数学物理方程第七章 变分法及其应用.pdf

第第 7 章章 变分法及其应用变分法及其应用 在数学物理中能够精确求解的边值问题或固有值问题并不多 因此 在实际工作中 经 常采用各种近似的方法来解决具体的问题 变分法就是其中最有力的方法之一 所谓变分法 就是求函数极值的方法 下面先介绍什么是泛函以及泛函极值 然后再简要介绍求泛函极值 的方法以及它的一些应用 7 1 泛函和泛函极值 我们以前研究的函数是指这样一种现象 对于数集A中的任一个元素z 数集B中存在 一个元素w与之对应 我们就说w是z的一个函数 记为 zw 在自然现象中 不仅存在 这样的数与数的对应 还存在着其他种种性质不同的对应关系 我们看下面的问题 设C为区间 10 xx上满足条件 1100 yxyyxy 的一切可微函数 xy的集合 这里的每一个元素对应着xy平面上由点 000 yxP到点 111 yxP的一条光滑曲线 xyy 用L表示曲线上 10P P段的弧长 则 dxyL x x 1 0 2 1 7 1 1 显然 弧长L的值取决于曲线段 10P P的形状 也就是取决于函数 xy的形状 对不同的曲 线 xy L的值可能不同 这样 我们就在函数 xy与实数L之间建立了一种对应关系 为了描述这种对应关系 我们引入了泛函这个概念 设C是一个由函数组成的集合 对于C中的任何一个元素 xy 数集B中都有一个元 素J与之对应 称J是 xy的泛函数 记作 xyJJ 7 1 2 由此可见 泛函与普通函数是不一样的 其差别在于普通函数的值是数 自变量也是数 而泛函的值是数 自变量却是函数 泛函的概念是函数概念的推广 由此可知 式 7 1 1 表示了一个泛函 一般情况下 泛函式 7 1 2 常用积分形式表示 dxyyxFxyJ x x 1 0 7 1 3 式中 被积函数 yyxF 称为核 在实际工作中 为了完成某项任务 我们首先要分析实际问题特殊现象与一般规律 之间的关系 然后建立数学上的表达式 如求连接两个定点的曲线段中弧长最短的曲线 方程 xy 即求自变量 yy 使泛函 dxyxyJ x x 1 0 2 1 取最小值 这就是所说的泛函极值问 题 下面我们研究一下著名的最速降 线问题 捷线问题 设AO 是高度 不同 且不在同一铅垂线上的两定点 如果不计摩擦和空气阻力 一质点m 在重力作用下从O点沿一曲线降落至 A点 问曲线呈何种形状时 质点降 落的时间最短 设曲线为 xyy 坐标如图 7 1 质点由O点开始运动 它的速度v与它的纵坐标有关系 gyv2 2 式中 g是重力加速度 在曲线上点 yx处 质点的运动速度为 dt dxy dt ds v 2 1 式中 s表示曲线的弧长 t表示时间 于是 dx gy y dx v y dt 2 11 2 2 由于点AO 的横坐标分别是p 0 则质点m从O点运动到A点所需时间为 p dx gy y yJt 0 2 2 1 7 1 4 这样 质点由O点运动到A点所需时间t是 xy的函数 最速降线问题就是满足边界条 件 qpyy 0 0 的所有连续函数 xy中 求出一个函数 y使泛函式 7 1 4 取最小值 对泛函求极值的问题称为变分问题 使泛函取极值的函数称为变分问题的解 也称 为极值函数 在微分学中 求函数 xyy 的 极值是求自变量x的值 当x取这些值时 y取极 y y O x qpA x 图 7 1 大 小 值 取极值的必要条件是0 0 xx dx dy 下面我们仿照函数微分的概念来定义泛 函的变分概念 进而导出泛函极值存在的必要条件 设 0 yy是集合C的元素 称 0 yyy 为函数y在 0 y处的变分 这里的y 是x的函数 它与y 的区别在于 变分y 反映的是整个函数的改变 而y 表示的是同一个函数 xy因x的不同值而产生的差异 在本书 我们总是假定 xy和 yyxF 都是充分光滑的 且 xy在两个端点处固定 即 21 ybyyay 7 1 5 式中 21 y y是两个常数 下面我们考虑泛函 dxyyxFxyJ b a 7 1 6 当函数 xy有微小改变且变为 xyxy 时 利用 y y F y y F yyxFyyyyxF 上式可推出 dxy y F y y F yJyyJ b a 上式称为 yJ的变分 记为 yJ 即 dxy y F y y F yJ b a 7 1 7 下面我们证明 泛函 yJ取极值的必要条件是 0 yJ 7 1 8 或者 0 y F dx d y F 7 1 9 设 xyy 使泛函 