吉林省高二数学四平备课资料选修4－1、4－4、4－5备课.ppt

普通高中课程标准实验教科书数学 a版 选修系列4简介 按照教育部教材使用推进计划 2010年起始的高中一年级学生 将全部使用新课标教材 2008年广东卷选做题 3选2 每小题5分 几何证明选讲 已知pa是圆o的切线 切点为a pa 2 ac是圆o的直径 pc与圆o交于点b pb 1 则圆o的半径r 坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程分别为则曲线c1与c2交点的极坐标为 不等式选讲 已知 若关于x的方程有实根 则a的取值范围是 2008年海南 宁夏 卷选做题 3选1 每小题10分 几何证明选讲 如图 过圆o外一点m作它的一条切线 切点为a 过a点作直线ap垂直于直线om 垂足为p 坐标系与参数方程 不等式选讲 2008年江苏卷选做题 4选2 每小题10分 几何证明选讲 设的外接圆的切线的延长线交于点平分线与 坐标系与参数方程 不等式选讲 高考的内容不会超出 课程标准 的要求 教什么 考什么 教学中要准确把握教学要求高校选拔考试更加关注学生对基础知识 基本技能 基本能力和重要数学思想方法的掌握和理解情况 数学选修4 1几何证明选讲 一 内容与要求 1 复习相似三角形的定义与性质 了解平行截割定理 证明直角三角形射影定理 2 证明圆周角定理 圆的切线的判定定理及性质定理 3 证明相交弦定理 圆内接四边形的性质定理与判定定理 切割线定理 4 了解平行射影的含义 通过圆柱与平面的位置关系 体会平行射影 证明平面与圆柱面的截线是椭圆 特殊情形是圆 5 通过观察平面截圆锥面的情境 体会圆锥曲线的来历 能利用dandelin双球证明 时 交线为椭圆 离心率e 1 6 利用dandelin双球探索证明 时 交线为双曲线 二 课时安排及说明 1 分三讲 共18课时 第一讲相似三角形的判定及有关性质 课时1 1平行线等分线段定理1课时1 2平行线分线段成比例定理2课时1 3相似三角形的判定及性质2课时1 4直角三角形的射影定理1课时 第二讲直线与圆的位置关系 课时2 1圆周角定理2课时2 2圆内接四边形的性质与判定定理1课时2 3圆的切线的性质及判定定理2课时2 4弦切角的性质1课时2 5与圆有关的比例线段2课时 第三讲圆锥曲线性质的探讨3课时3 1平行射影1课时3 2平面与圆柱面的截线1课时3 3平面与圆锥面的截线1课时学习总结报告1课时 2 对内容安排的几点说明 1 三讲的内容相对独立 每一讲的内容自成体系 都依托于自身的逻辑起点而展开 第一讲以 平行线分线段成比例定理 为起点 给出相似三角形定义后 逐步讨论相似三角形的判定定理 性质定理等等 其中 基本数学思想方法是比例及其性质的应用 第二讲以 圆周角定理 和 圆的切线概念 为起点 采用从特殊到一般的思想方法 得出圆内接四边形的性质和判定定理的猜想及其证明 圆的切线的性质和判定的有关定理 第三讲以 平行射影 为起点 充分利用图形直观 对圆锥曲线的性质进行讨论 用综合几何的方法认识圆锥曲线 这是以往教材中没有涉及的内容 2 三讲内容有紧密的逻辑联系 例如 在讨论 与圆有关的比例线段 相交弦定理 割线定理 切割线定理 时 用到了相似三角形的判定定理 证明第三讲中的定理1 定理2时 用到了切线长定理 这样就形成了一个系统的知识体系 这个系统中的知识点 由逻辑关系相互关联而形成紧密的联系 三 教材特点 1 突出数学思想方法的渗透和理解本专题中的主要数学思想方法包括 特殊化思想方法 化归思想方法 分类思想方法 运动变化思想方法 涉及到观察 实验 猜想等合情推理的方法 也涉及到演绎推理 反证法 同一法等逻辑推理的方法 数学思想方法内涵于数学概念 公式 法则 定理 定义 公理等之中 是一种隐性知识 数学思想方法的教学讲究的是以知识为载体 在知识的教学过程中渗透与领悟 形成和发展 所以 教材精心设计了数学思想方法的逐步渗透和理解过程 案例1 平行线分线段成比例定理首先 通过一组实例 采用 操作确认 的方法 让学生在观察 测量的基础上用合情推理发现结论 得出猜想 这个过程渗透了从特殊到一般 化归等方法 在获得平行线等分线段定理的猜想后 