用数学的思维方式教数学.pdf

中国大学教学2 0 15 年第1 期 用数学的思维方式教数学 丘维声 如何使数学比较好学 如何在数学教学的过 程中培养学生的创新能力 数学的概念和定理比较多 而且比较抽象 数学的证明要进行逻辑推理 做数学题需要掌握 概念 定理和方法 这些使得不少学生感到数学 比较难学 通常的数学教学一开始给出数学概念 的定义 接着写出有关的定理 然后对定理进行 证明 这种教学方式可以让学生学到数学的概念 和定理 可以训练学生的逻辑推理能力 但是学 生不知道概念是怎么提出来的 不知道定理是怎 么发现的 因此培养不出学生的创新能力 本人 根据四十多年的教学和科研工作的经验 用数学 的思维方式教数学就可以既使数学比较好学 又 可以在教学的过程中培养学生的创新能力 数学的思维方式是一个全过程 观察客观现 象 抓住主要特征 抽象出概念 提出要研究的 问题 运用 解剖麻雀 直觉 归纳 类比 联 想和逻辑推理等进行探索 猜测可能有的规律 经过深入分析 只使用公理 定义和已经证明了 的定理进行逻辑推理来严密论证 揭示出事物的 内在规律 从而使纷繁复杂的现象变得井然有序 用数学的思维方式教数学 我们的主要做法有 以下几点 1 观察客观现象自然而然地引出概念 讲清 楚为什么要引进这些概念 线性空间的概念是高等代数中最重要的概念 之一 我们让学生观察几何空间 以定点O 为起 点的所有向量组成的集合 中有加法和数量乘法 运算 并且满足8 条运算法则 向量的坐标是3 元有序实数组 为了用坐标来做向量的加法和数 量乘法运算 很自然地在所有3 元有序实数组组 成的集合R 3 中引进加法和数量乘法运算 并且也 满足8 条运算法则 几何空间是3 维空间 时一 空空间是4 维空间 有没有维数大于4 的空间 为了对数域K 上的n 元线性方程组直接从系数和 常数项判断它有没有解和有多少解 从矩阵的初 等行变换把线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩 阵可以判断线性方程组的解的情况受到启发 很 自然地在所有n 元有序数组组成的集合K n 中引进 加法和数量乘法运算 并且也满足8 条运算法则 K n 就是一个n 维空间 我们抓住几何空间 R 3 K n 的共同的主要特征 有加法和数量乘法运算 并且满足8 条运算法则 便自然而然地引出了线 性空间的概念 为了使线性空间为数学 自然科 学和社会科学的研究提供广阔天地 需要把线性 空间的结构搞清楚 几何空间的结构是 任意取定3 个不共面 的向量 空间中任一向量都可以由它们线性表出 并且表示方式唯一 由此受到启发 对于线性空 间v 如果有一族向量s 使得V 中每一个向量都 可以由S 中有限多个向量线性表出 并且S 是线 性无关的 这保证了表法唯一 那么称S 是V 的一个基 基是研究线性空间的结构的第一条途 径 几何空间中给了过定O 的一个平面 和过 定点O 与 相交的一条直线l 在 上取两个不 共线的向量d d 2 在I 上取一个非零向量d 3 则d d 2 d 3 是几何空间的一个基 于是几何空间的 每一个向量可以唯一地表示成北上的一个向量与 l 上的一个向量的和 由此引出了线性空间V 的 子空间的直和的概念 猜测并且证明了线性空间 V 等于它的若干个子空间v V m 的直和当且 仅当v 的一个基 v m 的一个基合起来是V 的一 丘维声 北京大学教授 第一届高等学校教学名师奖获得者 9 万方数据 个基 直和分解是研究线性空间的结构的第二条 途径 几何空间的每一个向量对应于它在给定的 一个基下的坐标是几何空间到R 3 的一个双射 并 且它保持加法和数量乘法运算 由此受到启发 引出了线性空间的同构的概念 猜测并且证明了 数域K 上的n 维线性空间都与K n 同构 线性空间 的同构是研究线性空间的结构的第三条途径 几何空间J 中给了过定点O 的一个平面兀 则与7 c 平行或重合的所有平面给出了几何空间J 的一个划分 由此受到启发 数域K 上的线性空 间V 中 给了一个子空间W 在V 上建立一个二元 关系 B Q 当且仅当0 Q W 容易证明这是 V 上的一个等价关系 于是所有等价类组成的集 合就给出了V 的一个划分 这个集合也称为V 对于 w 的商集 记作v 脚 在v 侧中可以规定加法和 数量乘法运算 并且满足8 