概率与统计培训资料(doc 63页).doc

第一章第一章 随机事件和概率随机事件和概率 第一节第一节 基本概念基本概念 1 1 排列组合初步 排列组合初步 1 1 排列组合公式 排列组合公式 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数 nm m P n m 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数 nmn m C n m 例 1 1 方程的解是 xxx CCC 765 10 711 A 4 B 3 C 2 D 1 例 1 2 有 5 个队伍参加了甲 A 联赛 两两之间进行循环赛两场 试问总共的场次是多少 2 2 加法原理 两种方法均能完成此事 加法原理 两种方法均能完成此事 m nm n 某件事由两种方法来完成 第一种方法可由 m 种方法完成 第二种方法可由 n 种方法来完 成 则这件事可由 m n 种方法来完成 3 3 乘法原理 两个步骤分别不能完成这件事 乘法原理 两个步骤分别不能完成这件事 m nm n 某件事由两个步骤来完成 第一个步骤可由 m 种方法完成 第二个步骤可由 n 种方法来完 成 则这件事可由 m n 种方法来完成 例 1 3 从 5 位男同学和 4 位女同学中选出 4 位参加一个座谈会 要求与会成员中既有男 同学又有女同学 有几种不同的选法 例 1 4 6 张同排连号的电影票 分给 3 名男生和 3 名女生 如欲男女相间而坐 则不同 的分法数为多少 例 1 5 用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里 每一区域涂上一种颜色 且相邻区域 的颜色必须不同 则共有不同的涂法 A 120 种B 140 种 C 160 种D 180 种 4 4 一些常见排列一些常见排列 特殊排列 相邻 彼此隔开 顺序一定和不可分辨 例 1 6 晚会上有 5 个不同的唱歌节目和 3 个不同的舞蹈节目 问 分别按以 下要求各可排出几种不同的节目单 3 个舞蹈节目排在一起 3 个舞蹈节目彼此隔开 3 个舞蹈节目先后顺序一定 例 1 7 4 幅大小不同的画 要求两幅最大的排在一起 问有多少种排法 例 1 8 5 辆车排成 1 排 1 辆黄色 1 辆蓝色 3 辆红色 且 3 辆红车不可分 辨 问有多少种排法 重复排列和非重复排列 有序 例 1 9 5 封不同的信 有 6 个信箱可供投递 共有多少种投信的方法 对立事件 例 1 10 七人并坐 甲不坐首位 乙不坐末位 有几种不同的坐法 例 1 11 15 人中取 5 人 有 3 个不能都取 有多少种取法 例 1 12 有 4 对人 组成一个 3 人小组 不能从任意一对中取 2 个 问有多 少种可能性 顺序问题 例 1 13 3 白球 2 黑球 先后取 2 球 放回 2 白的种数 有序 例 1 14 3 白球 2 黑球 先后取 2 球 不放回 2 白的种数 有序 例 1 15 3 白球 2 黑球 任取 2 球 2 白的种数 无序 2 2 随机试验 随机事件及其运算 随机试验 随机事件及其运算 1 1 随机试验和随机事件 随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行 而每次试验的可能结果不止一个 但在进行一 次试验之前却不能断言它出现哪个结果 则称这种试验为随机试验 试验的可能结果称为 随机事件 例如 掷一枚硬币 出现正面及出现反面 掷一颗骰子 出现 1 点 5 点和出现 偶数点都是随机事件 电话接线员在上午 9 时到 10 时接到的电话呼唤次数 泊松分布 对某一目标发射一发炮弹 弹着点到目标的距离为 0 1 米 0 5 米及 1 米到 3 米之 间都是随机事件 正态分布 在一个试验下 不管事件有多少个 总可以从其中找出这样一组事件 它具有如下性 质 1 每进行一次试验 必须发生且只能发生这一组中的一个事件 2 任何事件 都是由这一组中的部分事件组成的 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件 用来表示 例如 离散 n 21 基本事件的全体 称为试验的样本空间 用表示 一个事件就是由中的部分点 基本事件 组成的集合 通常用大写字母 A B C 表示事件 它们是的子集 如果某个是事件A的组成部分 即这个在事件A中出现 记为 如果在一 A 次试验中所出现的有 则称在这次试验中事件A发生 A 如果不是事件A的组成部分 就记为 在一次试验中 所出现的有 A A 则称此次试验A没有发生 为必然事件 为不可能事件 2 2 事件的关系与运算 事件的关系与运算 关系 如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分 A发生必有事件B发生 BA 如果同时有 则称事件A与事件B等价 或称A等于B A B BA AB A B中至少有一个发生的事件 AB 或者A B 属于A而不属于B的部分所构成的事件 称为A 与 B的差 记为A B 也可表示为A AB 或者 它表示A发生而B不发生的事件 BA A B同时发生 A B 或者AB A B 则表示 A 与 B 不可能同时发生 称事件 A 与 事件 B 互不相容或者互斥 基本事件是互不相容的 A 称为事件 A 的逆事件 或称 A 的对立事件 记为A 它表示 A 不发生的事件 互 斥未必对立 运算 结合率 A BC AB C A B C A B C 分配率 AB C A C B C A B C