分如下步骤进行证明 先讨论特殊情形 直线构成平行四边形 再讨论一般情形 将一般情形化归为特殊情形 在获得 等分 情形下的证明后 再推广到 非等分 即 成比例 的情形 而平行线分线段成比例定理的证明采用 非等分 化归为 等分 的方法 案例2弦切角先用运动变化思想 从圆内接四边形运动到极端情形 有两个顶点重合 由 圆内接四边形的外角等于它的内对角 猜想 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 再用分类思想 把弦切角分为三类 以弦过圆心为分界点 先证明弦过圆心时命题成立 再把其他两种情形化归为弦过圆心时的情形 2 强调知识的发生发展过程 培养学生的数学探究能力 在融合知识的发生发展过程和学生的认知过程的基础上 通过展示 过程 引导学生领悟定理产生的背景 经历知识发展的过程 从而提高学生观察问题 提出问题和解决问题的能力 培养学生的数学探究能力 案例3 圆内接四边形的性质与判定定理 类比 任意三角形都有外接圆 提出 任意四边形是否都有外接圆 的问题引发思考 引导学生从正方形 矩形等特殊四边形出发 考察内接于圆的四边形会有怎样的共同特征 得出圆内接四边形性质的猜想和证明 考察其逆命题是否成立 即证明圆内接四边形的判定定理 3 加强推理能力的培养 推理包含逻辑推理与合情推理 措施 加强几何定理的产生过程 使合情推理的成分得到有效渗透 在得到几何定理的猜想中训练合情推理能力 给出证明几何定理的严格的逻辑推理过程示范 让学生有学习和模仿的范例 及时总结和概括推理的思想方法 如分析法 综合法 反证法 同一法等 以及分类思想 化归思想 猜想与证明 从特殊到一般等等 4 加强几何直观能力的培养 强调在直观图形背景中的直观思考 给学生提供观察图形 建立联系 获得几何定理猜想的基础 强调运动变化过程中的图形直观 引导学生观察运动过程中图形的不变性 在从平面到空间的推广过程中 通过图形的变异提供图形直观的机会 加强空间想象能力的培养 通过观察圆柱形玻璃杯水平面所成的图形 直观猜想圆在平面上的平行射影为椭圆在圆柱面内添加辅助球 通过观察直观图 猜测并发现变化中的几何不变量利用信息技术工具 通过观察平面与圆锥面的截线形状随夹角 的变化情况 归纳定理2 类比圆柱面添加辅助球的方法 给出截线为椭圆时的证明 案例4 通过 圆锥曲线性质的探讨 进一步加强几何直观能力的培养 四 教学建议 1 把握教学要求 控制教学难度主要目的是通过证明一些反映圆与直线位置关系的重要定理 以及对圆锥曲线性质的探索 提高学生空间想象能力 几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力 并不是要对几何证明进行全面的复习和提高 因此 教学中一定要注意控制难度 不在几何难题上做文章 2 加强 过程性 使数学思想方法的学习和数学能力的培养落在实处 过程性 包含几何定理的发现过程和证明过程两个方面 注意根据教科书安排的学习线索 使学生有机会经历定理的发现过程和证明过程 并要适时地引导学生总结和概括相应的思想方法 特别要注意在 研究什么问题 和 如何研究这些问题 上多做引导 一定要避免为了让学生多做几个几何证明题而忽视定理的发现过程的做法 数学选修4 4坐标系与参数方程 一 内容与要求 1 教学内容与课时 分二讲 共18课时 第一讲坐标系8课时1 1平面直角坐标系2课时1 2极坐标系2课时1 3简单曲线的极坐标方程2课时1 4柱坐标系与球坐标系简介2课时 第二讲参数方程10课时2 1曲线的参数方程3课时2 2圆锥曲线的参数方程3课时2 3直线的参数方程2课时2 4渐开线与摆线2课时 2 教学要求 1 要求学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置 体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别 能进行极坐标和直角坐标的互化 能在极坐标系中给出简单图形 如过极点的直线 过极点或圆心在极点的圆 的方程 通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程 