条运算法则 从而V 厂W 成为数域K 上的一个线性空间 称它为V 对于W 的 商空间 几何空间J 中与过定点O 的平面兀 平行或 重合的所有平面组成的集合是J 对于兀 的商空间 过点O 作与兀 相交的一条直线1 则把与7 c o 平行或 重合的每一个平面对应于这个平面与l 的交点是 商空间J 兀 到直线l 的一个双射 并且它保持加法 和数量乘法运算 从而商空间J 7 c 与直线1 同构 于是 d i m J 兀o d i ml 1 3 2 d i mJ d i m 兀o 由此受到启发 我们猜测并且证明了对于数域K 上的n 维线性空间V 有 d i m V M d i m V d i m W 这使得我们可以利用数学归纳法证明线性空间中 有关被商空间继承的性质的结论 在商空间J 7 c o 中取一个基历 兀o 令l 是过 点O 且方向为历的直线 则J 兀o o l 由此受到启 发 我们猜测并且证明了对于数域K 上的线性空 间V 和它的一个子空间W 如果商空间V 脚有一 个基B 1 W B W 令U 是由V 中的向量组 p 1 p 生成的子空间 那么V w o u 并且 p 1 p 是u 的一个基 这表明只要商空间V 脚 是有限维的 并且知道了商空间V W 的一个基 那么线性空间V 就有一个直和分解式 10 上述两方面表明商空间是研究线性空间的 结构的第四条途径 2 提出要研究的问题 探索并且论证可能有 的规律 高等代数研究的一个重要问题是对于域F 上n 维线性空间V 上的线性变换A 能不能找到 V 的一个基 使得A 在此基下的矩阵具有最简单 的形式 如果能找到V 的一个基使得线性变换A 在 此基下的矩阵是对角矩阵 那么称A 可对角化 直接计算可得 A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量 由此可得 A 可对 角化的充分必要条件是V 能分解成A 的特征子空 间的直和 H o oV k 其中 V k 是 A 的全部不同的特征值 对于不可对角化的线性变换A 它的最简单 形式的矩阵表示是什么样子 从A 的特征子空间 的定义受到启发 引出A 的不变子空间的概念 类比A 可对角化的充分必要条件是V 能分解成A 的特征子空间的直和 我们去探索 如果V 能分 解成A 的不变子空间的直和 那么在每个不变子 空间中取一个基 它们合起来是v 的一个基 A 在此基下的矩阵是一个分块对角矩阵 于是解决 A 的最简单形式的矩阵表示的问题分为两步 第一步去寻找A 的非平凡不变子空间 使 得它们的和是直和 并且等于V 利用 如果V 上的线性变换B 与A 可交换 那么B 的核K e r B 是A 的不变子空间 这个结论 对于域F 上的任 意一个一元多项式f x 不定元x 用A 代入 得 到的f A 与A 可交换 从而K 衙f 舢是A 的不变 子空间 f 1 x 与f 2 x 满足什么条件才能使K e r f 1 A K e r f 2 A 是直和呢 这只要K e rf 1 A n K 蔚f 2 A 0 直觉猜测若f 1 x 与f 2 x 互素 是否 有可能满足这个要求 此时存在u x v x F x 使得u x f 1 x v X f 2 x 1 于是不定元x 用A 代入便得到 u A f 1 A V A f 2 A I 从而若B K e rf 舢nK e rf 2 0 A 贝0B IB u A f 1 A B v A f 2 A B 0 因此 万方数据 K e rf 1 A nK e rf 2 A 0 从而K e rf 1 A K e r f 2 A 是直和 这个和等于什么呢 从上面的 恒等变换I 的分解式受到启发 令f x f 1 x f 2 x 任取Q 踟 有 Q IQ u A f 1 A Q V A f 2 A Q 令Q v A f 2 A u A f l A Q 则Q Q Q 且f 1 A a 0 f 2 A Q O 因此 K e rf A K e rf 1 A oK e rf 2 A 由此受到启 发 设f 1 x f s X F x 且它们两两互素 令f x f 1 x f s X 则用数学归纳法可以证明 x e r f A K e rf i A o o K e rf s A 由于K e r 0 V 因此若坟x 使得f i A o 则 V K