yJ取极值 取函数 xy变分的特殊形式为 xxy 式中 是任意小的实数 x 是充分光滑的任意函数 并且满足条件 0 0 ba 这样 函数 xxy 满足边界条件式 7 1 5 因此 泛函 xxyJ 当0 时取最小值 xyJ 从而有 0 0 xxyJ d d 由于 dxx y F x y F xyJxxyJ b a 则有 0 dxx y F x y F b a 7 1 10 以 乘式 7 1 10 且 xxy 则有 0 dyy y F y y F dxx y F x y F yJ b a b a 应用分部积分 我们作进一步的分析 有 b a b a b a b a b a b a b a dxx y F dx d y F dx y F dx d xx y F dxx y F dxx y F dxx y F dxx y F x y F 0 由 x 的任意性 可得 0 y F dx d y F 7 1 11 式 7 1 11 称为欧拉 拉格朗日方程 简记为 E L 方程 这就是泛函 xyJ有极限 的必要条件 也就是说 xyy 使泛函式 7 1 6 取极小值 则 xyy 一定使欧 拉 拉格朗日方程式 7 1 11 满足边界条件式 7 1 5 的解 我们把满足 E L 方程边值问题的解称为驻留函数 对应的积分曲线称为驻留曲线 严格地讲 E L 方程边值问题的解满足变分问题的必要条件 因此它是否是极值函数 还需作进一步的判别 在实际问题中 极值的存在性通常给出问题时己经肯定了 这样 当一个实际现象已知其有唯一的极值存在 而这时也只得到一个驻留函数 则可以判定 这个驻留函数就是极值函数 下面我们来解决本章开始部分的两个例题 例 1 最短距离问题 解 dxyxyJ x x 1 0 2 1 因为 2 1yF 所以 2 1 0 y y y F y F E L 方程为 0 y F dx d y F 则有 1 C y F 这里 1 C是积分常数 即 1 2 1 C y y 解得 a C C y 2 1 1 1 所以 baxy 由 1100 yxyyxy 可得 11 12 12 yxx xx yy y 例2 捷线问题 解 p dx gy y xyJ 0 2 2 1 且 qpyy 0 0 这样 gy y yyFyyxF 2 1 2 7 1 12 其 E L 方程为 0 y F dx d y F 由于 0 y F dx d y y F yy y F y y F y F yyyF dx d 所以有 C y F yyF 7 1 13 将 7 1 2 代入式 7 1 13 C ygy y y gy y 2 2 12 2 1 C ygy 2 12 1 由此得 r gC yy2 2 1 1 2 2 7 1 14 引入变量代换 xx 并设 2 cot y 则由式 7 1 14 可得 cos1 2 sin2 2 rry 上式对 求导 得 sinr d dx y 即 sin 2 cotr d dx cos1 2 sin2 2 rr d dx 所以 0 sin xrx 根据曲线过原点 0 0 及 qp可求出0 0 x及r 这样 所求曲线为 cos1 sin ry rx 是旋轮线的一段 7 2 变分法在固有值问题中的应用 本节我们介绍利用变分法解决固有值问题 在第 2 章里我们学过 所谓固有值问题就是在一 定的边界条件下 求解含有参数的微分方程 为了表达上的方便 将需要求解的常微分方程 写为 xyxyL 7 2 1 其中L是一个作用在函数 xy上的线性微分算符 假定所讨论的固有值问题是劝函数 1 的斯 刘型固有值问题 其固有值满足 L 321 0 7 2 2 相应的固有函数 L 321 xxx 7 2 3 它们相互正交 并且组成了完备的函数系 假定它们已经归一化 即 nm nm dxxx nm 1 0 7 2 4 这样 对任意的有连续导数的平方可积函数 xy 都可以按固有函数系展开 n nn xCxy 7 2 5 式中 dxxyxCn 7 2 6 假定 xy也是归一化的函数 即 1 2 dxxy 7 2 7 由式 7 2 5 及式 7 2 4 可得 n n C1 2 7 2 8 由式 7 2 1 式 7 2 2 及式 7 2 3 可知 xxL nnn 7 2 9 这样 将线性微分算符L 同时作用在式 7 2 5 两侧 则 n nn n nn xCLxCLxyL 以 xy乘上式 同时作积分并记为 xyJ 即 dxxyLxyxyJ 7 2 10 xyJ是 