AC BC 德摩根率 11i i i iAA BABA BABA 例 1 16 一口袋中装有五只乒乓球 其中三只是白色的 两只是红色的 现从袋中取球 两次 每次一只 取出后不再放回 写出该试验的样本空间 若A表示取到的两只球是 白色的事件 表示取到的两只球是红色的事件 试用A 表示下列事件 1 两只球是颜色相同的事件C 2 两只球是颜色不同的事件D 3 两只球中至少有一只白球的事件E 例 1 17 硬币有正反两面 连续抛三次 若 Ai表示第 i 次正面朝上 用 Ai表示下列事件 1 前两次正面朝上 第三次正面朝下的事件C 2 至少有一次正面朝上的事件D 3 前两次正面朝上的事件E 3 3 概率的定义和性质 概率的定义和性质 1 1 概率的公理化定义 概率的公理化定义 设 为样本空间 A为事件 对每一个事件A都有一个实数 P A 若满足下列三个 条件 1 0 P A 1 2 P 1 3 对于两两互不相容的事件1A 2A 有 11 i i i iAPAP 常称为可列 完全 可加性 则称 P A 为事件A的概率 2 2 古典概型 等可能概型 古典概型 等可能概型 1 n 21 2 n PPP n 1 21 设任一事件A 它是由组成的 则有 m 21 P A 21m 21m PPP n m 基本事件总数 所包含的基本事件数A 例 1 18 集合 A 中有 100 个数 B 中有 50 个数 并且满足 A 中元素与 B 中元素关系 a b 10 的有 20 对 问任意分别从 A 和 B 中各抽取一个 抽到满足 a b 10 的 a b 的概率 例 1 19 5 双不同颜色的袜子 从中任取两只 是一对的概率为多少 例 1 20 在共有 10 个座位的小会议室内随机地坐上 6 名与会者 则指定的 4 个座位被坐 满的概率是 A B C D 14 1 13 1 12 1 11 1 例 1 21 3 白球 2 黑球 先后取 2 球 放回 2 白的概率 有序 例 1 22 3 白球 2 黑球 先后取 2 球 不放回 2 白的概率 有序 例 1 23 3 白球 2 黑球 任取 2 球 2 白的概率 无序 注意 事件的分解 放回与不放回 顺序问题 4 4 五大公式 加法 减法 乘法 全概 贝叶斯 五大公式 加法 减法 乘法 全概 贝叶斯 1 1 加法公式 加法公式 P A B P A P B P AB 当 P AB 0 时 P A B P A P B 例 1 24 从 0 1 9 这十个数字中任意选出三个不同的数字 试求下列事件的概率 A 三个数字中不含 0 或者不含 5 2 2 减法公式 减法公式 P A B P A P AB 当 BA 时 P A B P A P B 当 A 时 P 1 P B B 例 1 25 若 P A 0 5 P B 0 4 P A B 0 3 求 P A B 和 P A B 例 1 26 对于任意两个互不相容的事件 A 与 B 以下等式中只有一个不正确 它是 A P A B P A B P A B P A P 1AB C P B P P B D P A B A B P A AA E p P A P BA AB 3 3 条件概率和乘法公式 条件概率和乘法公式 定义 设 A B 是两个事件 且 P A 0 则称为事件 A 发生条件下 事件 B 发生的 AP ABP 条件概率 记为 ABP AP ABP 条件概率是概率的一种 所有概率的性质都适合于条件概率 例如 P B 1P A 1 P B A B 乘法公式 ABPAPABP 更一般地 对事件 A1 A2 An 若 P A1A2 An 1 0 则有 21 AAP nA 213121AAAPAAPAP 21 AAAPn 1 nA 例 1 27 甲乙两班共有 70 名同学 其中女同学 40 名 设甲班有 30 名同学 而女生 15 名 问在碰到甲班同学时 正好碰到一名女同学的概率 例 1 28 5 把钥匙 只有一把能打开 如果某次打不开就扔掉 问以下事件的概率 第一次打开 第二次打开 第三次打开 4 4 全概公式 全概公式 设事件 nBBB 21 满足 1 nBBB 21 两两互不相容 2 1 0 niBPi 2 n i iBA 1 则有 2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP 此公式即为全概率公式 例 1 29 播种小麦时所用的种子中二等种子占 2 三等种子占 1 5 四等种子占 1 其他为一等种子 用一等 二等 三等 四等种子播种长出的穗含 50 颗以上麦粒的 概率分别为 0 5 0 15 0 1 0 05 试求种子所结的穗含有 50 颗以上麦粒的概率 例 1 30 甲盒内有红球 4 只 黑球 2 只 白球 2 只 乙盒内有红球 5 只 黑球 3 只 丙 盒内有黑球 2 只 白球 2 只 从这三只盒子的任意一只中任取出一只球 它是红球的 概率是 A 0 5625B 0 5C 0 45D 0 375 E 0 225 例 1 31 100 个球 40 个白球 60 个红球 不放回先后取 2 次 第 2 次取出白球的概率 第 20 次取出白球的概率 5 5 贝叶斯公式 贝叶斯公式 设事件1B 2B nB及A满足 1 1B 2B nB两两互不相容 BiP 0 i 1 2 n 2 n i iBA 1 0 AP 则 i 1 2 n n j jj ii i BAPBP BAPBP ABP 1 此公式即为贝叶斯公式 1 i 2 n 通常叫先验概率 1 i 2 n 通 i BP ABP i 常称为后验概率 如果我们把A当作观察的 结果 而1B 