高一数学《第一讲 函数》课件.ppt

第一讲函数 函数的高考要求 2 掌握函数关系的建立 在此基础上理解函数及其有关概念 掌握互为反函数的函数图象间的关系 3 理解和掌握函数的单调性 奇偶性 周期性 函数的最大值 最小值的概念 并能判定简单函数的这些性质 能利用函数的奇偶性 周期性与图象的对称性的关系描绘函数的图象 4 掌握幂函数 指数函数 对数函数的概念 图象与性质 并会解简单的指数方程和对数方程 5 掌握二次函数 一元二次方程和一元二次不等式三者之间的关系 并能综合解决相关问题 1 理解和掌握集合 子集 交集 并集 补集 命题的四种形式与等价命题 充要条件等概念 能掌握集合与命题的有关述语和符号 以集合语言和集合思想为工具 能正确的表示函数的定义域 值域 方程与不等式的解集 曲线的轨迹方程及其交点等问题 一 函数的概念及性质 例1 已知函数y f x 定义域为d 值域为a 有反函数y f 1 x 则方程f x 0有解x a 且f x x x d 的充要条件是y f 1 x 满足 答 函数f 1 x 的图象在直线y x的下方且过点 0 a 例2 设函数f x sin2x 若f x t 是偶函数 则t的一个可能值是 答 t的一个可能值是 k z 分析 或 f 1 0 a且f 1 x x x f x t sin2 x t sin2 x sin 2x cos2x sin2 x sin 2x cos2x 例3 已知函数f x x2 2ax b x r 给出下列命题 f x 必是偶函数 当f 0 f 2 时 f x 的图象必关于直线x 1对称 若a2 b 0 则f x 在区间 a 上是增函数 f x 有最大值 a2 b 其中正确命题的序号是 分析 当a 0时 x r f x 是非奇非偶函数 由f 0 f 2 得 b 4 4a b 此时 a 1或a 1 b 对后者 当b 0时 其图象不关于直线x 1对称 若a2 b 0 则 4 a2 b 0 f x x2 2ax b x a a2 b 可知 命题 是正确 虽然当x a时 x a a2 b有最小值 a2 b 但不能确定f x x2 2ax b x r 有最大值 a2 b 因此正确命题的序号应为 例4 已知函数y f x 是定义在r上的周期函数 周期t 5 函数y f x 1 x 1 是奇函数 又知y f x 在 0 1 上是一次函数 在 1 4 上是二次函数 且在x 2时函数取得最小值 5 证明 f 1 f 4 0 试求y f x 分别在 1 4 4 9 上的解析式 分析 函数y f x 是以5为周期的周期函数 且在x 1 1 上是奇函数 f 4 从而f 1 f 4 0 当x 1 4 时 由题意可设 f x a x 2 5 a 0 由f 1 f 4 0得 f x 2 x 2 5 1 x 4 f x 在x 1 1 上是奇函数 a 1 2 5 a 4 2 5 0 解得a 2 f 4 5 f 1 f 1 当x 1 0 时 又f 1 k 1 k k 3 f 0 f 0 f 0 0 又y f x 在x 0 1 上是一次函数 可设f x kx x 0 1 f 1 2 1 2 5 3 当x 0 1 时 f x 3x 当x 4 6 时 当x 1 1 时 f x 3x 当x 6 9 时 x 5 1 4 x 5 1 1 f x f x 5 3 x 5 3x 15 f x f x 5 2 x 5 2 5 2 x 7 5 f x 3x 15 x 4 6 2 x 7 5 x 6 9 0 x 1 f x f x 3x 例4 已知函数y f x 是定义在r上的周期函数 周期t 5 函数y f x 1 x 1 是奇函数 又知y f x 在 0 1 上是一次函数 在 1 4 上是二次函数 且在x 2时函数取得最小值 5 证明 f 1 f 4 0 试求y f x 分别在 1 4 4 9 上的解析式 回顾 1 4 0 1 1 0 1 1 4 6 1 4 6 9 4 9 f 1 f 1 f 1 5 f 4 f 1 f 4 0 例5 已知集合m是满足下列性质的函数f x 的全体 存在非零常数t 对任意x r 有f x t tf x 成立 1 函数f x x是否属于集合m 说明理由 2 设函数f x ax a 0且a 1 的图象与y x的图象有公共点 证明 f x ax m 3 若函数f x sinkx m 求实数k的取值范围 分析 任取非零实数t r 当x t时 f x t f t t f 0 0 tf x tf t t t t2 而t 0 tf x 0 从而f x t tf x 不存在非零常数t 对任意x r 有f x t tf x 成立 f x x m 2 由题意可知 公共点在第一象限 设公共点的横坐标为t t 0 于是 t at 与 t t 重合 at t 任取x r f x t ax t ax at ax t tf x f x ax m 3 