高一数学必修5 等差数列 ppt.ppt

2 2 1等差数列 中国人民大学附属中学 请看下面一些数列 鞋的尺码 按照国家统一规定 有22 22 5 23 23 5 24 24 5 某月星期日的日期为2 9 16 23 30 一个梯子共8级 自下而上每一级的宽度为 89 83 77 71 65 59 53 47 cm 特征 从第2项起 每一项与前一项的差都等于一个常数 等差数列的定义 如果一个数列 an 从第2项起每一项与前一项的差都等于一个常数 那么这个数列为等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母d表示 例1 已知数列 an 的通项公式为an 3n 5 这个数列是等差数列吗 解 因为当n 2时 an an 1 3n 5 3 n 1 5 3 所以数列 an 是等差数列 且公差为3 说明 判断一个数列是否等差数列 应严格按照等差数列的定义来进行 如果等差数列 an 的首项为a1 公差为d 求它的通项公式an a2 a1 d a3 a2 d a1 2d a4 a3 d a1 3d a5 a4 d a1 4d 由此得 an a1 n 1 d n n 解 由等差数列得定义得 an 1 an d 例2 已知等差数列10 7 4 1 试求此数列的第10项 2 40是不是这个数列的项 56是不是这个数列的项 如果是 是第几项 解 1 设此数列为 an 由a1 10 a2 7 得d 7 10 3 得到这个数列的通项公式为an 10 3 n 1 即an 3n 13 当n 10时 a10 17 2 如果 40是这个数列的项 则方程 40 3n 13应有正整数解 解这个方程得 所以 40不是这个数列的项 如果 56是这个数列的项 则方程 56 3n 13有正整数解 解这个方程得n 23 所以 56是这个数列的第23项 等差中项 如果三个数x a y组成等差数列 那么a叫做x和y的等差中项 如果a是x和y的等差中项 则 在一个等差数列中 从第2项起 每一项 有穷数列的末项除外 都是它的前一项与后一项的等差中项 在等差数列 an 中 an a1 n 1 d nd a1 d 可以看出 当公差d 0时 该数列是常数列 即常数列是等差数列的特殊形式 公差为0 当公差d 0时 an是关于n的一次式 设数列 an 的通项公式是an an b a b是常数 因为an an 1 an b a n 1 b a n 2 所以 an 是等差数列 其中a是公差 结论 如果 an 是等差数列 则an an b a b是常数 反之 若 an 的通项公式是an an b a b是常数 则数列 an 是等差数列 由于等差数列的通项公式可以表示为an an b 因此从图象上看 表示这个数列的各点均在一条直线上 当a 0时 各点均在一次函数y ax b的图象上 当a 0时 各点均在函数y b的图象上 例3 已知等差数列的公差为d 第m项为am 试求其第n项an 解 由等差数列的通项公式可知an a1 n 1 d am a1 m 1 d 两式相减得 an am n m d 例4 1 在等差数列 an 中 若m n p q 求证 am an ap aq 2 在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 450 求a2 a8 解 2 a2 a8 a3 a7 a4 a6 2a5 5a5 450 a5 90 a2 a8 2 90 180 例5 梯子共有5级 从上往下数第1级宽35厘米 第5级宽43厘米 且各级的宽度依次组成等差数列 an 求第2 3 4级的宽度 解法1 由题意 a1 35 a5 43 由等差数列通项公式 因此得a2 37 a3 39 a4 41 得公差 解法2 此数列共5项 a3是a1与a5的等差中项 因此 又因为a2是a1与a3的等差中项 a4是a3与a5的等差中项 所以 答 梯子的第2 3 4级的宽度分别是37cm 39cm 41cm 例6 已知等差数列 an 的首项a1 17 公差d 0 6 此等差数列从第几项开始出现负数 解 由题意 an 的通项公式是an 17 0 6 n 1 令17 0 6 n 1 0 解得 又因为 an 是递减数列 所以数列 an 从第30项起开始出现负数 1 等差数列的判定方法 等差数列中的主要方法 1 定义法 2 中项法 3 通项公式判定 三数成等差数列 四数成等差数列 2 设元技巧 1 已知某等差数列共有10项 其奇数项之和为15 偶数项之和为30 则其公差为 a 5b 4c 3d 2 c 练习 2 在等差数列 an 中 已知a1 2 a2 a3 13 则a4 a5 a6等于 a 40 b 42 c 43 d 45 b 3 an 是等差数列 且a1 a4 a8 a12 a15 2 求a3 a13的值 4 4 已知成等差数列 求证也成等差数列 证明 因为成等差数列 所以 即2ac