2B nB理解为 原因 则贝叶斯公式反映了 因果 的概率规律 并作出了 由果朔因 的推断 例 1 32 假定用甲胎蛋白法诊断肝癌 设C表示被检验者的确患有肝癌的事件 A表示 诊断出被检验者患有肝癌的事件 已知 95 0 CAP98 0 CAP 现有一人被检验法诊断为患有肝癌 求此人的确患有肝癌的概率004 0 CP ACP 5 5 事件的独立性和伯努利试验 事件的独立性和伯努利试验 1 1 两个事件的独立性 两个事件的独立性 设事件A B满足 BPAPABP 则称事件A B是相互独立的 这个性质 不是想当然成立的 若事件A B相互独立 且 0 AP 则有 BP AP BPAP AP ABP ABP 所以这与我们所理解的独立性是一致的 若事件A B相互独立 则可得到A与B A与B A与B也都相互独立 证明 由定义 我们可知必然事件 和不可能事件 与任何事件都相互独立 证明 同时 与任何事件都互斥 2 2 多个事件的独立性 多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件 如果满足两两独立的条件 P AB P A P B P BC P B P C P CA P C P A 并且同时满足 P ABC P A P B P C 那么 A B C 相互独立 对于 n 个事件类似 两两互斥 互相互斥 两两独立 互相独立 例 1 33 已知 证明事件 相互独立 ABPABP AB 例 1 34 A B C 相互独立的充分条件 1 A B C 两两独立 2 A 与 BC 独立 例 1 35 甲 乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次 甲射中的概率为 0 9 乙射中 的概率为 0 8 求目标没有被射中的概率 3 3 伯努利试验 伯努利试验 定义 我们作了n次试验 且满足 每次试验只有两种可能结果 A发生或A不发生 n次试验是重复进行的 即A发生的概率每次均一样 每次试验是独立的 即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响 的 这种试验称为伯努利概型 或称为n重伯努利试验 用 p表示每次试验A发生的概率 则A发生的概率为qp 1 用 kPn 表示n重伯努 利试验中A出现 0 nkk 次的概率 knk k n nqpkP C nk 2 1 0 例 1 36 袋中装有 个白球及 个黑球 从袋中任取 a b 次球 每次放回 试求其中 含 a 个白球 b 个黑球的概率 a b 例 1 37 做一系列独立试验 每次试验成功的概率为 p 求在第 n 次成功之前恰失败 m 次 的概率 第二节第二节 练习题练习题 1 1 事件的运算和概率的性质 事件的运算和概率的性质 例 1 38 化简 A B A B BA 例 1 39 ABC AB C B 成立的充分条件为 1 ABC 2 BC 例 1 40 已知 P A x P B 2x P C 3x P AB P BC 求 x 的最大值 例 1 41 当事件 A 与 B 同时发生时 事件 C 必发生 则下列结论正确的是 A P C P AB B P C P AB C P C P A P B 1 D P C P A P B 1 2 2 古典概型 古典概型 例 1 42 3 男生 3 女生 从中挑出 4 个 问男女相等的概率 例 1 43 电话号码由四个数字组成 每个数字可以是 0 1 2 9 中的任一个数 求电话号 码是由完全不同的数字组成的概率 例 1 44 袋中有 6 只红球 4 只黑球 今从袋中随机取出 4 只球 设取到一只红球得 2 分 取到一只黑球得 1 分 则得分不大于 6 分的概率是 A B C D 42 23 7 4 42 25 21 13 例 1 45 10 个盒子 每个装着标号为 1 6 的卡片 每个盒子任取一张 问 10 张中最 大数是 4 的概率 例 1 46 将 n 个人等可能地分到 N n N 间房间中去 试求下列事件的概率 A 某指定的 n 间房中各有 1 人 B 恰有 n 间房中各有 1 人 C 某指定的房中恰有 m m n 人 例 1 47 有 5 个白色珠子和 4 个黑色珠子 从中任取 3 个 问全是白色的概率 3 3 条件概率和乘法公式 条件概率和乘法公式 例 1 48 假设事件 A 和 B 满足 P B A 1 则 A A 是必然事件 B BA C D BA 0 BAP 例 1 49 设 A B 为两个互斥事件 且 P A 0 P B 0 则结论正确的是 A P B A 0 B P A B P A C P A B 0 D P AB P A P B 例 1 50 某种动物由出生而活到 20 岁的概率为 0 7 活到 25 岁的概率为 0 56 求现龄 为 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率 例 1 51 某人忘记三位号码锁 每位均有 0 9 十个数码 的最后一个数码 因此在正确 拨出前两个数码后 只能随机地试拨最后一个数码 每拨一次算作一次试开 则他在 第 4 次试开时才将锁打开的概率是 A B C D 4 1 6 1 5 2 10 1 例 1 52 在空战训练中 甲机先向乙机开火 击落乙机的概率为 0 2 若乙机未被击落 就进行还击 击落甲机的概率是 0 3 若甲机未被击落 则再进攻乙机 击落乙机的概率 是 0 4 求在这几个回合中 甲机被击落的概率 乙机被击落的概率 例 1 53 为防止意外事故 在矿井内同时安装两种报警系统 