e rf 1 A o o K e rf S A 这就把V 分解成了A 的若干个非平凡不变子空间 的直和 域F 上的一个一元多项式f x 如果使得 O 那么称f x 是A 的一个零化多项式 容易证 明域F 上的n 维线性空间v 上的任一线性变换 A 都有零化多项式 还可以证明线性变换A 的 特征多项式就是A 的一个零化多项式 事物的临 界状态往往决定事物的本质 于是我们考虑A 的所有非零的零化多项式中次数最低且首项系 数为1 的多项式m 入 称它为A 的最小多项式 如果m 入 在F 入 中的标准分解式为m 见 五一丑 1 t 五一太 k 那么 V K e r A 九1I 1 10 0 K e r A k I k 记W K c r A hI I j 则V w jo ow 于是在w 中取一个基 j 1 2 s 它们合起来 是V 的一个基 A 在此基下的矩阵A 是一个分 块对角矩阵A d i a g A l A s 其中A i 是A 在 W 上的限制A I W 在W 的上述基下的矩阵 第二步工作是在W 中找一个合适的基 使 得A 1 w 在此基下的矩阵A i 具有最简单的形式 由 于V W jo 0W 因此可以证明A 的最小 多项式m 入 是A l w 的最小多项式m j 入 j 1 2 s 的最小公倍式 利用这个结论和唯一 因式分解定理可以得出 A I W 的最小多项式 m j 炉 九一 1 j 从而A M I B j 其中B j 是 W 上的幂零变换 其幂零指数为l i 于是只要在W 中找到一个合适的基使得B i 在此基下的矩阵B i 具 有最简单的形式 则A 1 w 在此基下的矩阵A i h I B i 也就最简单了 这样问题归结为去研究幂零 变换的最简单形式的矩阵表示 设B 是域F 上的r 维线性空间W 上的一个幂 零变换 其幂零指数为l 用W r 0 表示B 的属于特 征值0 的特征子空间 对于任意Q W 且Q O 一定存在正整数t 使得B tQ 0 而B 一1Q 0 于 是B 1Q BQ Q 线性无关 从而它是子空 间 的一个基 我们把 称为B 强循环子空间 其中B 一1 W i B 在 上的限制在基B t 1Q BQ Q 下的矩阵是 一个J o r d a n 块 其主对角元全为0 我们探索W 是 否能分解成若干个B 强循环子空间的直和 若 能够这样分解 则由每个B 强循环子空间的第一 个基向量组成的向量组线性无关 又W b 的一个基 中每个向量都属于某个B 强循环子空间 因此我 们猜测W 能分解成d i n l W r 0 个B 强循环子空间的 直和 我们利用商空间对于研究线性空间的结构 的两个方面 用数学归纳法证明了这个猜测是真 的 从而在每个B 强循环子空间中取上述这样的 基 它们合起来是W 的一个基 B 在此基下的矩 阵为由若干个J o r d a I l 块组成的分块对角矩阵 称 它为B 的J o r d 粕标准形 进而得到 域F 上的n 维 线性空间V 上的线性变换A 如果它的最小多项式 m 入 在F 入 中能分解成一次因式的乘积 那么 存在v 的一个基 使得A 在此基下的矩阵为由若干 个J o r d a n 块组成的分块对角矩阵 称它为A 的 J o r d 姐标准形 由于主对角元为九i 的t 级J o r d a n 块的 最小多项式为 九一 因此根据 分块对角矩 阵A d i a g A 1 A 的最小多项式m 入 是A j 的最小多项式m i 入 i l 2 s 的最小公倍 式 便得到 如果A 有J o r d a n 标准形J 那么J 的最 小多项式m 入 是一次因式的乘积 m 入 也是A 的最小多项式 从而如果A 的最小多项式m 入 在 F 入 中的标准分解式有次数大于1 的不可约因式 那么A 没有J o r d 姐标准形 我们用类比的方法证明 了此时A 有有理标准形 这样我们就彻底解决了 域F 上n 维线性空间V 上的线性变换A 的最简单形 式的矩阵表示的问题 1 1 万方数据 3 通过 解剖麻雀 讲清楚数学的深刻理 论是怎么想出来的 伽罗瓦在1 8 2 9 1 8 3 1 年间彻底解决了一 元n 次方程是否可用根式求解的问题 他给出了 方程可用根式求解的充分必要条件 创立了深刻 的理论 后人称之为伽罗瓦理论 由此引发了代 数学的革命性变化 古典代数学以研究方程的根 