人教A版高中数学必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和教案(5).doc

等差数列前n项和的最值问题教学内容分析 等差数列前n项和的最值问题，是在学生已学习了等差数列通项公式和前n 项和公式的基础上学习的，是对等差数列的通项公式和前n项和公式的一个重要应用。通过本节知识点的学习，可作较深透的分析、训练和小结。适当地应用这种函数观点去解决等差数列前n项和的最值问题，并归纳出求等差数列前n项和的最值的方法，不仅能够加深对数列概念和公式的理解，加强知识点之间联系，增强化归能力，而且常起到化难为易的作用。教学目标：1、通过对等差数列前n项和的最值的方法的探究，使学生加深对数列概念和公式的理解。2、初步培养学生的观察分析和归纳概括能力，提高学生解题的技巧和方法。教学重点.难点：将最值问题引向确定“项数”问题教学方法： 启发探究、讲练结合教学过程：一、问题探究，导入新课：按要求，写出下列等差数列的基本量、前n项和，及的最值。并观察使等差数列前n项和取到最值时，序号n的规律。等差数列10，7，4，1，-2，-5，. 则此时。等差数列 9, -6，-3，0，3，6，. 则此时。等差数列 1，3，5，7，9， 则此时。等差数列-1，-2，-3，-4，-5， 则此时。尝试归纳: 当时，有最小值；当时，有最大值。若则有最大值，此时n的取值为正的项数若则有最小值，此时n的取值为负的或非正的项数若则是的最小值，n的取值为1；若则是的最大值，n的取值为1。设计意图：导出问题：为什么有最大最小值？由于是关于n的二次函数，所以有最大最小值问题。从而导入新课。板书课题：“等差数列前n项和的最值问题”）二、实例分析，探寻规律：例题：在等差数列an中，已知a1=20，前n项和为，且S10=S15，求n取何值时，取得最大值，并求出它的最大值。解析：解法一：即当时，时，当n=12或13时，取得最大值，且最大值为解法二：同解法一求得当n=12或13时，取得最大值，且最大值为S12=S13=130.（点评：解法二转化为二次函数求最值问题，但要注意这一隐含条件，n=12或13时，取得最大值，而不是时有最大值，体现了数列是一种特殊的函数。）解法三：同解法一求得又由S10=S15得，即。当n=12或13时，取得最大值，且最大值为S12=S13=130.方法规律：求等差数列前n项和的最值，常用的方法：（1） 利用性质求出其正、负转折项，便可求得和的最值，当时，为最大；当 时，为最小.（如解法一：通项法）；（2） 利用等差数列的前n项和（、为常数）为二次函数，根据二次函数的性质求最值（如解法二：二次函数法）。【跟踪训练】 已知是一个等差数列，且a2=1，a5=-5。（1）求的通项；（2）求的前n项和的最大值。（分析） ：由a2=1，a5=-5可求得首项和公差，进而得通项；只须再求出，则是关于 n的二次函数，利用二次函数的单调性可求最值。 解析：（1）设的公差为d，由已知条件得，解得，所以（2）所以n=2时，取到最大值4.（另：请同学们参看例题的解法一，解决本题，让学生尝试活动中自己解决问题。）尝试归纳：在等差数列中，求的最大（小）值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正（负）值或零，而它后面的各项皆取负（正）值，由且即可求出，则从第一项起到该项的各项的和为最大（小）。由于为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图像或性质求解。三、反馈练习，提升能力：1、已知:等差数列中, a1=-11，d=2. 求: 的前 n项和的最大值或最小值思路分析：将a1=-11，d=2.代入可得关于n的一元二次函数，进而通过研究二次函数达到解题目的；利用数列单调性，在某一负数项的后面必为正数，把最值问题引向求项数问题，通过且即可求出。（说明：学生讨论、解答，教师点评。教师要针对学生感到困难、关键的地方重点进行讲解。确保学生系统掌握知识。结论：当n=6时，取到最小值-36.）2、设是公差为的无穷等差数列的前n项和，则下列命题错误的是A、 若，则数列有最大项；B、 若数列有最大项，则；C、 若数列是递增数列，则对任意均有；D、 若对任意均有，则数列是递增数列。解析：因，所以是关于n的二次函数，当时，则有最大值，即数列有最大项，故A命题正确。若有最大项，即对于有最大值，故二次函数图象的开口要向下，即，故B命题正确。而若则数列为递增数列，此时，故C命题错误。若对于任意的均有，则且对于恒成立，即命题D正确，故选C。四、知识小结，提高认识：（师生归纳）1、等差数列前n项和的最值问题中求最值的两种方法各是什么? 利用二次函数的单调性求最值：由于利用二次函数求最值 利用一次函数的单调性求最值：当时，有最小值；当时，有最大值。若则由，求得等差数列前n项和的最大值时n的取值若则由，求得等差数列前n项和取最小值时n的取值若则是的最大值；若则是的最小值。2、 这两种解法的关键要把握住什么?(关键在于求出取得最值的项数)3、利用函数的单调性求最值的两种方法各要注意些是什么?利用二次函数的单调性求最值时，要画出函数图象，根据图象的对称性及单调性写出最值，不容易出差错；利用一次函数的单调性求最值时，要注意：若am=0时，n=m和n=m-1时，都取得最值。 五、作业强化，能力提升：1、已知等差数列中, 若它的前n项和满足则下列结论错误的是：（ ） A. B. C. D. 与均为的最大值2、已知为等差数列，是等差数列的前项和，则使得达到最大值的是()A21 B20 C19 D183、设是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前项和最大时，等于()A4 B5 C6 D74、已知数列为等差数列，若，且它们的前项和