高中数学典型例题剖析导数及其应用.pdf

第十章第十章 导数及其应用导数及其应用 10 1 导数及其运算导数及其运算 一 知识导学一 知识导学 1 瞬时变化率 设函数 xfy 在 0 x附近有定义 当自变量在 0 xx 附近改变量为x 时 函数值相应地改变 0 xfxxfy 如果当x 趋近于 0 时 平均变化率 x xfxxf x y 00 趋近于一个常数 c 也就是说平均变化率与某个常数 c 的差的绝 对值越来越小 可以小于任意小的正数 那么常数 c 称为函数 xf在点 0 x的瞬时变化率 2 导数 当x 趋近于零时 x xfxxf 00 趋近于常数 c 可用符号 记作 当0 x时 x xfxxf 00 c 或记作c x xfxxf x lim 00 0 符号 读作 趋近于 函数在 0 x的瞬时变化率 通常称作 xf在 0 xx 处的导数 并记作 0 x f 3 导函数 如果 xf在开区间 ba内每一点x都是可导的 则称 xf在区间 ba可导 这样 对开区间 ba内每个值x 都对应一个确定的导数 x f 于是 在区间 ba内 x f 构成一个新的函数 我们把这个函数称为函数 xfy 的导函数 记为 x f 或 y 或 x y 4 导数的四则运算法则 1 函数和 或差 的求导法则 设 xf xg是可导的 则 xgxfxgxf 即 两个函数的和 或差 的导数 等于这两个函数的导数 的和 或差 2 函数积的求导法则 设 xf xg是可导的 则 xgxfxgxfxgxf 即 两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数 乘上第二个函数 加上第一个函数乘第二个函数的导数 3 函数的商的求导法则 设 xf xg是可导的 0 xg 则 2 xg xgxfxfxg xg xf 5 复合函数的导数 设函数 xu 在点x处有导数 xux 函数 ufy 在点x的 对应点u处有导数 ufyu 则复合函数fy x 在点x处有导数 且 xux uyy 6 几种常见函数的导数 1 0为常数CC 2 1 Qnnxx nn 3 xxcos sin 4 xxsin cos 5 x x 1 ln 6 e x x aa log 1 log 7 xx ee 8 aaa xx ln 二 疑难知识导析二 疑难知识导析 1 导数的实质是函数值相对于自变量的变化率 2 运用复合函数的求导法则 xux uyy 应注意以下几点 1 利用复合函数求导法则求导后 要把中间变量换成自变量的函数 层层求导 2 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导 不能混淆 一直计算到最后 常出现如下错误 如xx2sin 2 cos 实际上应是x2sin2 3 求复合函数的导数 关键在于分清楚函数的复合关系 选好中间变量 如 4 31 1 x y 选成 u y 1 xwwvvu3 1 4 计算起来就复杂了 3 导数的几何意义与物理意义 导数的几何意义 通常指曲线的切线斜率 导数的物理意义 通常是指物体运动的瞬时 速度 对导数的几何意义与物理意义的理解 有助于对抽象的导数定义的认识 应给予足够 的重视 4 的关系与 0 xfxf 0 x f 表示 0 xxxf 在处的导数 即 0 x f 是函数在某一点的导数 x f 表示 函数 xf在某给定区间 ba内的导函数 此时 x f 是在 ba上x的函数 即 x f 是 在 ba内任一点的导数 5 导数与连续的关系 若函数 xfy 在 0 x处可导 则此函数在点 0 x处连续 但逆命题不成立 即函数 xfy 在点 0 x处连续 未必在 0 x点可导 也就是说 连续性是函数具有可导性的必要条 件 而不是充分条件 6 可以利用导数求曲线的切线方程 由于函数 xfy 在 0 xx 处的导数 表示曲线在点 00 xfxP处切线的斜率 因 此 曲线 xfy 在点 00 xfxP处的切线方程可如下求得 1 求出函数 xfy 在点 0 xx 处的导数 即曲线 xfy 在点 00 xfxP处 切线的斜率 2 在已知切点坐标和切线斜率的条件下 求得切线方程为 000 xxxfyy 如果曲线 xfy 在点 00 xfxP的切线平行于y轴 此时导数不存在 时 