体会用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义 能根据直线 圆和圆锥曲线 平摆线和渐开线的几何性质 选择适当的参数推导出它们的参数方程 能进行参数方程与普通方程的互化 通过实例明确某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便 由此感受参数方程的优越性 2 平面直角坐标系中的伸缩变换 柱坐标系 球坐标系等均为了解内容 目的是让学生体会坐标系的作用 了解刻画空间中点的位置的不同方法 加深对坐标法思想的认识 教学时不必作扩充 3 借助教具或计算机软件 认识常见曲线的参数方程中参数的几何意义 了解渐开线和平摆线的生成过程 4 在本专题学习结束时 让学生写出学习报告 对所学知识进行总结 思考本专题与高中其他内容之间的联系 探讨摆线的应用 交流学习本专题的感受与体会 二 教材特点1 强调背景 展现过程 声响定位 回顾直角坐标系 校内方位 引入极坐标系 飞机投放物资 引入参数方程 轮子滚动 摆线 教科书在介绍新知识 新方法时 充分重视知识背景 设计恰当的问题引导学生经历观察 归纳 概括 推理 交流 反思的思维过程和知识发生发展的过程 并通过思考 探究 旁白等方式鼓励学生积极参与这个过程 培养学生主动思考 自主探索的学习习惯 2 突出联系性 1 重视与已有知识的联系 e 2 重视数学知识与实际问题的联系 知识间的联系是数学学科的重要特征 学生掌握数学知识的水平与灵活运用数学知识的能力 在很大程度上决定于他的知识的联系状态 3 重视思想性 1 坐标系是数形结合的桥梁 曲线的极坐标方程 参数方程是数形结合的产物 坐标法思想是数形结合思想的重要表现形式 因此 教科书在落实坐标法思想的同时 自然渗透着数形结合思想 2 从具体到抽象 从特殊到一般是人们常常采取的认识事物的思维方式 也是一种重要的数学思想方法 教科书在安排学习内容时特别重视这种思想方法的渗透 3 注重类比思想 在很多内容的处理上 教科书不是把结论直接陈述给学生 而是启发学生用类比的方法进行思考 自行探究并获取结论 数学知识的积累是数学学习的重要任务 但是提炼数学思想方法 学会数学地思维是数学学习的重中之重 坐标系 曲线的极坐标方程及参数方程是本专题的主要数学知识 而坐标法思想却是本专题的重要内容 因此 重视思想性就成了本专题的重要特征 4 重视与信息技术的整合 教科书以边框旁白的形式给出了许多运用信息技术的提示 并开设 信息技术应用 栏目 讨论了圆锥曲线的参数方程中参数的几何意义 以及利用参数刻画圆锥曲线的形成过程 三 教学建议1 创设问题情景 体会数学过程 在进行具体内容的教学时应重视问题情景 其目的不仅是为了介入数学知识 更重要的是使学生体会数学知识的发生与发展的过程 解决学生认知上的困难 启发学生的思维 改进学生学习的方式 2 重视数学知识的联系性 使教学过程既成为学生学习新知识的过程 同时也成为已学知识的提升过程 3 强调数学思想方法 关注数学思维活动 声响定位 平面直角坐标系中的伸缩变换 参数方程与普通方程的互化 直线的参数方程 高水平的数学教学活动不会停留在知识的传授与学习这个层次上 教学时 应充分关注学生的数学思维活动 帮助他们以数学知识为载体 提炼数学思想方法 提高认知水平 1 极坐标系 圆锥曲线与直线的参数方程 坐标法思想 数形结合思想与参数法是本专题的重点教学内容 2 与以往教科书相比较 平面直角坐标系中的伸缩变换 柱坐标 和 球坐标 是新增内容 但这些内容只要求了解 4 突出教学重点 把握教学要求 3 根据 高中数学课程标准 的要求 本专题只介绍了特殊位置的圆与直线这些简单曲线的极坐标方程 对圆锥曲线的极坐标方程不作要求 极坐标的多值性不要过多讨论 同时 对求出的极坐标方程是曲线的极坐标方程也不要求证明 4 便于与信息技术整合的教学内容如下 平面直角坐标系中的伸缩变换 柱坐标系与球坐标系 椭圆 双曲线 渐开线与摆线的形成 以及这些曲线的参数方程中参数的几何意义的认识 5 完成总结学习报告 数学选修4 5不等式选讲 一 内容与要求 1 回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式 