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1 均值不等式及其应用 第一课时 2008年下学期高二数学 必修五第三章 2 某厂生产化工产品 当年产量在150吨至250吨之间时 某年生产总成本y 万元 与年产量x 吨 之间的关系可近似地表示为 求年产量为多少吨时 每吨的平均成本最低 想一想 解 每吨平均成本为 万元 则 当且仅当 即时 取 号 故年产量为 吨时 每吨的平均成本最低 3 3 1 当a b同号时 a b b a 2 2 当a r 时 a 1 a 2 3 当a r 时 a 1 a 2 4主要的用途是 求函数的最值时 若和为定值 则积有最大值 若积为定值 则和有最小值 5利用上述重要不等式求函数的最值时务必注意三点达到 一正二定三能等 6主要用到的方法和技巧是 凑 拆 使之出现和为定值或积为定值特征 知识要点 4 利用二次函数求某一区间的最值 分析一 原函数式可化为 y 3x2 x 分析二 挖掘隐含条件 5 变式一 如此解答行吗 上题中只将条件改为0 x 1 8 即 6 错题纠正 错解 即的最小值为 过程中两次运用了均值不等式中取 号过渡 而这两次取 号的条件是不同的 故结果错 错因 7 解 当且仅当 即 时取 号 即此时 正确解答是 8 本题小结 用均值不等式求最值时 要注意检验最值存在的充要条件 特别地 如果多次运用均值不等式求最值 则要考虑多次 或者 中取 成立的诸条件是否相容 9 1 设且a b 3 求 a b的最小值 看谁最快 若 则函数的最小值是 2 求函数f x x2 4 x2 0 x 2 的最大值是多少 4 10 某工厂第一年年产量为a 第二年的增长率为p 第三年的增长率为 这两年的平均增长率为 则 思考一 11 思考二 c 2 函数的最大值为 3 建造一个容积为18m3 深为2m的长方形无盖水池 如果池底和池壁每m2的造价为200元和150元 那么池的最低造价为元 1 2 3600 12 特别警示 各项或各因式为正 和或积为定值 各项或各因式能取得相等的值 必要时作适当变形 以满足上述前提 即 一正二定三相等 二元均值不等式具有将 和式 转化为 积式 和将 积式 转化为 和式 的放缩功能 创设应用均值不等式的条件 合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧 而拆与凑的成因在于使等号能够成立 应用均值不等式须注意以下三点 小结 3 均值不等式在实际生活中应用时 也应注意取值范围和能取到等号的前提条件 13 今日作业 题3用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园 问这
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