由切线定 义可知 切线方程为 0 xx 三 经典例题导讲三 经典例题导讲 例例 1 已知 2 2cos1 xy 则 y 错因 错因 复合函数求导数计算不熟练 其x2与x系数不一样也是一个复合的过程 有的同学忽 视了 导致错解为 2cos1 2sin2xxy 正解 正解 设 2 uy xu2cos1 则 2 2sin 2 2cos1 2 xxuxuuyy xux 2cos1 2sin42 2sin 2xxxu 2cos1 2sin4xxy 例例 2 已知函数 1 1 2 1 1 1 2 1 2 xx xx xf判断 f x 在 x 1 处是否可导 错解 错解 1 1 1 11 2 1 1 1 2 1 lim 22 0 f x x x Q 分析 分析 分段函数在 分界点 处的导数 须根据定义来判断是否可导 解 解 1 11 2 1 1 1 2 1 limlim 22 00 x x x y xx f x 在 x 1 处不可导 注 注 0 x 指x 逐渐减小趋近于 0 0 x 指x 逐渐增大趋近于 0 点评 点评 函数在某一点的导数 是一个极限值 即 x xfxxf x lim 00 0 x 0 包括 x 0 与 x 0 因此 在判定分段函数在 分界点 处的导数是否存在时 要验证其 左 右极限是否存在且相等 如果都存在且相等 才能判定这点存在导数 否则不存在导数 例例 3 求32 2 xy在点 5 1 P和 9 2 Q处的切线方程 错因 错因 直接将P Q看作曲线上的点用导数求解 分析 分析 点P在函数的曲线上 因此过点P的切线的斜率就是 y 在1 x处的函数值 点Q不在函数曲线上 因此不能够直接用导数求值 要通过设切点的方法求切线 解 解 4 4 32 1 2 x yxyxyQ 即过点P的切线的斜率为 4 故切线为 14 xy 设过点Q的切线的切点为 00 yxT 则切线的斜率为 0 4x 又 2 9 0 0 x y kPQ 故 0 0 2 0 4 2 62 x x x 3 1 0 682 00 2 0 xxx 即切线QT的斜率为 4 或 12 从而过点Q的切线为 1512 14 xyxy 点评点评 要注意所给的点是否是切点 若是 可以直接采用求导数的方法求 不是则需设出 切点坐标 例例 4 求证 函数 x xy 1 图象上的各点处切线的斜率小于 1 并求出其斜率为 0 的切线方程 分析 分析 由导数的几何意义知 要证函数 x xy 1 的图象上各点处切线的斜率都小于 1 只 要证它的导函数的函数值都小于 1 因此 应先对函数求导后 再进行论证与求解 解 解 1 1 1 1 1 2 a 函数axxf 3 0 x 设0 1 x 记曲线 xfy 在点 11 xfxM处的切线为 l 1 求l 的方程 2 设 l 与 x轴交点为 0 2 x 求证 3 1 2 ax 若 3 1 1 ax 则 12 3 1 xxa 分析 分析 本题考查导数的几何意义 利用其求出切线斜率 导出切线方程 解 解 1 x axaxx x y xf xx 33 00 limlim x xxxxx x 322 0 33 lim 222 0 3 33 limxxxxx x 2 11 3 xxf 切线l的方程为 111 xxxfxfy 即 3 1 2 1 3 1 xxxaxy 2 依题意 切线方程中令 y 0 得 由 知 2 1 3 1 12 3x ax xx 2 1 3 1 12 3x ax xx 例例 6 求抛物线 2 xy 上的点到直线02 yx的最短距离 分析 分析 可设 2 xxP为抛物线上任意一点 则可把点P到直线的距离表示为自变量x的函 数 然后求函数最小值即可 另外 也可把直线向靠近抛物线方向平移 当直线与抛物线相 切时的切点到直线02 yx的距离即为本题所求 解 解 根据题意可知 与直线 x y 2 0 平行的抛物线 y x 2的切线对应的切点到直线 x y 2 0 的距离最短 设切点坐标为 那么12 2 0 00 xxy xxxx 2 1 0 x 切点坐标为 4 1 2 1 切点到直线 x y 2 0 的距离 8 27 2 2 4 1 2 1 d 抛物线上的点到直线的最短距离为 8 27 四 典型习题导练四 典型习题导练 1 函数 xfy 在 0 xx 处不可导 则过点 