当k 0时 f x 0 显然f x 0 m 当k 0时 f x sinkx m 存在非零常数t 对任意x r 有f x t tf x 成立 即sin kx kt tsinkx恒成立 k 0且x r kx r kx kt r sin kx kt 1 1 而tsinkx t t sin kx kt tsinkx恒成立 1 1 t t t 1 t 1 当t 1时 sin kx k sinkx恒成立 k 2m m z 当t 1时 sin kx k sinkx恒成立 k 2m 1 m z 综上所述 k的取值范围是 k k m m z 二 函数的思想方法及应用 数学思想方法是数学知识的精髓 是对数学的本质的认识 是数学学习的指导思想和普遍使用的方法 提炼数学思想方法 把握数学学科特点 是学会 数学的 提出问题 分析问题和解决问题 把数学学习与培养能力和发展智力结合起来的关键 近几年的数学高考试卷十分重视对数学思想方法的考查 并贯穿于整个试卷之中 例1 设奇函数f x 定义域为 5 5 若当x 0 5 时 f x 的图象如下图所示 则不等式f x 0的解集是 分析 由奇函数的图象关于原点对称 作出f x 在定义域内的图象 再由f x 0找出使f x 的图象在x轴下方的区域 从而得到不等式f x 0的解集为 2 0 2 5 例2 若函数f x a x b 2在 0 上为增函数 则实数a b的取值范围是 a 0且b 0 考虑 y x 当b 0时 向右平移b个单位 当b 0时 向左平移 b 个单位 分析 y x b y a x b y a x b 2 例3 一棱锥被平行于底面的平面截成一个小棱锥和一个棱台 若小棱锥及棱台的体积分别是y和x 则y和x的函数图象大致形状为 分析 y x v 定值 y v x对应的函数简图应是 b 例4 等腰 abc中 c 90 ab 4 p q分别在线段ab ac上 且pq平分 abc的面积 设ap x pq y 求y关于x的函数 并求其最值 a c b q p 分析 s apq s abc x aq sin45 aq y2 x2 aq 2 2x aq cos45 x2 8 y 2 x 4 x2 2 8 当且仅当x 2 2 4 时 等号成立 当x 2时 ymin 令t x2 当t 4 4 时 t 8是减函数 t 8 4 8 8 4 当t 4 16 时 t 8是增函数 t 8 16 2 8 10 y 当t 16 即x 4时 ymax a c b q p x y 则 t 4 16 y 2 解函数应用题的一般步骤是 2 将涉及到的其他变量用自变量的解析式表示 3 建立目标函数 确定函数的定义域 4 根据目标函数解析式的特征用相应的方法求解 1 设计自变量 例5 已知不等式 1 x2 px2 x 1 1对任意实数p 0 3 恒成立 求x的取值范围 分析 原不等式等价于 1 x2 0 px2 x 1 0 3 1 x2 px2 x 1 即 px2 x 1 0 p 3 x2 x 2 0 p 0 3 令f p x2 p 1 x g p x2 p 3x2 x 2 则原不等式等价于 对p 0 3 恒成立 f p 0 g p 0 现将f p 及g p 看成关于p的一次函数 则当x 0时 对任意实数p 0 3 显然成立 当x 0时 只须 f 0 0 g 3 0 即 1 x 0 6x2 x 2 0 解得 x 0或0 x 综上所述 x的取值范围是 例6 已知二次函数y f1 x 的图象以原点为顶点且过点 1 1 反比例函数y f2 x 的图象与直线y x的两个交点间的距离为8 f x f1 x f2 x 1 求函数f x 的表达式 2 证明 当a 3时 关于x的方程f x f a 有三个实数解 分析 1 由已知 设f1 x ax2 再由f1 1 1 得a 1 f1 x x2 再设f2 x k 0 它的图象与直线y x的两个交点分别为a b 由 ab 8 得k 8 f2 x 故f x x2 2 由f x f a 得 x2 a2 即 x2 a2 在同一坐标系内作出f2 x 和f3 x x2 a2 的大致图象 当a 3时 f3 2 f2 2 a2 8 0 或这样 由f x f a 得x2 a2 即 x a x a 0 得方程的一个解为x1 a 方程x a 0化为ax2 a2x 8 0 由a 3得 a4 32a 0 且 x2 x3 显然x2 0 x3 0 x2 x3且x2 x1 若x1 x3 即a 则 解得a 0或a 这与a 3矛盾 x1 x3 故原方程有三个实数解 例7 已知函数f x 2x a的反函数是y f 1 x 设p x a y1 q x y2 r 2 a y3 是y f 1 x 图象上不同的点 1 如果存在正实数x 使得y1 y2 y3成等差数列 试用x表示实数a 2 在 1 的条件下 如果实数x是唯一的 试求实数a的取值范围 分析 1 由f x 2x a 易得 