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3 2 3空间的角的计算 空间的角 空间的角 面面角 线线角 线面角 0 0 0 范围 几何法 向量法 一 找 二 证 三 计算 方向向量法向量 空间的角的解法 所以与所成角的余弦值为 解 以点c为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示 设则 所以 例一 例2 在长方体中 简解 例3 x y z 例3 x y z 设正方体棱长为1 例4如图 在四棱锥s abcd中 底面abcd为平行四边形 侧面sbc底面abcd 已知ab 2 bc 2 sa sb 1 求证 2 求直线sd与平面sab所成角的正弦值 s a b c d c 证明 1 取bc中点o 连接oa os 2 求直线sd与平面sab所成角的正弦值 所以直线sd与平面sab所成角的正弦值为 例5 如图所示 在四棱锥p abcd中 底面abcd是正方形 侧棱pd底面abcd pd dc e是pc的中点 1 证明 pa 平面edb 2 求eb与底面abcd所成的角的正切值 a b c d p e 1 证明 设正方形边长为1 则pd dc da 1 连ac bd交于g点 2 求eb与底面abcd所成的角的正切值 所以eb与底面abcd所成的角的正弦值为 所以eb与底面abcd所成的角的正切值为 考一考 二面角 三 面面角 二面角的范围 法向量法 注意法向量的方向 一进一出 二面角等于法向量夹角 同进同出 二面角等于法向量夹角的补角 例6 已知在一个二面角的棱上有两个点a b 线段ac bd分别在这个二面角的两个面内 并且都垂直于棱ab ab 4cm ac 6cm bd 8cm cd cm 求二面角的度数 证明 以为正交基底 建立空间直角坐标系如图 则可得 7 已知正方体的边长为2 o为ac和bd的交点 m为的中点 1 求证 直线面mac 2 求二面角的余弦值 设平面 例9 正三棱柱中 d是ac的中点 当时 求二面角的余弦值 故 则可设 1 则b 0 1 0 作于e 于f 则 即为二面角的大小 在中 解法二 法向量 同法一 以c为原点建立空间直角坐标系c xyz 在坐标平面yoz中 设面的一个法向量为 同法一 可求b 0 1 0 由得 解得 所以 可取 二面角的大小等于 即二面角的余弦值为 本小题满分12分 如图 已知点p在正方体abcd a1b1c1d1的对角线bd1上 pda 60 1 求dp与cc1所成角的大小 2 求dp与平面aa1d1d所成角的大小 2008年宁夏高考理科试题第18题 考一考 二面角 由于且 所以 在中 同理可求 即二面角的余弦值为 小结 1 异面直线所成角 2 直线
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