00 xfxP处 曲线 xfy 的切线 A 必不存在 B 必定存在 C 必与 x 轴垂直 D 不同于上面结论 2 3 3 2 x x y在点 x 3 处的导数是 3 已知23 23 xaxxf 若4 1 f 则a的值为 4 已知 P 1 1 Q 2 4 是曲线 2 xy 上的两点 则与直线PQ平行的曲线 2 xy 的切线方程是 5 如果曲线10 3 xxy的某一切线与直线34 xy平行 求切点坐标与切线 方程 6 若过两抛物线22 2 xxy和baxxy 2 的一个交点为 P 的两条切线 互相垂直 求证 抛物线baxxy 2 过定点Q 并求出定点Q的坐标 10 2 导数的应用导数的应用 一 一 知识导学知识导学 1 可导函数的极值 1 极值的概念 设函数 xf在点 0 x附近有定义 且若对 0 x附近的所有的点都有 0 xfxf 则称 0 xf为函数的一个极大 小 值 称 0 x为极大 小 值点 2 求可导函数 xf极值的步骤 求导数 x f 求方程0 x f的根 求方程0 xf的根 检验 x f 在方程0 x f的根的左右的符号 如果在根的左侧附近为正 右侧附 近为负 那么函数 xfy 在这个根处取得极大值 如果在根的右侧附近为正 左侧 附近为负 那么函数 xfy 在这个根处取得极小值 2 函数的最大值和最小值 1 设 xfy 是定义在区间 ba 上的函数 xfy 在 ba内有导数 求函数 xfy 在 ba 上的最大值与最小值 可分两步进行 求 xfy 在 ba内的极值 将 xfy 在各极值点的极值与 af bf比较 其中最大的一个为最大值 最 小的一个为最小值 2 若函数 xf在 ba 上单调增加 则 af为函数的最小值 bf为函数的最大值 若函数 xf在 ba 上单调递减 则 af为函数的最大值 bf为函数的最小值 二 疑难知识导析二 疑难知识导析 1 在求可导函数的极值时 应注意 以下将导函数 x f 取值为 0 的点称为函数 xf的驻 点可导函数的极值点一定是它的驻点 注意一定要是可导函数 例如函数 xy 在点0 x 处有极小值 0 f 0 可是这里的 0 f 根本不存在 所以点0 x不是 xf的驻点 1 可导函数的驻点可能是它的极值点 也可能不是极值点 例如函数 3 xxf 的导数 2 3 xxf 在点0 x处有0 0 f 即点0 x是 3 xxf 的驻点 但从 xf在 上为增函数可知 点0 x不是 xf的极值点 2 求一个可导函数的极值时 常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格 这样可使函 数在各单调区间的增减情况一目了然 3 在求实际问题中的最大值和最小值时 一般是先找出自变量 因变量 建立函数关系式 并确定其定义域 如果定义域是一个开区间 函数在定义域内可导 其实只要是初等函数 它在自己的定义域内必然可导 并且按常理分析 此函数在这一开区间内应该有最大 小 值 如果定义域是闭区间 那么只要函数在此闭区间上连续 它就一定有最大 小 记住 这个定理很有好处 然后通过对函数求导 发现定义域内只有一个驻点 那么立即可以断 定在这个驻点处的函数值就是最大 小 值 知道这一点是非常重要的 因为它在应用上较 为简便 省去了讨论驻点是否为极值点 求函数在端点处的值 以及同函数在极值点处的值 进行比较等步骤 2 极大 小 值与最大 小 值的区别与联系 极值是局部性概念 最大 小 值可以看作整体性概念 因而在一般情况下 两者是有 区别的 极大 小 值不一定是最大 小 值 最大 小 值也不一定是极大 小 值 但 如果连续函数在区间 ba内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 三 经典例题导讲三 经典例题导讲 例例 1 已知曲线xxxyS4 3 2 23 及点 0 0 P 求过点P的曲线S的切线方程 错解 错解 422 2 xxy 过点P的切线斜率4 0 x yk 过点P的曲线S的切 线方程为xy4 错因 错因 曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值 这是导数的几何意 义 在此题中 点P凑巧在曲线S上 求过点P的切线方程 却并非说切点就是点P 