A 与 B 每种系统单独使用时 其有效率 A 为 0 92 B 为 0 93 在 A 失灵条件下 B 有效概率为 0 85 求 1 这两种警 报系统至少有一个有效的概率 2 在 B 失灵条件下 A 有效的概率 4 4 全概和贝叶斯公式 全概和贝叶斯公式 例 1 54 甲文具盒内有 2 支蓝色笔和 3 支黑色笔 乙文具盒内也有 2 支蓝色笔和 3 支黑 色笔 现从甲文具盒中任取 2 支笔放入乙文具盒 然后再从乙文具盒中任取 2 支笔 求最 后取出的 2 支笔都是黑色笔的概率 例 1 55 三个箱子中 第一箱装有 4 个黑球 1 个白球 每二箱装有 3 个黑球 3 个白球 第三箱装有 3 个黑球 5 个白球 现先任取一箱 再从该箱中任取一球 问 1 取出的球 是白球的概率 2 若取出的为白球 则该球属于第二箱的概率 例 1 56 袋中有 4 个白球 6 个红球 先从中任取出 4 个 然后再从剩下的 6 个球中任取 一个 则它恰为白球的概率是 5 5 独立性和伯努利概型 独立性和伯努利概型 例 1 57 设 P A 0 P B 0 证明 1 若 A 与 B 相互独立 则 A 与 B 不互斥 2 若 A 与 B 互斥 则 A 与 B 不独立 例 1 58 设两个随机事件 A B 相互独立 已知仅有 A 发生的概率为 仅有 B 发生的概 4 1 率为 则 P A P B 4 1 例 1 59 若两事件 A 和 B 相互独立 且满足 P AB P P A 0 4 求 P B A B 例 1 60 设两两相互独立的三事件A B和C满足条件 ABC P A P B P C 且已知 则P A 2 1 16 9 CBAP 例 1 61 A 发生的概率是 0 6 B 发生的概率是 0 5 问 A B 同时发生的概率的范围 例 1 62 设某类型的高炮每次击中飞机的概率为 0 2 问至少需要多少门这样的高炮同时 独立发射 每门射一次 才能使击中飞机的概率达到 95 以上 例 1 63 由射手对飞机进行 4 次独立射击 每次射击命中的概率为 0 3 一次命中时飞机 被击落的概率为 0 6 至少两次命中时飞机必然被击落 求飞机被击落的概率 例 1 64 将一骰子掷 m n 次 已知至少有一次出 6 点 求首次出 6 点在第 n 次抛掷时出 现的概率 例 1 65 两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球 其中一罐 取名 甲罐 内 的红球数与黑球数之比为 2 1 另一罐 取名 乙罐 内的黑球数与红球数之比为 2 1 今任取一罐并从中取出 50 只球 查得其中有 30 只红球和 20 只黑球 则该罐为 甲罐 的概率是该罐为 乙罐 的概率的 A 154 倍 B 254 倍 C 798 倍 D 1024 倍 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 第一节第一节 基本概念基本概念 在许多试验中 观察的对象常常是一个随同取值的量 例如掷一颗骰子出现的点数 它本 身就是一个数值 因此 P A 这个函数可以看作是普通函数 定义域和值域都是数字 数字 到数字 但是观察硬币出现正面还是反面 就不能简单理解为普通函数 但我们可以通过 下面的方法使它与数值联系起来 当出现正面时 规定其对应数为 1 而出现反面时 规定其对应数为 0 于是 XX 当反面出现 当正面出现 0 1 称X为随机变量 又由于X是随着试验结果 基本事件 不同而变化的 所以X实际 上是基本事件 的函数 即 X X 同时事件 A 包含了一定量的 例如古典概型中 A 包含了 1 2 m 共 m 个基本事件 于是 P A 可以由 P X 来计算 这是一个 普通函数 定义 设试验的样本空间为 如果对 中每个事件 都有唯一的实数值 X X 与之对 应 则称 X X 为随机变量 简记为X 有了随机变量 就可以通过它来描述随机试验中的各种事件 能全面反映试验的情况 这就使得我们对随机现象的研究 从前一章事件与事件的概率的研究 扩大到对随机变量 的研究 这样数学分析的方法也可用来研究随机现象了 一个随机变量所可能取到的值只有有限个 如掷骰子出现的点数 或可列无穷多个 如电话交换台接到的呼唤次数 则称为离散型随机变量 像弹着点到目标的距离这样的 随机变量 它的取值连续地充满了一个区间 这称为连续型随机变量 1 1 随机变量的分布函数 随机变量的分布函数 1 1 离散型随机变量的分布率 离散型随机变量的分布率 设离散型随机变量X的可能取值为 Xk k 1 2 且取各个值的概率 即事件 X Xk 的 概率为 P X xk pk k 1 2 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律 有时也用分布列的形式给出 21 21 k k kppp xxx xXP X 显然分布律应满足下列条件 1 0 kp 2 1 k 2 1 1 k kp 例 2 1 投骰子 出现偶数的概率 例 2 2 4 黑球 2 白球 每次取一个 不放回 直到取到黑为止 令 X 为 取白球的 数 求 X 的分布律 例 2 3 若干个容器 每个标号 1 3 取出某号容器的概率与该号码成反比 令 X 表 示取出的号码 求 X 的分布律 2 2 分布函数 分布函数 对于非离散型随机变量 通常有 不可能用分布率表达 例如日光灯管0 xXP 的寿命 所以我们考虑用落在某个区间内的概率表示 X0 0 xXPX ba 定义定义 设为随机变量 是任意实数 则函数Xx xXPxF 称为随机变量 X 