用分块矩阵证明矩阵秩的若干定理.pdf

景德镇高专学报 1995年第4期 自然科学版 用分块矩阵证明矩阵秩的若干定理 钱柯 摘要 本文运用分块矩阵证 明矩阵扶的若干定理 使矩 阵扶的命题证明过程简 洁 一致 易于掌握 关于矩阵秩的命题的证明 有的用向量组的极大无关组 有的用齐次线性方程组的基础 解系 有的用矩阵的初等变换等等 这里用分块矩阵法 其思路是 将矩阵秩的有关条件转 换成分块矩阵秩的有关条件 由分块矩阵秩的有关性质得 出有关的结论 再将结论转化为矩 阵秩的结论 从而使命题得证 为了表述方便 约定用 R 助表示矩阵月的秩 E s表示 S 阶单位方阵 三个基本命题作 为引理 引理1两个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩 特别当有一个因子是可逆矩阵时 乘积 的秩等于另一个因子的秩 引理 2 引理3 矩阵的秩 一 君 昙 在一个分块矩阵中 若把每个块看成一个元素 则进行通常的初等变换仍不改变 以上三个引理的证明在一般高等代数书上都可以找到 下面对矩阵秩的若干定理运用分块矩阵进行证明 定理 l 设 月 B 都是 m又 矩阵 则 R A十B 镇R A 十R B 证明 丫R 月十B 一R A B Og 言B g 引理2 R 月 R B 凡 O B从琉 一心 盆 一 心 公 引理3 A B B O O B 0 0 收稿日期 1995 e s 07一01 作者单位 景德镇高专 R 忍瑟 荆 了 急 引理l R A十B 成R A R B 成立 定理2设 月 B 都是 m义 矩阵 则 R A一B R 月 一R B 证明 由 R A R A一刀 刀 成R A一刀 几 叨 R A一B R A 一R 刀 定理 3 设 月 B C 分别是 义m m又 义t 矩阵 则 定理l 八 1刀 尹 乃COO 1B R 一一 人J刀 州 C R 厂 特别有 1 声 C O OB J 胜口 矛l 一一 1 口了 CO 必司A B 了 r E l 证明 瑟助 分 一A 及 而 含 洲 是 阵 管g 一 城 盆g 引理1 另设 B一E 就有 戒 盘g 一城 昙艺 成立 定理4设 A B 分别是 二义 义 矩阵 则 R A I R A R B 一 证明 孟盆 引理2 又 A 一 AB 二 一R 一R O月刀 定理3 日了尹 l 才 0 A B o E 月 E OB A 凡 了 刀亨r 一一 刀 一凡 及 O 又 孟哟 而 含绷 R 孟价 是可逆矩阵 引理l l 沙 OB 几 刀 一 成立 月E v l 舒 伙 功幼 一 了 R A R R AB 几 毛R A B 推论 1 设 A B 分别是 义 义 矩阵 且A B 口 则 R A R I 1 镇 儿 定理4 推论 2 设 A 是 阶方阵 且矛 E 则 R A E R A一E 证明 由于矛一E A E A一E 一 R A E R A一E 镇R A E A一E j R O 一 定理4 另一方面 A 是可逆矩阵 R A 一 12 几 2滋 一况 月 E A一E 成R 月 E R A一E R 月 E R A一E 成立 推论 3 设 月为 阶方阵 且矛一A 则 R 月 R A一E 证明 由于矛 A A A一E 二O R A R A一E 蕊R 月 A一E 一 另一方面 一R E 一R A十E 一劝 成R A 十R 从一A R A R A一E R A 双 A一E 成立 定理5设 月 B c 依次是 义 mx 义t矩阵 则 R A理 R 月刀 R 膨 一R B 证明 定理1 定理4 定理1 朋 十 管 层 引理2 招召 OB月z 乎 矛 厅 尹 了 r 又 R A膨 R B R Alr O 月2汇了 O 定理3 月刀月刀口 BO 含习 一 管剧 C 一凡 是可逆矩阵 阿油 又而 l 节哟 一 I t 管剑 引理1 R 朋 十R 那 成R 月那 R B 刀 伽z汇 R A B 斤 肥 一R 召 成立 推论 4 设 A B c 都是 阶方阵 若 R 月 一R 朋 则 君 淞 证明 R 切通 几 朋 R 淞 一几 月 又丫R 川 R 朋 R 召月C 儿 淞 又丫矩阵肠变7可以看成是矩阵 B 与矩阵A C的乘积 有 R 娜月c 镇R R 及花甲 定理5 崖少 引理1 R 召月口 R A C 成立 定理6设 月 B 分别是 又m 又 矩阵 则 R A B 成刀 A R 的 证明 引理3 Jz 1 户 I B 召OAB0AO 且 了 l 了 f口 R A B 簇刀 一R 月 一 R 月 B 毛R A 定理7设 A B 都是 阶方阵 证明 R B R B 成立 则 R A刀一从 镇R A一E R I 一从 丫R AB一及 R A刀一凡 O 月刀一E B一凡 g g 另一方面 况 A一及 儿 刀一E R A一凡 O A一凡 O O 刀一E B一从 B一P 引理3 叮 J了 OO O口A一E O B一E B一及 A 刀一E B一E 月刀一E B一及 月召一凡 月一凡 O 刀一从 B一凡 引理1 B及z d f口 R 日 川 产 OO r 电 R 而 R 定理 8 设人 R 月召 A B 证明 召都是 镇R A 蕊R A一从 R 刀一凡 成立 阶方阵 则 R 刀 口00刀B B 月召 A B B 另一方面 R A R 的一 君 君 引理3 t JZ OO 而 君 B B E o B A B B E O 召 月刀 A BO f AB 云 一 司 成峨 石