高一数学等差数列前N项和一,二,三课时课件.ppt

一 复习回顾 等差数列性质 1 通项公式 2 等差数列的定义 等差数列的前n项和 一 高一数学备课组 问题1 怎样才能快速地计算出一堆钢管有多少根 5 9 14 6 8 14 7 7 14 8 6 14 9 5 14 先算出每层的根数 每层都是14根 再计算层数 共5层 所以共 14 5 2 35根 问题2 一个堆放铅笔的v形架的最下面一层放一支铅笔 往上每一层都比它下面一层多放一支 最上面一层放100支 这个v形架上共放着多少支铅笔 问题就是求 1 2 3 4 100 s 1 2 3 98 99 100 s 100 99 98 3 2 1 2s 1 100 100 10100 s 5050 高斯gauss c f 1777 1855 德国著名数学家 问题3 求和 1 2 3 4 n 记 s 1 2 3 n 2 n 1 n s n n 1 n 2 3 2 1 上述求解过程带给我们什么启示 1 所求的和可以用首项 末项及项数来表示 2 等差数列中任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和 问题4 设等差数列 an 的首项为a1 公差为d 如何求等差数列的前n项和sn a1 a2 a3 an 解 因为a1 an a2 an 1 a3 an 2 两式左右分别相加 得 倒序相加 sn a1 a2 a3 an 2 an 1 an sn an an 1 an 2 a3 a2 a1 2sn a1 an a2 an 1 a3 an 2 an 2 a3 an 1 a2 an a1 n a1 an 变式 能否用a1 n d表示sn an a1 n 1 d 公式与梯形面积 补成平形四边形 分割成一个平行四边形和一个三角形 两个公式的共同已知量是a1和n 不同的已知量是 公式 1 已知an 公式 2 已知d 已知三个量就可以求出sn 我们要根据具体题目 灵活采用这两个公式 n 1 d 例1等差数列 an 的首项为a1 公差为d 项数为n 第n项为an 前n项和为sn 请填写下表 95 500 100 2 2 15 0 7 604 5 说明 等差数列的求和公式及通项公式 一共涉及到5个量 通常已知其中3个 可求另外2个 求和 例2 解 1 10 6 2 2 4n 14 10 6 2 2 4n 14 2 原式 注意在运用公式时 要看清等差数列的项数 例3 等差数列 10 6 2 2 前9项的和多少 解 设题中的等差数列为 an 则a1 10 能用公式 1 计算吗 应用公式时 要根据题目的具体条件 灵活选取这两个公式 d 4 n 9 变式 等差数列 10 6 2 2 前多少项和是54 解 设题中的等差数列为 an 得n2 6n 27 0故n1 9 n2 3 舍去 d 4 设sn 54 则a1 10 因此 等差数列 10 6 2 2 前9项和是54 解 由7n 100 得 即 所以n14 所以集合中的元素为 这个数列是等差数列 记为 an a1 7 a14 98 因此 因为nn 1 等差数列前n项和sn公式的推导 2 等差数列前n项和sn公式的记忆与运用 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 等差数列的前n项和 二 1 等差数列前n项和sn公式的推导 2 等差数列前n项和sn公式的记忆与运用 等差数列的前n项和公式的进一步探究 若n 1是偶数时 等差数列的前n项和可能有最大或最小值 练习 1 已知两个等差数列 an bn 它们的前n项和分别是sn tn 若 求 牛刀小试 已知等差数列 an a7 7 则其前13项的和s13是多少 已知一个等差数列的前5项和是100 前10项的和是50 则 1 求其前n项和的公式 2 前n项和是否有最大值 若有 n为何值时取得 最大值是什么 牛刀小试 1 法一 解 设此等差数列为 an 首项为a1 公差为d 前n项和为sn 由已知得 1 2 由 1 2 得 因此 已知一个等差数列的前5项和是100 前10项的和是50 1 求其前n项和的公式 法二 解设此数列前n项和为sn an2 bn 则由已知得 s5 25a 5b 100 1 s10 100a 10b 50 2 由 1 2 得 因此 已知一个等差数列的前5项和是100 前10项的和是50 1 求其前n项和的公式 2 法一 利用二次函数求最值 已知一个等差数列的前5项和是100 前10项的和是50 则 2 前n项和是否有最大值 若有 n为何值时取得 最大值是什么 法二 若要使sn最大 则需 即 解之得n 6 此时 sn max s6 102 已知一个等差数列的前5项和是100 前10项的和是50 则 2 前n项和是否有最大值 若有 n为何值时取得 最大值是什么 解法1 设所给数列为 an 则a1 16 d 2 于是 8 9 例3 已知等差数列16 14 12 10 问 前多少项的和最大 并求出最大值 n2 17n sn n 解法2 设所给数列为 an 则a1 16 d 2 于是 自我小结 一个等差数列的前n项和sn 在什么时候有最大值 什么时候有最小值 例3 已知等差数列16 14 12 10 问 前多少项的和最大 并求出最大值 an n 设所给数列为 an 前n项和最大 则 一 前n项和公式的结构特点 判断等差数列的方法 一 定义法 三 通项法 二 等差中项法 四 前n项和法 例1 1 若数列 an 的前n项和sn 2n2 n an 是否为等差数列 若是 给予证明 若不是 说明理由 2 数列 an 的前n项和sn 2n2 n 1 数列 an 是否为等差数列 若是 给予证明 若不是 说明理由 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 等差数列的前n项和 二 例 1 数列 an 的前n项和sn 2n2 n 1 数列 an 是否为等差数列 若是 给予证明 若不是 说明理由 例2在等差数列 an 中 解 方法一 解 方法二 解 方法三 只适合填空题 14 25 19 5 例3 已知等差数列 an 的前n项和为sn a3 12 s12 0 s13 0 1 求公差d的取值范围 2 指出s1 s2 s12中哪一个值最大 并说明理由 新授1 例题分析 观察 sk a1 a2 ak 1 ak s2k sk ak 1 ak 2 a2k 1 a2k s3k s2k a2k 1 a2k 2 a3k a3k 共 k2d 共 k2d 由上可知 sk s2k sk s3k s2k成等差数列 练习等差数列 an 的前m项的和为30 前2m项的和为