理论力学习题1.ppt

1 2某船向东航行 速率为每小时15千米 在正午经过某一灯塔 另一船以同样速度向北航行 在下午1时30分经过此灯塔 问在什么时候两船的距离最近 最近的距离是多少 解 以正午为计时零点 设东向船为A 北向船为B 以灯塔为坐标原点 建立坐标系o xy 如图所示 在t时刻 两船位置分别为 则 即午后45分钟 将值代入表达式得 千米 答 在正午后45分钟两船相距最近 其最近距离为15 9千米 1 3曲柄 以匀角速绕定点O转动 此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线ox运动 求连杆上C点的轨迹方程及速度 设 解 如图所示建立坐标系o xy C点的坐标为 在三角形AOB中 由 1 2 两式消去得 即 由 2 3 两式消去得 由 4 5 两式消去得 上式化简得轨道方程为 对 1 2 两式取微商得 对 3 式取微商得 将 8 代入 6 7 得 C点的速度为 1 4细杆OL绕O点以匀角速转动 并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动 如图所示 d为一已知常数 试求小环的速度及加速度的量值 解 如图建立直角坐标系O xy 小环在任意时刻的位矢为 式中用到 小环的速度的量值为 小环的加速度的量值为 1 9质点作平面运动 其速率保持为常数 试证明其速度矢量v与加速度矢量a正交 证 上式对时间取微商 即 方法1 方法2 1 10一质点沿着抛物线运动 其切向加速度的量值为法向加速度的倍 如此质点从正焦弦 的一端以速度u出发 试求其达到正焦弦另一端时的速率 解 由得 终点 根据题意 故 所以 积分 1 11质点沿着半径为r的圆周运动 其加速度矢量与速度矢量间的夹角保持不变 求质点的速度随时间而变化的规律 已知初速度为 解 按题意画图 如图所示 沿切向与同向 与间夹角 即与间夹角为 为常数 则 1 15当一轮船在雨中航行时 它的雨蓬遮着篷的垂直投影后2米的甲板 篷高4米 但当轮船停航时 甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3米 如果雨点的速度为8米 秒 求轮船的速率 解 选择 研究对象 雨点动系 轮船静系 岸边 雨对地的速度 绝对速度 为 雨对船的速度 相对速度 为船对地的速度 牵连速度 为方向如图所示 由相对运动速度公式有 由图形知 与速度三角形相似 则 1 16宽度为d的河流 其流速与到河岸的距离成正比 在河岸处 水流速度为零 在河流中心处 其值为c 一小船以相对速度u沿垂直于水流的方向行驶 求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点 解 如图所示 取船离岸处为坐标原点 轴平行于河流方向 轴和它垂直 船的轨迹为 船在对岸靠拢点 船的轨迹为 1 19将质量为m的质点竖直上抛于有阻力的媒质中 设阻力与速度平方成正比 即 如上掷时的速度为 试证此质点又落至投掷点时的速度为 证 1 上抛 选取坐标系 受力分析如图所示 运动微分方程为 到达最高点 2 下落 受力分析如图所示 运动微分方程为 利用初始条件 积分得 落至投掷点 落至投掷点的速度为 证毕 1 21将一质点以初速抛出 与水平线所成之角为 此质点所受到的空气阻力为其速度的倍 为质点的质量 为比例常数 试求当此质点的速度与水平线所成之角又为时所需的时间 解 受力分析如图所示 建立坐标系质点运动微分方程为 利用初始条件 对上式积分得 根据题意有 整理得 所需时间为 1 22如向互相垂直的匀强电磁场E H中发射一电子 并设电子的初速度V与E及H垂直 试求电子的运动规律 已知此电子所受的力为 B为磁感应强度 e为电子所带的电荷 v为任一瞬时电子运动的速度 解 取电子初速V沿x轴 电场强度E沿y轴 磁感应强度B沿z轴 电子受力 设电子的质量为m 则运动微分方程为 利用初始条件 对 3 式积分两次得 利用初始条件 对 1 式积分得 将 5 代入 2 式得 整理得 特征方程为 6 式齐次方程的通解为 6 式非齐次方程的特解为 所以方程 6 的通解为 7 式取微商得 利用初始条件 代入 7 得 