的分布函数 可以得到 X 落入区间的概率 也就是说 分布 aFbFbXaP ba 函数完整地描述了随机变量 X 随机取值的统计规律性 分布函数是一个普通的函数 它表示随机变量落入区间 x 内的概率 xF 的图形是阶梯图形 是第一类间断点 随机变量在处的概率就是 xF 21 xxX k x 在处的跃度 xF k x 分布函数具有如下性质 1 1 0 xF x 2 是单调不减的函数 即时 有 xF21xx 1xF 2xF 3 0 lim xFF x 1 lim xFF x 4 即是右连续的 0 xFxF xF 5 0 xFxFxXP 例 2 4 设离散随机变量的分布列为X 2 1 4 1 8 1 8 1 2 1 0 1 P X 求的分布函数 并求 X 2 1 XP 2 3 1 XP 2 3 1 XP 例 2 5 设随机变量 X 的分布函数为 00 0 1 x x x Ax xF 其中 A 是一个常数 求 1 常数 A 2 P 1 X 2 3 3 连续型随机变量的密度函数 连续型随机变量的密度函数 定义 设 xF 是随机变量X的分布函数 若存在非负函数 xf 对任意实数x 有 x dxxfxF 则称X为连续型随机变量 xf 称为X的概率密度函数或密度函数 简称概率密度 xf 的图形是一条曲线 称为密度 分布 曲线 由上式可知 连续型随机变量的分布函数 xF 是连续函数 所以 1221212121 xFxFxXxPxXxPxXxPxXxP 密度函数具有下面 4 个性质 1 0 xf 2 1 dxxf 1 dxxfF 的几何意义 在横轴上面 密度曲线下面的全部面积等于 1 如果一个函数 xf 满足 1 2 则它一定是某个随机变量的密度函数 3 21 xXxP 12 xFxF 2 1 x x dxxf 4 若 xf 在x处连续 则有 xfxF dxxfdxxXxP 它在连续型随机变量理论中所起的作用与 kkpxXP 在离散型随机变量理论中所起的 作用相类似 独立性古典概型 五大公式 APAE xXPxFxXX 对于连续型随机变量X 虽然有 0 xXP 但事件 xX 并非是不可能事件 hx x dxxfhxXxPxXP 令 0 h 则右端为零 而概率 0 xXP 故得 0 xXP 不可能事件 的概率为零 而概率为零的事件不一定是不可能事件 同理 必然事件 的概率为 1 而概率为 1 的事件也不一定是必然事件 例 2 6 随机变量 X 的概率密度为 f x 求 A 和 F x 其他 0 1 0 xxA xf 例 2 7 随机变量 X 的概率密度为 0 0 0 2 1 2 3 2 x xex xf x 求 X 的分布函数和 xF 42 XP 2 2 常见分布 常见分布 0 0 1 1 分布分布 P X 1 p P X 0 q 例如树叶落在地面的试验 结果只能出现正面或反面 二项分布二项分布 在重贝努里试验中 设事件发生的概率为 事件发生的次数是随机变量 设为nApA 则可能取值为 XXn 2 1 0 其中 knk k n nqpkPkXP C nkppq 2 1 0 1 0 1 则称随机变量服从参数为 的二项分布 记为 Xnp pnBX nknk k n n n nn pqpqpnpqq kXP X CC 22 2 1 容易验证 满足离散型分布率的条件 当时 这就是 0 1 分布 所以 0 1 分布是二1 n kkq pkXP 1 1 0 k 项分布的特例 例 2 8 某人进行射击 设每次射击的命中率为 0 001 若独立地射击 5000 次 试求射中 的次数不少于两次的概率 泊松分布泊松分布 设随机变量的分布律为X e k kXP k 0 2 1 0 k 则称随机变量服从参数为的泊松分布 记为或者 P X X 泊松分布为二项分布的极限分布 np n 如飞机被击中的子弹数 来到公共汽车站的乘客数 机床发生故障的次数 自动控制系统 中元件损坏的个数 某商店中来到的顾客人数等 均近似地服从泊松分布 例 2 9 某人进行射击 设每次射击的命中率为 0 001 若独立地射击 5000 次 试求射中 的次数不少于两次的概率 用泊松分布来近似计算 超几何分布超几何分布 min 2 1 0 nMl lk C CC kXP n N kn MN k M 随机变量 X 服从参数为 n N M 的超几何分布 例 2 10 袋中装有 个白球及 个黑球 从袋中任取 a b 个球 试求其中含 a 个白球 b 个黑球的概率 a b 非重复排列 ba ba C CC 例 2 11 袋中装有 个白球及 个黑球 从袋中连续地取 a b 个球 不放回 试求其 中含 a 个白球 b 个黑球的概率 a b 非重复排列 ba ba ba ba P PCC 例 2 12 袋中装有 个白球及 个黑球 从袋中连续地取 a b 个球 放回 试求其中 含 a 个白球 b 个黑球的概率 a b 重复排列 a ba ba C 几何分布几何分布 其中 p 0 q 1 p 3 2 1 1 kpqkXP k 随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布 例 2 13 5 把钥匙 只有一把能打开 如果某次打不开不扔掉 问以下事件的概率 第一次打开 第二次打开 第三次打开 均匀分布均匀分布 设随机变量X的值只落在 a b 内 其密度函数 xf 在 a b 上为常数 k 即 其他 0 k xf 其中 k ab 1 则称随机变量X在 a b 上服从均匀分布 记为 X U a b 分布函数为 0 x a ab ax a x b a x b x dxxfxF 当 a