2 理解绝对值的几何意义 并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式 1 a b a b 2 a b a c c b 3 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式 ax b c ax b c x a x b c 3 认识柯西不等式的几种不同形式 理解它们的几何意义 1 证明 柯西不等式的向量形式 2 证明 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 3 证明 二维形式的三角不等式 4 用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况 5 用向量递归方法讨论排序不等式 6 了解数学归纳法的原理及其使用范围 会用数学归纳法证明一些简单问题 7 会用数学归纳法证明贝努利不等式 1 x n 1 nx x 1 n为正整数 了解当n为实数时贝努利不等式也成立 8 会用上述不等式证明一些简单问题 能够利用平均值不等式 柯西不等式求一些特定函数的极值 9 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法 比较法 综合法 分析法 反证法 放缩法 二 课时安排 分四讲 共18课时 第一讲不等式和绝对值不等式5课时1 1不等式 课时1 2绝对值不等式 课时第二讲证明不等式的基本方法4课时2 1比较法1课时2 2综合法与分析法2课时2 3反证法与放缩法1课时 第三讲柯西不等式与排序不等式4课时3 1二维形式的柯西不等式1课时3 2一般形式的柯西不等式1课时3 3排序不等式2课时第四讲数学归纳法证明不等式4课时4 1数学归纳法2课时4 2用数学归纳法证明不等式2课时学习总结报告1课时 三 内容分析 本专题的内容是在初中阶段掌握了不等式的基本概念 学习了一元一次不等式 一元一次不等式组的解法 以及在学习高中必修5的基础上展开的 作为一个选修专题 教科书在内容的呈现上保持了相对的完整性 第一讲不等式和绝对值不等式 本讲内容是本专题最基本的内容 也是其余三讲的基础 不等式的基本性质 借助几何直观归纳基本事实 比较两个实数的大小可以转化为比较它们的差与0的大小 类比等式的基本性质 联系数的运算 得出不等式的基本性质 6条 基本不等式 1 1不等式 a b a b 基本不等式的几何意义 直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高 三个正数的算术 几何平均不等式 n个正数情况解决一些实际问题 如最基本的等周问题 简单的极值问题等 1 2绝对值不等式 绝对值三角不等式 借助绝对值的几何意义 探究归纳绝对值三角不等式 联系向量 得到向量形式的三角不等式 用代数方法给出证明数形结合 引导学生多角度认识不等式 逐步深化对不等式的理解 绝对值不等式的解法教科书只讨论了两种特殊类型不等式的解法 而不是系统地对这个问题进行研究 1 ax b c和 ax b c 2 x a x b c和 x a x b c 通过使用几何或其他方法来解两类绝对值不等式 使学生较为容易地掌握解绝对值不等式的一般思想和方法 如数形结合 分类讨论 函数与方程等 对于不等式的深入讨论必须首先掌握一些基本的方法 所以本讲内容也是本专题的一个基础内容 本讲通过一些比较简单的问题 介绍了证明不等式的几种常用而基本的方法 比较法 综合法 分析法 反证法和放缩法 第二讲证明不等式的基本方法 2 1比较法 比较法是证明不等式的最基本的方法 比较法可以分为两种 一种是相减比较法 另一种是相除比较法 是把不等式两边相除 转化为比较所得商式与1的大小关系 在比较法的两种方法中 相减比较法又是最基本而重要的一种方法 在证明不等式的过程中 根据对于不等式的条件和结论不同探索方向作分类 证明方法又可以分为分析法和综合法 在证明不等式时 从已知条件出发逐步推出结论的方法是综合法 寻找结论成立的充分条件 从而证明不等式的方法就是分析法 2 2综合法与分析法 