高三数学第四章数系的扩充4.2复数的运算课件.ppt

2020 3 5 第四章数系的扩充 复数 2020 3 5 4 2复数的运算 2020 3 5 1 对虚数单位i的规定 i2 1 i可以与实数一起进行四则运算 并且加 乘法运算律不变 练习 根据对虚数单位i的规定把下列运算的结果都化为a bi a b r 的形式 3 2 i 3 i i i 5 0 2 i 6 3i 1 3i 0 i 5 0i 0 0i 2 1 i 2 我们把形如a bi 其中 的数 a b r 称为复数 记作 z a bi 其中a叫做复数的 b叫做复数的 全体复数集记为 z 实部 z 虚部 c 有时把实部记成为re z 虚部记成为im z 3 由于i2 1 知i为 1的一个 1的另一个 一般地 a a 0 的平方根为 i 2 平方根 平方根为 i a a 0 的平方根为 4 复数z a bi a b r b 0 分数 不循环小数 虚数 b 0 特别的当a 0时 纯虚数 a 0是z a bi a b r 为纯虚数的条件 必要但不充分 2020 3 5 5 两个复数相等 设z1 a bi z2 c di a b c d r 则z1 z2 即实部等于实部 虚部等于虚部 特别地 a bi 0 a b 0 注意 一般地 两个复数只能说相等或不相等 而不能比较大小 显然 实数集r是复数集c的真子集 即rc 思考 对于任意的两个复数到底能否比较大小 答案 当且仅当两个复数都是实数时 才能比较大小 即 若z1 z2z1 z2 r且z1 z2 2020 3 5 复数的四则运算 复数的加法 减法 乘法运算与实数的运算基本上没有区别 最主要的是在运算中将i2 1结合到实际运算过程中去 2020 3 5 1 复数加减法的运算法则 1 运算法则 设复数z1 a bi z2 c di 那么z1 z2 a c b d i z1 z2 a c b d i 即 两个复数相加 减 就是实部与实部 虚部与虚部分别相加 减 2 复数的加法满足交换律 结合律 即对任何z1 z2 z3 c 有z1 z2 z2 z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 2020 3 5 例1 计算 解 2020 3 5 2 复数的乘法与除法 1 复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似的 但必须在所得的结果中把i2换成 1 并且把实部合并 两个复数的积仍然是一个复数 即 a bi c di ac bci adi bdi2 ac bd bc ad i 2020 3 5 2 复数乘法的运算定理 复数的乘法满足交换律 结合律以及乘法对加法的分配律 即对任何z1 z2 z3有z1z2 z2z1 z1z2 z3 z1 z2z3 z1 z2 z3 z1z2 z1z3 实数集r中正整数指数的运算律 在复数集c中仍然成立 即对z1 z2 z3 c及m n n 有zmzn zm n zm n zmn z1z2 n z1nz2n 2020 3 5 3 复数的除法法则 先把除式写成分式的形式 再把分子与分母都乘以分母的共轭复数 化简后写成代数形式 分母实数化 即 5 共轭复数的乘除性质 4 复数的一个重要性质 2020 3 5 如果n n 有 i4n 1 i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i 事实上可以把它推广到n z 设 则有 事实上 与统称