为中心 伽罗瓦理论创立以后 代数学转变为以 研究各种代数系统的结构及其态射 即保持运算 的映射 为中心 由此创立了近世代数学 也称 为抽象代数学 我们在近世代数课的教学中 通过 解剖 麻雀 讲清楚伽罗瓦理论是怎么想出来的 考虑 4 次一般方程 x 4 p x 2 q 0 1 其中p q 是两个无关不定元 方程 1 的系数所属 的域为Q p q 的分式域Q Q q 简记作K 把K 称为方程 1 的系数域 方程 1 有4 个根 矿 平 x z 一乒簪 平一 一乒乒 这表明方程 1 可用根式求解 我们来仔细分析方 程 1 可用根式求解的过程 先要开平方 p 2 4 q 把它记作d 则d 2 K 但是d 不属于K 令K m a b da b K 则K d 是一个域 称它为K 广 添加d 得到的域 记作K l 接着要开平方 掣 Y 把它记作d 1 则d 1 2 K 1 令K 2 K 1 d 1 还要 r 一 开平方 把它记作d 2 则d 2 2 K 2 令K 3 K 2 Y d 2 于是 x l d 1 x 2 d 1 x 3 2d 2 x 4 一d 2 从而x 1 x 2 x 3 x 4 K 3 因此在K 3 x 中多项式x 4 p x 2 q 可以分解成一次因式的乘积 从而K 3 是 x4 px 2 q 的分裂域 并且有Kc K 1 K 2sK 3 由此抽象出下述概念 设f x 是域F 上次数大于0 且首项系数为l 的多项式 并且f x 的分裂域为E 如果存在一 1 2 个域L 2 E 且有F F 1 F 2 F r 十1 L 其中F i 1 F i d i 且d i n F ii 1 r 那么方 程f i f x 户0 称为在域F 上是根式可解的 于是按照上述定义方程 1 是根式可解的 现 在来探索为什么方程 1 是根式可解的 观察方程 1 的4 个根 发现它们之间有系数属于K 的下述 关系 x l x 2 0 x 3 x 4 20 2 把x 1 x 2 x 3 x 4 组成的集合记作Q l 2 3 4 在4 元对称群S 4 中 有且只有下述8 个置换保持 2 式 成立 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3 1 4 2 3 1 3 2 4 它们组成的集合G 是S 的一个子群 称它为方程 1 关于域K 的群 方程 1 的4 个根其系数属于K 的关系除了 2 式外还有 x 1 2 x 3 2 d x 1 2 x 4 2 d x 2 2 一x 4 2 d x 2 2 x 3 2 d 3 G 中保持 3 式成立的所有置换组成的集合 H 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4 是G 的一个子群 称 它为方程 1 关于域K 1 的群 方程 1 的4 个根其系数属于K 2 的关系除了 2 3 式外还有 x 1 x 2 2d l 4 H 1 中保持 4 式成立的所有置换组成的集合H 2 1 3 4 是H 1 的一个子群 称它为方程 1 关于 域K 2 的群 方程 1 的4 个根其系数属于K 3 的关系除了 2 3 4 式外还有 x 3 一x 4 2 d 2 5 H 2 中保持 5 式成立的所有置换组成的集合 H 3 1 是H 2 的一个子群 称它为方程 1 关于域 K 的群 由于指数为2 的子群是正规子群 因此H 是 G 的正规子群 H 2 是H 1 的正规子群 H 3 是H 2 的正 规子群 又有G H 1 H 1 H 2 H 2 H 3 都是交换群 因此G 是可解群 由此猜测有下述结论 方程根式可解的判别准则 在特征为0 的 域F 上的方程盯x O 根式可解的充分必要条件是 万方数据 这个方程关于域F 的群是可解群 为了论证这个猜测 我们继续 解剖麻雀 方程 1 关于域K 的群G 中每个元素 保持方程 1 的根之间其系数属于K 的全部代数关系不变 从 而 保持K 的任一元素不变 即 在K 上的限制 是K 上的恒等变换 由于K 3 是多项式x 4 p X 2 q 的分裂域 即K 3 是包含方程 1 的全部根 x 1 x 2 x 3 x 4 的最爿 的域 且d x 1 2 x 3 2 d 1 X l d 2 x 3 以及o S 4 因此 引起了K 3 到 自身的一个双射 