f 1 x log2 x a x a p q r是y f 1 x 图象上不同的三点 y1 log2x y2 log2 x a y3 1 且a 0 即x 2 又y1 y2 y3成等差数列 即2y2 y1 y3 2log2 x a log2x 1 即log2 log2 x a x a x 0 a x x 0且x 2 令y1 a y2 x t2 t 其中t t 0且t 2 y2 t2 t t 1 2 t 0且t 2 在同一直角坐标系中作出两个函数的图象 便知 当a 0或a 时 两图象有一个交点 即在 1 的条件下 实数x的值唯一 因此 实数a的取值范围是 a a 0或a 例8 设函数f x 的定义域为d 若存在x0 d 使f x0 x0成立 则称以 x0 y0 这里y0 f x0 为坐标的点是函数f x 的图象上的 稳定点 若函数f x 的图象上有且仅有两个相异的 稳定点 试求实数a的取值范围 已知定义在实数集r上的奇函数f x 存在有限个 稳定点 求证 f x 必有奇数个 稳定点 设p x1 x1 q x2 x2 x1 x2 是函数f x 的图象上两个的 稳定点 分析 则有 x1及 x2 即x12 ax1 3x1 1 x1 a 及x22 ax2 3x2 1 x2 a 亦即x12 a 3 x1 1 0 x1 a 及x22 a 3 x2 1 0 x2 a x1 x2是方程x2 a 3 x 1 0的两根 x1 a x2 a 方程x2 a 3 x 1 0有两个相异实根且不等于 a a 3 4 1 0且 a a 3 a 1 0 解得 a的取值范围为 1 5 f x 是r上的奇函数 f 0 f 0 即f 0 0 故 原点 0 0 是函数f x 的 稳定点 若f x 还有 稳定点 x0 x0 这里x0 0 则由f x 为奇函数可知 f x0 f x0 x0 这说明 x0 x0 也是f x 的 稳定点 由题意知 它为有限个 因此 f x 的图象上的 稳定点 除了原点外 且原点也为其 稳定点 故 它的个数是奇数 是有限个成对出现的 注 学习能力 即学习新的数学知识的能力 它是通过阅读 理解以前没有学过的新的数学知识 包括新的概念 定理 公式 法则和方法等 并能运用它们作进一步的运算推理 解决有关问题的能力 学习能力型问题常见的有以下几种情况 1 学习新的数学概念 2 学习新的数学定理 公式和法则 3 学习新的数学方法 例9 甲 乙两大型公司生产同一种商品 但由于设备陈旧 需要更新 经测算 对于函数f x g x 及任意的x 0 当甲公司投入x百万元改造设备时 若乙公司投入改造设备费用小于f x 百万元 则乙公司有倒闭的风险 否则无倒闭风险 当乙公司投入x百万元改造设备时 若甲公司投入改造设备费用小于g x 百万元 则甲公司有倒闭的风险 否则无倒闭风险 1 请解释f 0 g 0 的实际意义 2 设直线y x与y f x 的图象交于点 x0 y0 x0 0 请解释x0 y0的实际意义 3 当f x x 5 g x 2 10时 甲 乙两公司为了避免恶性竞争 经过协商 同意在双方均无倒闭风险的情况下尽可能地减少改造设备资金 问 此时甲 乙两公司各投入多少百万元 分析 1 f 0 表示当甲公司不投入资金改造设备时 乙公司要避免倒闭的风险 至少要投入f 0 百万元进行设备改造 g 0 表示当乙公司不投入资金改造设备时 甲公司要避免倒闭的风险 至少要投入g 0 百万元进行设备改造 2 由题意可知y0 x0 且y0 f x0 f x0 x0 当甲投入x0百万元时 乙公司要避免倒闭的风险 要投入的资金至少是甲投入的 3 设甲公司投入的资金是x百万元 乙公司投入的资金是y百万元 由题意可知 当y f x x 5时 乙公司无倒闭风险 当x g y 2 10时 甲公司无倒闭风险 由图可知 双方无倒闭风险的区域是图中的阴影部分 现由 y x 5 得 x 20 y 25 在双方均无倒闭风险的情况下 甲公司至少投入20百万元 乙公司至少投入25百万元 进行设备改造 练习 一 1 函数f x tgx 的定义域为 2 函数y log 6 2x x2 的单调递增区间为 3 定义在r上的奇函数f x 对任何实数x 总有f x 2 f x 当x 0 1 时 f x x 则f x 在 2 3 上 f x 4 已知关于x的方程 有正根 则实数a的取值范围是 5 记函数f x 的定义域为a g x lg x a 1 2a x a 1 的定义域为b 1 求a 2 若b a 求实数a的取值范围 6 已知函数f x a 0 x 0 1 求证 f x 在 0 上是递增函数 2 若f x 在 m n 上的值域是 m n m n 求a的取值范围 并求相应的m n的值 3 若f x 2x在 0 上恒成立 求a的取值范围 练习 二 1 对任意实数a 1 1 函数f x x2 a 4 x 4 2a的值总大于零 则a的取值范围是 2