证明不等式的方法可以分为直接证法和间接证法 反证法是一种间接证法 它从不等式结论的反面出发 即假设要证明的结论不成立 经过正确的推理 得出矛盾结果 从而说明假设错误 而要证的原不等式结论成立 2 3反证法与放缩法 在证明不等式的过程中 有时通过对不等式的某些部分作适当的放大或缩小达到证明的目的 这就是所谓的放缩法 用放缩法证明不等式 关键是放 缩适当 数学研究中 发现了一些不仅形式优美而且具有重要应用价值的不等式 人们称它们为经典不等式 柯西不等式与排序不等式就属于这样的不等式 通过本讲的学习 可以领略这些不等式的数学意义 几何背景 证明方法及其应用 感受数学的美妙 提高数学素养 第三讲柯西不等式和排序不等式 教科书首先介绍二维形式的柯西不等式 再从向量的角度来认识柯西不等式 引入向量形式的柯西不等式 引导学生在平面直角坐标系中 根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系 从几何意义上发现二维形式的三角不等式 并借助二维形式的柯西不等式证明三角不等式 3 1二维形式的柯西不等式 3 2一般形式的柯西不等式二维 三维 通过空间向量 一般形式的柯西不等式 猜想 构造二次函数证明参数配方法 ac b2 在一般形式的柯西不等式的基础上 教科书安排了一个探究栏目 让学生通过探究得出一般形式的三角不等式 最后是一般形式的柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用 3 3排序不等式 a1 o b a b1 b2 bn a2 an 排序不等式也是基本而重要的不等式 一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形 有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明 教科书在讨论排序不等式时 展示了一个 探究 猜想 证明 应用 的研究过程 目的是引导学生通过自己的数学活动 初步认识排序不等式的数学意义 证明方法和简单应用 第四讲数学归纳法证明不等式 本讲内容与选修2 2 推理与证明 中的内容有重复的地方 应注意这与课程标准模块化的设计方式有关 4 1数学归纳法与选修2 2的教材编排方式类似 教科书首先结合具体例子 提出寻找一种用有限步骤处理无限多个对象的方法的问题 然后 类比多米诺骨牌游戏 引入用数学归纳法证明命题的方法 并分析数学归纳法的基本结构和用其证明命题时应注意的问题 两个步骤缺一不可 4 2用数学归纳法证明不等式特别地 证明了贝努利不等式 如果x是实数 且x 1 x 0 n为大于1的自然数 那么有 1 x n 1 nx 在数学研究中 人们经常用贝努利不等式把二项式的乘方 1 x n缩小为简单的1 nx的形式 这在数值估计和放缩法证明不等式中可以发挥重要作用 本专题的教学重点 不等式的基本性质 基本不等式及其应用 绝对值不等式的解法及其应用 用比较法 分析法 综合法证明不等式 柯西不等式 排序不等式及其应用本专题的教学难点 三个正数的算术 几何平均不等式及其应用 绝对值不等式解法 用反证法 放缩法证明不等式 运用柯西不等式和排序不等式证明不等式 根据课程标准 本专题应强调不等式及其证明的几何意义与背景 以加深学生对这些不等式的数学本质的理解 提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力 四 教材特点 一 重视展现不等式的几何背景 力求让学生对重要不等式有直观理解 借助于几何的方法 把不等式中的有关量适当地用图形中的几何量表示出来 则往往能很好地指明不等关系 使学生从几何背景的角度 直观地 从而也是直接地理解不等式 本专题中的重要不等式都有明显的几何背景 教科书注意呈现不等式的几何背景 帮助学生理解不等式的几何本质 例如 绝对值三角不等式是借助于向量和三角形的边长关系 柯西不等式是借助于向量运算 排序不等式是借助于三角形的面积 这样 逐渐引导学生在面对一个数学问题时能从几何角度去思考问题 找到解决问题的途径 二 重视数学思想方法的教学 本专题的内容包含了丰富的数学思想方法 如应用重要不等式解决实际问题中