还可以证明 引起的这个映射 仍记作o 保持K 3 的加法和乘法运算 因此 是K 的一个自同构 于是引出一个概念 设域E 包含域F 域E 的一个自同构如果 在F 上的限制是F 上的恒等变换 那么把它称为 域E 的一个F 一自同构 容易看出 域E 的所有 F 自同构组成的集合对于映射的乘法成为一个群 称它为E 在F 上的伽罗瓦群 记作G a l E F 于是o G a l K 3 K 从而G G a l K 3 K 反之 任给T G a l K 3 K 由于x 1 x 2 x 3 x 4 两两 不等 因此T 可以看成是Q l 2 3 4 上的一个置 换 并且t 保持方程 1 的根之间其系数属于K 的 全部代数关系不变 从而T G 因此G G a l K 3 K 同理 H 1 G a l K 3 K 1 H 2 G a l K 3 K 2 H 3 G a l K 3 K 3 这样我们看到了 一个有趣的事情 K K l K 2 K 3 G a l K 3 l Q2G a l K 3 K 1 2G a l K 3 K 2 2 G a l K 3 K 3 设G 是域E 的一个自同构群 E 中被G 的 每个元素保持不动的元素组成的集合是E 的一个 子域 称它为G 的不动域 记作h l G 设域E 包含域F 则称E 是F 上的域扩张 记作E F E 的包含F 的任一子域称为E F 的中 间域 在上述例子中 G a l K p 的不动域恰好是 K G a l K 3 K 1 的不动域恰好是K 1 G a l K 3 K 2 的 不动域恰好是K 2 G a l K 3 K 3 的不动域恰好是K 3 由此引出一个概念 如果域扩张E F 的伽罗瓦群G a l E F 的不动 域恰好是F 那么称E F 为一个伽罗瓦扩张 从 上述有趣的事情我们猜测有下述结论 设E F 为一个有限伽罗瓦扩张 记G G a l E F 则在E F 的所有中间域组成的集合与G 的所有子群组成的集合之间存在一个一一对应 中间域K 对应于G a l E K 子群H 对应于 它的不动域I t l H I I l v G a l E l K 这个一 一对应是反包含的 即 K 1 三K 2 c G a l E K 1 G a l E K 2 伽罗瓦发现并且证明了这个结论 现在称 它为伽罗瓦基本定理 这里没有写出伽罗瓦基本 定理的其它3 个结论 伽罗瓦运用这个基本定理 证明了方程根式可解的判别准则 4 抓住主线 全局在胸 科学地安排讲授 体系 高等代数课程的主线是研究线性空间及其 态射 即线性映射 为了自然而然地引出线性空 间的概念 高等代数 丘维声著 科学出版社 的第一章讲线性方程组的解法和解的情况的判定 第二章讲行列式 给出了n 个方程的n 元线性方 程组有唯一解的充分必要条件 第三章为了对数 域K 上的n 元线性方程组直接从系数和常数项判 断它有没有解和有多少解 在所有n 元有序数组 组成的集合K n 中引进加法和数量乘法运算 它们 满足8 条运算法则 我们抓住几何空间 K n 的共 同的主要特征自然而然地引出了线性空间的概念 然后去研究线性空间的结构 讲完线性空间之后 一种讲法是立即讲线性映射 但是研究线性映射 一方面是从映射的角度讲线性映射的运算 线性 映射组成的集合的结构 以及线性映射的核与像 另一方面是研究线性映射的矩阵表示 特别是研 究线性变换的最简单形式的矩阵表示 因此我们 在第四章讲矩阵的运算 既为研究线性映射打下 基础 又为信息时代迅速崛起的离散数学中应用 越来越广泛的矩阵加强了矩阵的分块 矩阵的打 洞的训练 为了研究线性变换的最简单形式的矩 阵表示 需要用到一元多项式环的通用性质 因 此我们在第五章讲一元多项式环的结构及其通用 性质 并且水到渠成地引出了环和域的概念 第 六章讲线性映射 包括线性变换和线性函数 为 了在线性空间中引进度量概念 第七章讲双线性 13 万方数据 函数 并且用到研究二次型上 第八章讲具有度 量的线性空间 以及与度量有关的变换 第九章 讲n 元多项式环 解析几何课程的主线是研究几何空间的线性 结构和度量结构 在此基础上并且用变换的观点 研究图形的性质和分类 近世代数课程的主线是研究代数系统 群 环 域 模 的结构及其态射 即保持运算的 映射 群论的主线是群同态 环论的主线是环 的理想 域论的主线是域扩张