x1b xf x e 0 x 0 0 x xF 1 x e 0 x 0 xc 4 1 NX 2 75 XP 6 10 XP 2P X c 例 2 17 某人需乘车到机场搭乘飞机 现有两条路线可供选择 第一条路线较短 但交 通比较拥挤 到达机场所需时间 X 单位为分 服从正态分布 N 50 100 第二条路线较 长 但出现意外的阻塞较少 所需时间 X 服从正态分布 N 60 16 1 若有 70 分钟可 用 问应走哪一条路线 2 若有 65 分钟可用 又应选择哪一条路线 3 3 随机变量函数的分布 随机变量函数的分布 随机变量是随机变量的函数 若的分布函数或密度函数YX XgY X xFX 知道 则如何求出的分布函数或密度函数 xfX XgY yFY yfY 1 1 是离散型随机变量是离散型随机变量X 已知的分布列为X 21 21 n n ippp xxx xXP X 显然 的取值只可能是 若互不相等 则的 XgY 21nxgxgxg ixgY 分布列如下 21 21 n n i ppp xgxgxg yYP Y 若有某些相等 则应将对应的相加作为的概率 ixgiP ixg 例 2 18 已知随机变量的分布列为X 3 1 3 1 3 1 2 1 0 P X 求的分布列 2 XY 2 2 是连续型随机变量是连续型随机变量X 先利用 X 的概率密度 fX x 写出 Y 的分布函数 FY y 再利用变上下限积分的求导公式求出 fY y 例 2 19 已知随机变量 求的密度函数 其他 0 10 13 5 2 xx xfXXYln yfY 第二节第二节 练习题练习题 1 1 常见分布 常见分布 例 2 20 一个袋中有 5 只球 编号为 1 2 3 4 5 在其中同时取 3 只 以 X 表示取 出的 3 个球中的最大号码 试求 X 的概率分布 例 2 21 设非负随机变量 的密度函数为 f x A x 0 则 A 2 7 2 x ex 例 2 22 是概率密度函数的充分条件是 21 xfxf 1 均为概率密度函数 21 xfxf 2 1 0 21 xfxf 例 2 23 一个不懂英语的人参加 GMAT 机考 假设考试有 5 个选择题 每题有 5 个选项 单选 试求 此人答对 3 题或者 3 题以上 至少获得 600 分 的概率 例 2 24 设随机变量 X U 0 5 求方程有实根的概率 0244 2 XXxx 例 2 25 设随机变量 X 的概率密度为 其他 0 6 3 9 2 1 0 3 1 x x xf 其使得 则 k 的取值范围是 3 2 kXP 例 2 26 已知某种电子元件的寿命 单位 小时 服从指数分布 若它工作了 900 小 时而未损坏的概率是 则该种电子元件的平均寿命是 9 0 e A 990 小时 B 1000 小时 C 1010 小时 D 1020 小时 例 2 27 设随机变量X 的概率密度为 则其分布函数F x 是 2 1 xex x A 0 1 0 2 1 x xe xF x B 0 2 1 1 0 2 1 xe xe xF x x C 0 1 0 2 1 1 x xe xF x D 1 1 10 2 1 1 0 2 1 x xe xe xFx x 例 2 28 X N 1 4 Y N 2 9 问 P X 1 和 P Y 5 谁大 例 2 29 X N 2 0 0 且 P 则 x 2 1 2 2 函数分布 函数分布 例 2 30 设随机变量 X 具有连续的分布函数 F x 求 Y F X 的分布函数 F y 或证明题 设 X 的分布函数 F x 是连续函数 证明随机变量 Y F X 在区间 0 1 上服从均匀分 布 例 2 31 设随机变量 X 的分布函数为 F x 则 Y 2lnF X 的概率分布密度函数 fY y 例 2 32 设 X U 并且 y tanx 求 Y 的分布密度函数 f y 2 2 例 2 33 设随机变量 X 服从指数分布 则随机变量Y min X 2 的分布函数 A 是连续函数 B 至少有两个间断点 C 是阶梯函数 D 恰好有一个间断点 第三章第三章 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布 第一节第一节 基本概念基本概念 1 1 二维随机变量的基本概念 二维随机变量的基本概念 1 1 二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布 二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布 如果二维随机向量 X Y 的所有可能取值为至多可列个有序对 x y 时 则称为离 散型随机量 理解 X x Y y X x Y y 设 X Y 的所有可能取值为 且事件 的概 2 1 jiyx ji ji yx 率为pij 称 2 1 jipyxYXP ijji 为 X Y 的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律 联合分布有时也用下面的概率分布 表来表示 Y X y1y2 yj pi x1p11p12 p1j p1 x2p21p22 p2j p2 xipi1 pi p jp 1p 2 p j 1 这里pij具有下面两个性质 1 pij 0 i j 1 2 2 1 ij ij p 对于随机向量 X Y 称其分量 X 或 Y 的分布为 X Y 的关于 X 或 Y 的边缘分布 上表中的最后一列 或行 给出了 X 为离散型 并且其联合分布律为 2 1 jipyxYXP