上述 解法对求过点P的切线方程和求曲线在点P处的切线方程 认识不到位 发生了混淆 正解 正解 设过点P的切线与曲线S切于点 00 yxQ 则过点P的曲线S的切线斜率 422 0 2 0 0 xxyk xx 又 0 0 x y kPQ 0 0 0 2 0 422 x y xx Q点 Q在曲线S上 4 3 2 0 2 0 3 00 xxxy 代入 得 0 0 2 0 3 0 0 2 0 4 3 2 422 x xxx xx 化简 得0 3 4 2 0 3 0 xx 0 0 x或 4 3 0 x 若0 0 x 则4 k 过点P的切线 方程为xy4 若 4 3 0 x 则 8 35 k 过点P的切线方程为 8 35 xy 过点P的曲线S 的切线方程为xy4 或 8 35 xy 例例 2 已知函数13 23 xxaxxf在R上是减函数 求a的取值范围 错解 错解 163 2 xaxxfQ xf在R上是减函数 0 xf在R上恒成立 0163 2 xax对一切Rx 恒成立 0 即01236 a 3 a 正解正解 2 3 axxf16 x xfQ在R上是减函数 x f 0 在R上恒成立 0 且0 a 即01236 a且0 x 证明不等式xx x x x时 xf 在 0内是增函数 0 fxf 即0 1 1ln x x x 又 x x xg 1 当0 x时 0 x g xg 在 0内是减函数 0 gxg 即0 1ln x时 不等式xx x x 及 0 gxg 是解决本题的关键 例例 4 设工厂到铁路线的垂直距离为 20km 垂足为 B 铁路线上距离 B 为 100km 处有一原料供 应站 C 现要在铁路 BC 之间某处 D 修建一个原料中转车站 再由车站 D 向工厂修一条公路 如 果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为 3 5 那么 D 应选在何处 才能使原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省 解解 设 BD 之间的距离为xkm 则 AD 22 20 x CD x 100 如果公路运费为a元 km 那么铁路运费为 5 3a 元 km 故从原料供应站 C 途经中转站 D 到工厂 A 所需总运费y 为 y 100 5 3 x a a400 2 x 1000 x 对该式求导 得 y 5 3a 400 2 x ax 4005 40035 2 2 x xxa 令0 y 即得25 2 x 9 2 x400 解之得 1 x 15 2 x 15 不符合实际意义 舍去 且 1 x 15 是函数y在定义域内的唯一驻点 所 以 1 x 15 是函数y的极小值点 而且也是函数y的最小值点 由此可知 车站 D 建于 B C 之间 并且与 B 相距 15km 处时 运费最省 点评 点评 这是一道实际生活中的优化问题 建立的目标函数是一个复合函数 用过去的知识求 其最值往往没有一般方法 即使能求出 也要涉及到较高的技能技巧 而运用导数知识 求复 合函数的最值就变得非常简单 一般情况下 对于实际生活中的优化问题 如果其目标函数为 高次多项式函数 简单的分式函数简单的无理函数 简单的指数 对数函数 或它们的复合 函数 均可用导数法求其最值 由此也可见 导数的引入 大大拓宽了中学数学知识在实际优 化问题中的应用空间 例例 5 函数5 133 3 axxfxgaxxxf 其中 xf是 xf的导函数 1 对满足 1 a 1 的一切a的值 都有 xg 0 求实数x的取值范围 2 设a 2 m 当实数m在什么范围内变化时 函数y xf的图象与直线y 3 只 有一个公共点 解 解 1 由题意 2 335g xxaxa 令 2 335xx ax 11a 对11a 恒有 0g x 即 0a 10 10 即 2 2 320 380 xx xx 解得 2 1 3 x 故 2 1 3 x 时 对满足 1 a 1 的一切a的值 都有 0g x 2 22 33fxxm 当0m 时 3 1f xx 的图象与直线3y 只有一个公共点 当0m 时 列表 x m m mm m m fx 0 0 f x Z 极大 极小 Z 2 211f xfxm m 时函数 yf x 的图象与直线3y 