将 8 代入 5 式得 利用初始条件 对 9 式积分得 4 8 10 为电子的运动方程 1 26一弹性绳上端固定 下端悬有m及两质点 设a为绳的固有长度 b为加m后的伸长 c为加后的伸长 今将任其脱离而下坠 试证质点m在任一瞬时离上端o的距离为 证 研究对象为质点 其受力分析如图所示 设坐标原点在处 向下为正 建立坐标轴 质点平衡时 质点运动微分方程为 其解为 将初始条件 代入得 初始条件 又解 选为坐标原点 建立坐标 质点运动微分方程为 又解 选为坐标原点 建立坐标 质点运动微分方程为 即 即 1 29一质量为m的质点自光滑圆滚线的尖端无初速的下滑 试证在任何一点的压力为 式中为水平线与质点运动方向间的夹角 已知圆滚线方程为 证 受力分析如图所示 质点运动微分方程为 1 式积分 3 4 代入 2 得 1 31假定单摆在有阻力的媒质中振动 并假定振动很小 故阻力与成正比 且可写为 式中m是摆锤的质量 l为摆长 k为比例系数 试证当时 单摆的振动周期为 证 选取自然坐标系 受力分析如图所示 切向运动微分方程为 很小 方程可写为 特征根为 当时 2 式的解为 振动周期为 即 1 32光滑楔子以匀加速度a0沿水平面运动 质量为m的质点沿楔子的光滑面滑下 求质点的相对加速度和质点对楔子的压力P 解 1 a0沿x正向 取楔子为参照系 建立坐标系o xy 受力分析如图所示 所以 压力P与N大小相等 方向相反 2 a0沿x负向 取楔子为参照系 建立坐标系o xy 受力分析如图所示 所以 压力P与N大小相等 方向相反 1 33光滑钢丝圆圈的半径为r 其平面为竖直的 圆圈上套一小环 其重为W 如钢丝圈以匀加速度a沿竖直方向运动 求小环的相对速度vr及圈对小环的反作用力R 解 以圆圈为参照系 建立坐标系o xy 1 a沿y轴正向 小环受力分析如图所示 其运动微分方程为 上式代入 1 式后 分离变量积分 3 代入 2 得 2 a沿y轴负向 小环受力分析如图所示 其运动微分方程为 综合以上结果 同理解得 1 25滑轮上系一不可伸长的绳 绳上悬一弹簧 弹簧另一端挂一重为W的物体 当滑轮以匀速转动时 物体以匀速下降 如将滑轮突然停止 试求弹簧的最大伸长及最大张力 假定弹簧受的作用时静伸长量为 解 以弹簧原长处为弹性势能零点 以弹簧平衡位置 伸长时 为坐标原点建立坐标 且以点为重力势能零点 如图所示 由机械能守恒得 弹簧处于平衡位置时 代入上式并化简得 弹簧的最大伸长量为 且最大张力为 又解 此过程中 只有保守力做功 机械能守恒 且初始动能全部转化为弹性势能 即 弹簧的最大伸长量为 且最大张力为 1 27一质点自一水平放置的光滑固定圆柱面凸面的最高点自由滑下 问滑至何处 此质点将离开圆柱面 假定圆柱体的半径为r 解 以质点为研究对象 受力分析如图所示 设质点m滑至与竖直线夹角为处离开圆柱面 此时 则质点的法线方程为 质点滑动过程中 只保守力作功 机械能守恒 两式联立得 1 28重为W的小球不受摩擦而沿半长轴为a 半短轴为b的椭圆弧滑下 此椭圆的短轴是竖直的 如小球自长轴的端点开始运动时 其初速为零 试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力 解 小球运动过程中 只有保守力做功 机械能守恒 小球到达最低点时 法向方程为 椭圆方程 曲率半径 将 1 3 代入 2 得 对椭圆的压力 P与N方向相反 1 39一质点受一与距离的3 2次方成反比的引力作用在一直线上运动 试证此质点自无穷远到达时的速率和自静止出发到达 4时的速率相同 证 如图所示 质点受引力作用 为比例系数 质点运动微分方程为 即 质点由到 4 证毕 质点由无穷远到 1 45如及为质点在远日点及近日点处的速率 试证明 证 质点在有心力作用下 动量矩守恒 圆锥曲线轨道方程 在近日点 在远日点 于是 所以 证毕 1 48试根据 1 9中所给的我国第一颗人造地球卫星的数据 求此卫星在近地点和远地点的速率v1及v2 以及它绕地球运行的周期 参看82页 解 已知卫星运行轨道为椭圆轨道 近地点和远地点距离分别为 r1 439 6370 6809kmr2 2384 6370 8754km 其能量方程为 a为椭圆轨道半长轴 由动