xy的泛函 这样我们就引出一系列重要结论 引理 1 泛函式 7 2 10 的极小值等于相应的固有值问题的最小固有值 1 而使 xyJ取这一极小值的极值函数就是相应于固有值 1 所对应的固有函数 1 x 证明 将展开式 7 2 5 代入泛函式 7 2 10 则 n nn mn nmnmn mn nnmn m n nnmm C dxxxCC dxxLxCC xCLxCxyJ 7 2 11 因为0 2 n C 且 1 n 则 1 2 11 22 n n n n n nn CCCxyJ 这样 我们得到了 1 xyJ 这就证明了 1 是泛函式 7 2 11 的极小值 1 xyJ 式中 xy为极值函数 由式 7 2 11 可知 1 2 n nn C 即 1 0 1 1 iCC i 这样 由展开式 7 2 5 可知 1 xxCxy n nn 引理 2 泛函式 7 2 10 在条件 0 1 dxxyx 下的极小值是 2 极值函数是 2 x 泛函式 7 2 10 在条件 0 1 dxxyx 0 2 dxxyx 下的极小值是 3 极小函数是 3 x 依次类推 我们就可以求出所有的固有值及固有函数 这样 求固有值于固有函数 n x n 的问题就转化为求泛函极小值的问题 由上述的讨论可知 微分方程的边值问题可转化为一个泛函极值的变分问题 因此我们 通过求解泛函极值的变分问题 就可以解决相应的微分方程的边值问题 实际工作中的问题 常常很复杂 不但微分方程的边值问题难解 泛函的变分问题也不是容易求出精确解的 在 第 2 章中 我们介绍了求近似解的想法 于是 我们希望用近似的方法求得泛函极值的近似 表达式 从而求得问题的近似解 在很多场合 特别是实际工程问题中 这样的近似解也满 足要求 下面我们介绍一种常用的方法 里兹 Rizz 方法 由于我们所讨论的 xy可以按固有函数系展开 因此我们称固有函数系为基函数 坐 标函数 在空间中 基函数不是唯一的 我们可选择另外一组坐标函数 x n 这样 xy 可以展开为 1 n n xxy 于是 求极值函数 xy 就变成求系数 2 1 L nan 而泛函 xyJ就变成关于变量 2 1 L nan的函数了 泛函极值问题就变成多元函数的极值问题了 不过 关于无穷多 个变量的函数极值也难以解决 所以我们只有选择有限个坐标函数 也就是说 我们只取函 数 xy的近似表达式 n k kkn xaxy 1 7 2 12 将式 7 2 12 代入泛函式 7 2 10 中 经过整理 就能得到关于 2 1 nkakL 的n元 函数 21nn aaaGyJL 7 2 13 式中 2 1 nkakL 称为 Ritz 系数 确定 Ritz 系数的原则是 要求它们使n元函数 21n aaaGL取得极值 这样 我们便得到一个n元方程组 2 1 0nk a G k L 7 2 14 称之为 Ritz 方程组 求出方程组的解 2 1 nkakL 代入式 7 2 12 即得到了极值 问题n阶近似解 2211 xaxaxaxy nnn L 若令n无限增大 函数值序列 xyJ n 会不断地逼进泛函 xyJ的极值 而近似解序列 xyn也会不断地逼进泛函 xyJ的极值函数 xy 也就是说无限逼进相应的微分方程 的边值问题的解 例 3 用里兹方法求固有值问题 0 yy 7 2 15 0 1 0 0 yy 7 2 16 的最小固有值及相应的固有函数的近似解 解 将方程改写为 2 2 xyxy dx d 可见 此时线性微分算符L为 2 2 dx d L 因此原固有值问题可以转化为泛函 dxxy dx d xyyJ 1 0 2 2 在归一条件 1 0 2 1dxy 7 2 17 及边界条件式 7 2 16 之下的极值问题 整理得 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 dxxy dxxyxyxy dx dy dxyyJ 7 2 18 我们取基函数系为 2 1 1 L kxxx k n 这样 泛函极值函数的n阶近似解的形式为 n nn xaxaxaxy 1 1 1 2 21 L 为了计算上的方便 我们取2 n 即 1 212 xaaxxxy 7 2 19 将 2 xy代入泛函式 7 2 18 有 5 2 3 1 2 221 2 12 aaaaxyJ 7 2 20 将 2 xy代入泛函式 7 2 17 有 1 7 2 30 1 2 221 2 1 1 0 2 2 aaaadxxy 