只有一个公共点 当xm 时 恒有 f xfm 由题意得 3fm 即 3 2 21213m mm 解得 33 2 00 2m U 综上 m的取值范围是 33 2 2 例例 6 若电灯 B 可在桌面上一点 O 的垂线上移动 桌面上有与点 O 距离为a的另一点 A 问 电灯与点 0 的距离怎样 可使点 A 处有最大的照度 rBABAO 照度与 sin成 正比 与 2 r成反比 分析 分析 如图 由光学知识 照度y与 sin成正比 与 2 r成反比 即 2 sin r Cy C是与灯光强度有关的常数 要想点A处有最 大的照度 只需求y的极值就可以了 解 解 设O到B的距离为x 则 r x sin 22 axr 于是 0 sin 2 3 22 32 aaxxf a x xg x xf 3 1 log xxg 其中有且只有一对函数 既互为反函数 又同 是各自定义域上的递增函数 则这样的两个函数的导函数分别是 x f xg 4 已知函数1 2 33 23 xaaxxxf有极大值和极小值 求a的取值范围 5 已知抛物线2 2 xy 过其上一点P引抛物线的切线l 使l与两坐标轴在第一象限 围成的三角形的面积最小 求l的方程 6 设 432 41 yxyxyg 在 0 1 y上的最大值为 xf Rx 1 求 xf的表达式 2 求 xf的最大值 10 3 定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理 一 知识导学一 知识导学 1 可微 若函数 xfy 在 0 x的增量x 可以表示为x 的线性函数xA A是常数 与 较x 高阶的无穷小量之和 xoxAy 1 则称函数f在点 0 x可微 1 中的xA 称为函数f在点 0 x的微分 记作xAdy xx 0 或xAxdf xx 0 函数 xf在点 0 x可 微的充要条件是函数 xf在 0 x可导 这时 1 式中的A等于 0 x f 若函数 xfy 在 区间I上每点都可微 则称 xf为I上的可微函数 函数 xfy 在I上的微分记作 xxfdy 2 微积分基本定理 如果 xfxF 且 xf在 ba上可积 则 b a aFbFdxxf 其中 xF叫做 xf的一个原函数 由于 xfcxF cxF 也是 xf的原函数 其中c为常数 二 疑难知识导析二 疑难知识导析 1 定积分的定义过程包括 分割 近似求和 取极限 这几个步骤 这里包含着很重要的 数学思想方法 只有对定积分的定义过程了解了 才能掌握定积分的应用 1 一般情况下 对于区间的分割是任意的 只要求分割的小区间的长度的最大者 趋 近于 0 这样所有的小区间的长度才能都趋近于 0 但有的时候为了解题的方便 我们选择 将区间等份成n份 这样只要 2 其中的使0 1 n 就可以了 2 对每个小区间内 i 的选取也是任意的 在解题中也可选取区间的左端点或是右端点 3 求极限的时候 不是 n 而是0 2 在微积分基本定理中 原函数不是唯一的 但我们只要选取其中的一个就可以了 一般 情况下选那个不带常数的 因为 aFbFxFcxFdxxf b a b a b a 3 利用定积分来求面积时 特别是位于x轴两侧的图形的面积的计算 分两部分进行计算 然后求两部分的代数和 三三 经典例题导讲 经典例题导讲 例例 1 求曲线xysin 与x轴在区间 2 0 上所围成阴影部分的面积 S 错解 错解 分两部分 在 0 0 2sin xdx 在 2 2 2sin x 因此所求面积S为 2 2 0 分析 面积应为各部分积分的代数和 也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积 而 是面积的相反数 所以不应该将两部分直接相加 正解 正解 0 sin xdxS422sin 2 xdx 例例 2 用微积分基本定理证明 b a b c c a dxxfdxxfdxxf bca a a adxx 0 18 2 2 a e x dx 3 分析分析 利用微积分基本定理 求出原函数代入a求解 解 解 1 318 3 33 333 2 a aax dxx a a a a 2 44 3lnlnlneaeaeax x dx a e a e 例例 4 某产品生产 x 个单位时的边际收入 0 1