2b 3ab2 b3 a b a b 2 a2 2ab b2 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 a b 2 a b a b a2 ab ab b2 a2 2ab b2 a b 3 a b a b a b a3 3a2b 3ab2 b3 a3 a2b ab2 b3 共有四项 a3 a2b 同理 ab2的系数为 b3的系数为 每个括号都不取b的情况有一种 即种 相当于有一个括号中取b的情况有种 所以a2b的系数是 所以a3的系数是 共有三项 a b 2 a2 2ab b2 a2 ab b2 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 a3 a2b ab2 b3 a b 4 a b a b a b a b a4 a3b a2b2 ab3 b4 一般地 a b n a b a b a b a b an an 1b an 2b2 an 3b3 an rbr bn 这个公式所表示的规律称为二项式定理 1 各项的系数 叫做展开式的二项式系数 2 叫做二项展开式的通项 通项是展开式的第r 1项 记作 等式右端的多项式叫做 a b n的二项展开式 其中 tr 1 即tr 1 其中0 r n r n n n 把这个公式叫做二项展开式的通项公式 二项式定理的特征研究 为什么不把展开式中的第r项 定义为二项展开式的通项呢 1 二项展开式的项数 2 的二项展开式的二项式系数 3 的二项展开式中各项的字母a的指数按降幂排列 由逐一减小到 字母b的指数按降幂排列 由逐一增长到 各项中字母a与b的指数和相等 都是 的二项展开式一共有项 都是组合数 是正整数 练习 展开 不必计算 解 解 例1 展开 解 a x b 2 n 10 根据通项公式tr 1 an rbr得 t5 t4 1 x10 4 2 4 3360 x6 它的二项式系数是 x6 16 210 例2 求 x 2 10的展开式中的第五项 并求出它的二项式系数 练习 求展开式中含的项 并求该项的系数 解 展开式的通项是 依题意 有所以 展开式中含x3的项为第4项 即 该项的系数为 二项展开式的二项式系数与某一项的系数是两个不同的概念 不要混淆 注意 例3 求证能被100整除 证明 能被100整除 重新思考起始问题 若今天是星期一 再过8n天是星期几 怎么算 解 由二项式定理知 前n项都是7的倍数 因此余数为1 故应为星期二 归纳 解决整除问题时可以考虑把被除式利用除式的倍数与1表达出来 然后查看展开式的每一部分 化繁为简 进而解决整除问题或余数问题 小结 2 解决整除性问题或求余数 二项式定理及其相关概念 二项展开式 二项式系数 通项等 要正确区分 二项式系数 和 项的系数 二项式定理的应用