ijji 则 X 的边缘分布为 2 1 jipxXPP ij j ii Y 的边缘分布为 2 1 jipyYPP ij i ii 例 3 1 二维随机向量 X Y 共有六个取正概率的点 它们是 1 1 2 1 2 0 2 2 3 1 3 2 并且 X Y 取得它们的概率相同 则 X Y 的联 合分布及边缘分布为 Y X 1012p1 1 6 1 000 6 1 2 6 1 6 1 0 6 1 2 1 300 6 1 6 1 3 1 p j 3 1 6 1 6 1 3 1 1 2 2 二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布 二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布 对于二维随机向量 如果存在非负函数 YX yxyxf 使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D 即 D X Y a x b c y d 有 D dxdyyxfDYXP 则称为连续型随机向量 并称 f x y 为 X Y 的分布密度或称为 X 和 Y 的联合分 布密度 分布密度 f x y 具有下面两个性质 1 f x y 0 2 1 dxdyyxf 一般来说 当 X Y 为连续型随机向量 并且其联合分布密度为 f x y 则 X 和 Y 的边 缘分布密度为 dxyxfyfdyyxfxf YX 注意 联合概率分布 边缘分布 例 3 2 设 X Y 的联合分布密度为 其他 0 0 0 43 yxCe yxf yx 试求 1 常数 C 2 P 0 X 1 0 Yx1时 有 F x2 y F x1 y 当 y2 y1时 有 F x y2 F x y1 3 F x y 分别对 x 和 y 是右连续的 即 0 0 yxFyxFyxFyxF 4 1 0 FxFyFF 2 2 随机变量的独立性 随机变量的独立性 1 1 一般型随机变量 一般型随机变量 F X Y FX x FY y 2 2 离散型随机变量 离散型随机变量 jiij ppp 例 3 5 二维随机向量 X Y 共有六个取正概率的点 它们是 1 1 2 1 2 0 2 2 3 1 3 2 并且 X Y 取得它们的概率相同 则 X Y 的联 合分布及边缘分布为 Y X 1012p1 1 6 1 000 6 1 2 6 1 6 1 0 6 1 2 1 300 6 1 6 1 3 1 p j 3 1 6 1 6 1 3 1 1 3 3 连续型随机变量 连续型随机变量 f x y fX x fY y 联合分布 边缘分布 f x y fX x fY y 直接判断 充要条件 可分离变量 正概率密度区间为矩形 例 3 6 如图 3 1 f x y 8xy fX x 4x3 fY y 4y 4y3 不独立 例 3 7 f x y 其他 0 10 2 0 2 yxAxy 4 4 二维正态分布 二维正态分布 12 1 2 2 2 21 21 2 1 1 2 21 2 1 2 1 2 yyxx eyxf 0 5 5 随机变量函数的独立性 随机变量函数的独立性 若 X 与 Y 独立 h g 为连续函数 则 h X 和 g Y 独立 例如 若 X 与 Y 独立 则 3X 1 和 5Y 2 独立 3 3 简单函数的分布 简单函数的分布 两个随机变量的和两个随机变量的和 Z X YZ X Y 离散型 例 3 8 设 X Y 的联合分布为 X Y012 0 12 1 6 1 12 1 1 3 1 6 1 6 1 求 i Z1 X Y ii Z2 X Y iii Z3 XY 的分布列 连续型 fZ z dxxzxf 两个独立的正态分布的和仍为正态分布 2 2 2 121 例 3 9 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量 且 X U 0 1 Y e 1 求 Z X Y 的 分布密度函数 fz z 混合型 例 3 10 设随机变量 X 与 Y 独立 其中 X 的概率分布为 7 03 0 21 X 而 Y 的概率密度为 f y 求随机变量 U X Y 的概率密度 g u 第二节第二节 练习题练习题 1 1 二维随机变量联合分布函数 二维随机变量联合分布函数 例 3 11 如下四个二元函数 哪个不能作为二维随机变量 X Y 的分布函数 A 0 0 0 1 1 1 其他 yxee yxF yx B 3 arctan 22 arctan 2 1 2 2 yx yxF C 1 2 0 12 1 3 yx yx yxF D 0 0 0 2221 4 其他 yx yxF yxyx 例 3 12 设某班车起点站上车人数 X 服从参数为的泊松分布 每位乘客在中途 0 下车的概率为 p 0 p 1 并且他们在中途下车与否是相互独立的 用 Y 表示在中途下车的 人数 求 1 在发车时有 n 个乘客的条件下 中途有 m 人下车的概率 2 二维随机向量 X Y 的概率分布 例 3 13 一射手进行射击 击中目标的概率为 p 0 p2 Y0 x e E X D X 1 2 1 正态分布 X N 2 2 2 2 2 1 x exf E X D X 2 例 4 10 罐中有 5 颗围棋子 其中 2 颗为白子 另 3 颗为黑子 如果有放回地每次取 1 子 共取 3 次 求 3 次中取到的白子次数 X 的数学期望与方差 例 4 11 在上例中 若将抽样方式改为不放回抽样 则结果又是如何 例 4 12 设随机变量 X 服从参数为 0 