7 2 21 于是 求泛函极值的问题化为关于变量 21 a a的二元函数式 7 2 20 在条件式 7 2 21 下的极值问题 构造拉格朗日函数 1 7 2 30 1 5 2 3 1 2 221 2 1 2 221 2 121 aaaa aaaaaaF 由 0 7 4 30 5 4 3 1 0 2 30 2 3 1 2121 2 2121 1 aaaa a F aaaa a F 1 7 2 30 1 2 221 2 1 aaaa 可解出0 30 21 aa 则 1 30 2 xxxy 对应的固有值为10 固有值问题式 7 2 15 可以求出精确解 最小固有值为8696 9 2 n 二者的误 差很小 例 4 用里兹方法求泛函 dxxxyxyxyxyJ 1 0 22 2 的极值函数 其中0 1 0 yy 解 该问题的 E L 方程为 0 1 0 0 y tyy 其精确解为 x x xy 1sin sin 用里兹方法求近似解 我们取坐标函数系 2 1 1 L kxxx k n 这样 泛函的极值函数的n阶近似的形式为 1 1 21 n nn xaxaaxxxyL 令1 n 我们得到了一阶近似解 1 11 xxaxy 经过计算 可求出 1 18 5 1 xxxy 令2 n 我们得到了二阶近似解 1 212 xaaxxxy 经过计算 可求得 41 7 369 71 1 2 xxxxy 我们将精确解和近似解作一对比 如下表所示 x y 1 y 2 y 0 25 0 044 0 052 0 044 0 50 0 070 0 069 0 069 0 75 0 060 0 052 0 060 由此可见 一阶近似解的误差数量级为 0 01 二阶近似解的误差数量级为 0 001 里兹 方法的收敛速度还是很快的 7 3 卡辽金方法 我们介绍另外一种常用的近似方法 卡辽金 Galerkin 方法 设要解的微分方程的定解问题为 0 xyL 7 3 1 0 xyB 7 3 2 式中 L是一个线性微分算子 边界条件是齐次的 同 Ritz 方法的思路一样 我们取一组满足齐次边界条件的坐标函数 k 假设问题的 n阶近似解为前n个坐标函数的线性组合 即 2211 xaxaxaxy nnn L 7 3 3 式中 2 1 nkakL 称为卡辽金系数 显然 xyn也满足齐次边界条件 若假定 xyn 是所求的精确解 则必有 0 xyL n 这说明 xyL n 应该与一切 2 1 nkx k L 都正交 我们将 n yL与 k 作内积 有 0 1 dxxaLxdxxxyL n i iikkn 7 3 4 这样 我们得到关于待定系数 2 1 niaiL 的n个代数方程 例例 5 用卡辽金方法求解下列微分方程的边值问题 0 1 0 0 yy xyyxyL 解解 选择坐标函数 2 1 1 L kxxx k k 则问题的阶近似解为 1 1 21 n nn xaaaxxxyL 当1 n时 有 1 11 xxaxy 将 1 xy 带入式 7 3 4 有 0 1 0 11 dxxxyL 解得 18 5 0 12 1 10 3 aa 求出一阶近似解为 1 18 5 1 xxxy 当2 n时 有 1 212 xaaxxxy 将 2 xy带入式 7 3 4 有 0 0 1 0 22 1 0 12 dxxxyL dxxxyL 解得 20 1 105 13 20 3 12 1 20 3 10 3 21 21 aa aa 由此可得 41 7 369 71 21 aa 则二阶近似解为 41 7 369 71 1 2 xxxxy 以上得结果与用里兹方法 例四 的结果完全相同 两种方法比较 卡辽金方法常常要简单 一些 应用范围也广一些 但是卡辽金方法只对齐次边界条件有效 当边界条件不是齐次时 要通过适当的变换将其转化为齐次边界条件 例例 6 用卡辽金方法求泊松方程边值问题 0 2 2 2 2 2 u y u x u 的近似解 其中 为矩形区域B的边界 byaxyxB 解解 注意到方程及边界条件关于x轴 y轴是对称的 因此解也应该关于x轴 y轴对称 于是选取坐标函数系 L 4422 yxyx 其中 2222 ybxa 当1 n时 其一阶近似解为 2222 11 ybxaau 代入式 7 3 4 中 得 a a b b dxdyyaybxaa0 2 2 222222 1 解得 4 5 22 1 ba a 于是 一阶近似解为 4 5 22 2222 1 ba ybxa yxu 7