高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系人教版必修22.3.2与2.3.4二面角16.ppt

平面与平面垂直的判定 2020年3月5日星期四 5 如图2 45 m是菱形abcd所在平面外一点 满足ma mc 求证 ac 平面bdm 5 证取ac中点o 连结mo ma mc ac mo又 abcd为菱形 ac bd而bd mo o ac 平面bdm 6 如图2 46 已知矩形abcd 过a作sa 平面ac 再过a作ae sb于e 过e作ef sc于f 1 求证 af sc 2 若平面aef交sd于g 求证 ag sd s s 6 证明 1 sa 平面ac bc 平面ac sa bc 在矩形abcd中 ab bc bc 平面sab bc ae 又sb ae ae 平面sbc ae sc 又ef sc sc 平面aef af sc 2 sa 平面ac sa dc 又ad dc dc 平面sad 从而dc ag又由 1 有sc 平面aef ag 平面aef sc ag ag 平面sdc ag sd 问题 1 在平面几何中 角 是怎样定义的 答 从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角 2 等角定理 o 答 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 并且方向相同 那么这两个角相等 a b 观看动画演示 观看动画演示 想一想 平面内的一条直线 把这个平面分成两部分 每一部分都叫做半平面 从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 1 半平面 2 二面角 半平面及二面角的定义 棱 面 面 半平面 半平面 观看动画演示 1 二面角的画法 1 平卧式 2 直立式 二面角的画法与记法 2 二面角的记法 面1 棱 面2 1 以直线为棱 以为半平面的二面角记为 2 以直线ab为棱 以为半平面的二面角记为 a b 二面角的画法与记法 上述变化过程中图形在变化 形成的 角度 的大小如何来确定 思考 1 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面上分别引垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 并且方向相同 那么这两个角相等 注 1 二面角的平面角与点的位置无关 只与二面角的张角大小有关 2 二面角是用它的平面角来度量的 一个二面角的平面角多大 就说这个二面角是多少度的二面角 3 平面角是直角的二面角叫做直二面角 4 二面角的取值范围一般规定为 0 二面角的平面角的定义 范围及作法 观看动画演示 2 二面角的平面角的作法 1 定义法 根据定义作出来 2 作垂面 作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到 注意 二面角的平面角必须满足 1 角的顶点在棱上 2 角的两边分别在两个面内 3 角的边都要垂直于二面角的棱 o 二面角的平面角的定义 范围及作法 角 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角 定义 构成 边 点 边 顶点 表示法 aob 图形 角与二面角的比较 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这两个平面相互垂直 记作 三 两个平面互相垂直的意义 一个平面过另一个平面的垂线 则这两个平面垂直 四 面面垂直的判定定理 证明面面垂直的本质和关键是什么 关键 找垂直平面的线 例1 如图 正方体abcd a1b1c1d1 求平面a1bd与平面c1bd的夹角的余弦值 o 一 二面角的定义 二 二面角的表示方法 三 二面角的平面角 四 二面角的平面角的作法 五 二面角的计算 二面角 ab 二面角c ab d二面角 l 1 根据定义作出来2 利用直线和平面垂直作出来3 借助三垂线定理或其逆定理作出来 1 找到或作出二面角的平面角2 证明1中的角就是所求的角3 计算所求的角 一 作 二 证 三 计算 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 22 1 二面角的平面角必须满足三个条件2 二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置无关3 二面角的大小用它的平面角的大小来度量 如图 三棱锥v abc中 va vb ac bc 2 ab 2 3 vc 1 试画出二面角v ab c的平面角 并求它的度数 v a b c 引申 若va vb ac 2 bc 2 2 vc 1 试画出二面角v ab c的平面角 a b c d a1 b1 c1 d1 练习1 在正方体abcd a1b1c1d1中 求证 练习2 如图 ab是圆o的直径 pa垂直于圆o所在的平面 c是圆周上不同于a b的任意一点 求证 p a b c o 五 两个平面垂直应用举例 例题如图4 ab是 o的直径 点c是 o上的动点 过动点c的直线vc垂直于 o所在平面 d e分别是va vc的中点 直线de与平面vbc有什么关系 试说明理由 解 由vc垂直于 o所在平面 知vc ac vc bc 即 acb是二面角a vc b的平面角 由 acb是直径上的圆周角 知 acb 90 因此 平面vac 平面vbc 由de是 vac两边中点连线 知de ac 故de vc 由两个平面垂直的性质定理 知直线de与平面vbc垂直 注意 本题也可以先推出ac垂直于平面vbc 再由de ac 推出上面的结论 3 在二面角 l 的一个面 内有一条直线ab 若ab与棱l的夹角为45 ab与平面 所成的角为30 则此二面角的大小是 a 30 b 30 或150 c 45 d 45 或135 如图 过a点作ao 于o 在 内作ac垂直棱于c 连ob oc 则 abc 45 abo 30 aco就是所求二面角的平面角 则sin aco aco 45 六 两个平面垂直课堂练习 d 4 线段ab长为2a 两端点a b分别在一个直二面角的两个面内 且ab与两个面所成的角分别为30 和45 设a b两点在棱上的射影分别为a b 则a b 长等于 c 提示 利用直线与平面所成用的定义和垂直关系得 bab 30 aba 45 在rt bb a中 bb ab 2 a 在rt bb a 中 在rt ba a中 2 3 3 如图 已知直线a b和平面 如果a b 那么 直线a b一定平行吗 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 b 垂直于同一个平面的两条直线平行 已知 a b 求证 a b析 直接证明平行比较困难 我们采用反证法来证明 假设b不平行于a 设b a o b 是经过o点与a平行的直线 a b a b 即经过同一点o的两条直线b b 都垂直于平面 这是不可能的 a b b 例 设直线a b分别在正方体abcd a b c d 中两个不同的平面内 欲使a b a b应满足什么条件 练习 p711 2 五 平面与平面的性质定理两个平面垂直 则一个平面内垂直于交线的直线与另外一个平面垂直 面面垂直线面垂直 由思考得到的一个重要结论 如果两个平面互相垂直 那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线 在第一个平面内 思考 p b 2 已知两个平面垂直 下列命题中正确的有 个 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面