的泊松分布 且已知 E X 1 X 2 1 求 例 4 13 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布 求 E X 3e 2x 例 4 14 设 X Y 服从区域 D x y 0 x 1 0 y 1 上的均匀分布 求 E X Y E X Y E XY D X Y D 2X 3Y 2 2 二维随机变量的数字特征 二维随机变量的数字特征 1 1 协方差和相关系数 协方差和相关系数 对于随机变量 X 与 Y 称它们的二阶混合中心矩为 X 与 Y 的协方差或相关矩 记为 11 即 cov YX XY或 11 YEYXEXE XY 与记号相对应 X 与 Y 的方差 D X 与 D Y 也可分别记为与 XY XX YY 协方差有下面几个性质 i cov X Y cov Y X ii cov aX bY ab cov X Y iii cov X1 X2 Y cov X1 Y cov X2 Y iv cov X Y E XY E X E Y 对于随机变量 X 与 Y 如果 D X 0 D Y 0 则称 YDXD XY 为 X 与 Y 的相关系数 记作 有时可简记为 XY 1 当 1 时 称 X 与 Y 安全相关 完全相关 时 负相关 当 时 正相关 当 1 1 而当时 称 X 与 Y 不相关 0 与相关系数有关的几个重要结论 i 若随机变量 X 与 Y 相互独立 则 反之不真 0 XY ii 若 X Y N 则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 2 2 2 121 0 即 X 和 Y 不相关 iii 以下五个命题是等价的 0 XY cov X Y 0 E XY E X E Y D X Y D X D Y D X Y D X D Y 例 4 15 设 D X 25 D Y 36 求 D X Y 及 D X Y 4 0 XY 2 2 二维随机变量函数的期望 二维随机变量函数的期望 为连续型 为离散型 YXdxdyyxfyxG YXpyxG YXGE ij ijji 3 3 原点矩和中心矩 原点矩和中心矩 对于正整数 k 称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩 记为 vk 即 uk E Xk k 1 2 于是 我们有 续型时为连当 为离散型时 当 Xdxxpx Xpx u k i i k i k 对于正整数 k 称随机变量 X 与 E X 差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心矩 记为 即 k 2 1 kXEXE k k 于是 我们有 续型时为连当 为离散型时 当 XdxxpXEx XpXEx u k i i k i k 对于随机变量 X 与 Y 如果有存在 则称之为 X 与 Y 的k l阶混合原点矩 记 lkY XE 为 即 kl u YEYXEXEu k kl 第二节第二节 练习题练习题 1 一维随机变量及其函数的数字特征 一维随机变量及其函数的数字特征 例 4 16 设连续型随机变量 X 的概率密度函数是 其他0 10 2 xcbxax xf 且已知 EX 0 5 DX 0 15 求系数 a b c 例 4 17 将 10 封信放入到 9 个信箱中去 设每封信落入各个信箱是等可能的 求有信的 信箱数 X 的数学期望 例 4 18 一辆送客汽车 载有 50 位乘客从起点站开出 沿途有 10 个车站可以下车 若 到达一个车站 没有乘客下车就不停车 设每位乘客在每一个车站下车是等可能的并且各 旅客是否下车相互独立 设 X 表示停车的次数 试求 E X 和 D X 例 4 19 设某一机器加工一种产品的次品率为 0 1 检验员每天检验 4 次 每次随机地抽 取 5 件产品检验 如果发现多于 1 件次品 就要调整机器 求一天中调整机器次数的概率 分布及数学期望 例 4 20 地铁到达一站时间为每个整点的第 5 分 25 分 55 分钟 设一乘客在早 8 点 9 点之间随机到达 求侯车时间的数学期望 2 2 二维随机变量及其函数的数字特征 二维随机变量及其函数的数字特征 例 4 21 设 X N 1 2 Y N 2 4 且 X Y 相互独立 求 Z 2X Y 3 的分布密度函数 f z 例 4 22 设 X1 X2 Xn为独立同分布的随机变量 均服从 证明 2 N 服从分布 n i i X n X 1 1 2 n N 例 4 23 设二维随机向量 X Y 的联合分布密度函数 0 5 102 5 其他 yxxe yxf y 则 E XY 例 4 24 设 X Y 服从在 A 上的均匀分布 其中 A 为 x 轴 y 轴及直线所围1 2 y x 成的三角形区域 求 X Y XY 的数学期望及方差 例 4 25 设随机变量 X 和 Y 的联合分布在以点 0 1 1 0 1 1 为顶点的三角 形区域上服从均匀分布 试求随机变量 U X Y 的方差 例 4 26 设 X Y 是随机变量 均服从标准正态分布 相关系数 令 XY 2 1 Z1 aX Z2 bX cY 试确定 a b c 的值 使 D Z1 D Z2 1 且 Z1和 Z2不相关 3 3 独立和不相关 独立和不相关 例 4 27 设随机变量 X 和 Y 的方差存在且不等于 0 则 D X Y D X D Y 是 X 和 Y A 不相关的充分条件 且不是必要条件 B 独立的充分条件 但不是必要条件 C 不相关的充分必要条件 D 独立的充分必要条件