人教版初中数学九年级第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程学案(3).doc

2019-2020学年人教版九年级数学上册 21.2 解一元二次方程 同步学案一解一元二次方程-直接开平方法形如x2=p或（nx+m）2=p（p0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=；如果方程能化成（nx+m）2=p（p0）的形式，那么nx+m=注意：等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程方法是根据平方根的意义开平方例1解方程：（y+2）260【分析】先把给出的方程进行整理，再利用直接开方法求出解即可【解答】解：（y+2）260，（y+2）212，y+22，y122，y222【点评】此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键二解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法（2）用配方法解一元二次方程的步骤：把原方程化为ax2+bx+c=0（a0）的形式；方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解例2解方程：x（x2）4【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案【解答】解：x（x2）4，x22x4，x22x+15，（x1）25，x1【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型三解一元二次方程-公式法（1）把x=-bb2-4ac2a（b2-4ac0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；求出b2-4ac的值（若b2-4ac0，方程无实数根）；在b2-4ac0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：a0；b2-4ac0例3解方程：3x2+6x1【分析】移项后求出b24ac的值，再代入公式求出即可【解答】解：3x2+6x1，3x2+6x10，b24ac624（3）（1）24，x，x1，x2【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键四解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解例4解方程：x23x2【分析】根据因式分解法即可求出答案【解答】解：x23x+20，（x1）（x2）0，x1或x2；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型五换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的例5解方程：（x1）25（x1）+40【分析】设x1y，则原方程可化为y25y+40，解得y的值，即可得到原方程的根【解答】解：设x1y，则原方程可化为y25y+40解得：y11，y24当y1时，x11，解得x2，当y4时，x14，解得x5，原方程的根是x12，x25【点评】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程以及分式方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法六根的判别式利用一元二次方程根的判别式（=b2-4ac）判断方程的根的情况一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0时，方程有两个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根上面的结论反过来也成立例6已知关于x的一元二次方程ax2+bx+30，当ba+3时，请判断此方程根的情况【分析】先计算出判别式的值，再把ba+3代入得到（a+3）212a（a3）20，然后根据判别式的意义判断方程根的情况【解答】解：b24a3b212a，而ba+3，所以（a+3）212a（a3）20，所以方程有两个实数根【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根七根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=-（x1+x2），=x1x2（3）常用根与系数的关系解决以下问题：不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等判断两根的符号求作新方程由给出的两根满足的条件，确定字母的取值这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a0，0这两个前提条件例7已知关于x的方程x22x+m0有两个不相等的实数根x1、x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1x21，求实数m的值【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；（2）先根据根与系数的关系求出x1+x22，x1x2m，再根据完全平方公式进行变形，最高代入求出即可【解答】解：（1）关于x的方程x22x+m0有两个不相等的实数根x1、x2，（2）241m0，解得：m1，实数m的取值范围是m1；（2）关于x的方程x22x+m0有两个不相等的实数根x1、x2，由根与系数的关系得：x1+x22，x1x2m，x1x21，两边平方得：（x1x2）212，（x1+x2）24x1x21，224m1，解得：m【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记知识点的内容是解此题的关键八配方法的应用1、用配方法解一元二次方程配方法的理论依据是公式a22ab+b2=（ab）2配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方3、配方法的综合应用例8例读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式（ab）2a22ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2（a+b）22ab或a2+b2（ab）2+2ab，从而使某些问题得到解决例：已知a+b5，ab3，求a2+b2的值解：a2+b2（a+b）22ab522319通过对例题的理解解决下列问题：（1）已知ab2，ab3，分别求a2+b210；（2）若，求的值；（3）若n满足（n2019）2+（2018n）21，求式子（n2019）（2018n）的值【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值；（2）把已知等式左右两边平方，计算即可求出所求；（3）原式利用完全平方公式计算即可求出值【解答】解：（1）ab2，ab3，原式（ab）2+2ab4+610；故答案为：10；（2）把a+6两边平方得：（a+）2a2+236，则a2+34；（3）（n2019）2+（2018n）21，1（n2019）+（2018n）2（n2019）2+（2018n）2+2（n2019）（2018n），则（n2019）（2018n）0【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键同步测试一选择题（共8小题）1下列实数中，是方程x240的根的是（）A1B2C3D42用配方法解方程x2+8x+90，变形后的结果正确的是（）A（x+4）29B（x+4）27C（x+4）225D（x+4）273以x为根对的一元二次方程可能是（）Ax23xc0Bx2+3xc0Cx23x+c0Dx2+3x+c04已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x25x+60的两个根，则此直角三角形斜边长是（）ABC13D55用换元法解方程：20时，如果设y，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式的是（）Ay20By10Cy22y10Dy2y206方程2x2+57x根的情况是（）A有两个不等的实数根B有两个相等的实数根C有一个实数根D没有实数根7已知一元二次方程2x23x60有两个实数根a，b，直线经过点A（a+b，0）和点B（0，ab），则直线l的函数表达式为（）Ay2x3By2x+3Cy2x+3Dy2x38如果ax2（3x）2+m，那么a，m的值分别为（）A3，0B9，C9，D，9二填空题（共8小题）9方程8（x+1）227的解为 10用配方法解一元二次方程x2mx1时，可将原方程配方成（x3）2n，则m+n的值是 11观察算式，则它的计算结果为 12三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x26x+80的解，则此三角形的第三边长是 13已知（m2+n2）（m2+n22）4，则m2+n2 14已知关于x的一元二次方程x2+3x+c0有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的c值为 15设、是方程x2x20180的两根，则3+20192018的值为 16把x24x+1化为（x+h）2+k（其中h、k是常数）的形式是 三解答题（共8小题）17解方程：（y+2）26018解方程：x（x2）419用指定方法解下列方程：（1）用配方法解方程：x2+6x+40（2）用公式法解方程：5x23xx+120按要求解下列方程：（1）（2x3）2+x（2x3）0（因式分解法）；（2）2x24x10（用配方法）21已知一元二次方程x2+4x+m0，其中m的值满足不等式组，请判断一元二次方程x2+4x+m0根的情况22【阅读材料】解方程：x43x2+20解：设x2m，则原方程变为m23m+20解得，m11，m22当m11时，x21，解得x1当m22，x22解得x所以，原方程的解为x11x11，x3，x4【问题