兰兰-《二次函数》中考复习.ppt

二次函数 中考复习 本溪市第二十六中学兰兰 定义 一般地 形如y ax bx c a b c是常数 a 0 的函数叫做二次函数 定义要点 a 0 最高次数为2 代数式一定是整式 一 二次函数的定义 练习 1 找到下列函数中的二次函数 2 当m 时 函数y m 1 2 1是二次函数 1 函数 其中a b c为常数 当a b c满足什么条件时 1 它是二次函数 2 它是一次函数 3 它是正比例函数 当时 是二次函数 当时 是一次函数 当时 是正比例函数 考考你 2 函数当m取何值时 1 它是二次函数 2 它是反比例函数 1 若是二次函数 则且 当时 是二次函数 2 若是反比例函数 则且 当时 是反比例函数 小结 二 二次函数的图象及性质 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y ax2 bx c a 0 y ax2 bx c a 0 由a b和c的符号确定 由a b和c的符号确定 a 0 开口向上 a 0 开口向下 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 0 c 0 c 小结 2 2 2 开口向下 开口向上 y轴 直线x 0 直线x h 0 0 0 k h 0 h k 当 a 的值越大时 抛物线开口越小 当 a 的值越小时 抛物线开口越大 只要a相同 抛物线的形状 开口大小和开口方向 就相同 点评 二次函数的几种表现形式及图像 顶点式 一般式 如图 抛物线y ax2 bx c 请判断下列各式的符号 a0 c0 b2 4ac0 b0 x y O 基础演练 变式1 若抛物线的图象如图 则a 变式2 若抛物线的图象如图 则 ABC的面积是 小结 a决定开口方向 c决定与y轴交点位置 b2 4ac决定与x轴交点个数 a b结合决定对称轴 2 下列各图中可能是函数与 的图象的是 小结 双图象的问题 寻找自相矛盾的地方 即由一个图象得出字母的取值范围 再去检验这个字母的符号是否适合另一个图象 3 画二次函数y x2 x 6的图象 顶点坐标是 对称轴是 画二次函数的大致图象 先配成顶点式 再按照以下步骤画 画对称轴 确定顶点 确定与y轴的交点 确定与x轴的交点 确定与y轴交点关于对称轴对称的点 连线当然 细画抛物线应该按照 列表 在自变量的取值范围内列 描点 要准 连线 用平滑的曲线 三步骤来画 0 6 2 0 3 0 1 6 特别注意 在实际问题中画函数的图像时要注意自变量的取值范围 若图像是直线 则画图像时只取两个界点坐标来画 包括该点用实心点 不包括该点用空心圈 若是二次函数的图像 则除了要体现两个界点坐标外 还要取上能体现图像特征的其它一些点来画 3 二次函数y x2 x 6的图象顶点坐标是 对称轴是 0 6 2 0 3 0 1 6 增减性 当时 y随x的增大而减小当时 y随x的增大而增大 最值 当时 y有最值 是 小 函数值y的正负性 当时 y 0当时 y 0当时 y 0 x3 x 2或x 3 2 x 3 4 二次函数y ax2 bx c a 0 与一次函数y ax c在同一坐标系内的大致图象是 C 2 已知抛物线顶点坐标 h k 和一个普通点 通常设抛物线解析式为 3 已知抛物线与x轴的两个交点 x1 0 x2 0 和另一个普通点 通常设解析式为 1 已知抛物线上的三个普通点 通常设解析式为 y ax2 bx c a 0 y a x h 2 k a 0 y a x x1 x x2 a 0 三 求抛物线解析式的三种方法 练习 x 2 2 1 0 3 根据下列条件 求二次函数的解析式 1 图象经过 0 0 1 2 2 3 三点 2 图象的顶点 2 3 且经过点 3 1 3 图象经过 0 0 12 0 且最高点的纵坐标是3 4 已知二次函数y ax2 bx c的最大值是2 图象顶点在直线y x 1上 并且图象经过点 3 6 求a b c 解 二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为2又 抛物线的顶点在直线y x 1上 当y 2时 x 1 顶点坐标为 1 2 设二次函数的解析式为y a x 1 2 2又 图象经过点 3 6 6 a 3 1 2 2 a 2 二次函数的解析式为y 2 x 1 2 2即 y 2x2 4x 开口方向 大小 向上a 0向下a o 对称轴与y轴比较 左侧ab同号右侧ab异号 与y轴交点 交于正半轴c o负半轴c 0 过原点c 0 与1比较 与 1比较 与x轴交点个数 令x 1 看纵坐标 令x 1 看纵坐标 令x 2 看纵坐标 令x 2 看纵坐标 四 有关a b c及b2 4ac符号的确定 快速回答 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x o y 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o 快速回答 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o 快速回答 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o 快速回答 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o 快速回答 典型例题1 如图 是抛物线y ax2 bx c的图像 则 a0 b0 c0 a b c0 a b c0 b2 4ac0 2a b0 由形定数 典型例题2 已知a0 c 0 那么抛物线y ax2 bx c的顶点在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 A 由数定形 1 在同一直角坐标系中 一次函数y ax c和二次函数y ax2 c的图像大致为 B 2 二次函数y x2 bx c的图像如图所示 则函数值y 0时 对应的x取值范围是 3 x 1 3 3 点击中考 D 3 若抛物线y ax2 3x 1与x轴有两个交点 则a的取值范围是 A a 0B a C a D a 且a 0 1 已知抛物线y x mx m 1 1 若抛物线经过坐标系原点 则m 1 2 若抛物线与y轴交于正半轴 则m 3 若抛物线的对称轴为y轴 则m 4 若抛物线与x轴只有一个交点 则m 1 2 0 练习 结论 一般地 抛物线y a x h 2 k与y ax2形状相同 位置不同 五 二次函数抛物线的平移 温馨提示 二次函数图象间的平移 可看作是顶点间的平移 因此只要掌握了顶点是如何平移的 就掌握了二次函数图象间的平移 0 2 2 4 2 4 2 4 2 6 2 x y y x2 1 y x2 y x2 向下平移1个单位 y x2 1 向左平移2个单位 y x 2 2 y x 2 2 y x 2 2 1 0 0 2 1 y x 2 2 1 上下左右平移抓住顶点的变化 例 平移法则 左加右减 上加下减 练习 二次函数y 2x2的图象向平移个单位可得到y 2x2 3的图象 二次函数y 2x2的图象向平移个单位可得到y 2 x 3 2的图象 二次函数y 2x2的图象先向平移个单位 再向平移个单位可得到函数y 2 x 1 2 2的图象 下 3 右 3 左 1 上 2 3 由二次函数y x2的图象经过如何平移可以得到函数y x2 5x 6的图象 y x2 5x 6 4 将二次函数y 2x2的图像向右平移3个单位后得到函数的图像 其对称轴是 顶点是 当x 时 y随x的增大而增大 当x时 y随x的增大而减小 5 将二次函数y 3 x 2 2的图像向左平移3个单位后得到函数的图像 其顶点坐标是 对称轴是 当x 时 y有最值 是 y 2 x 3 2 直线x 3 3 0 3 3 y 3 x 1 2 1 0 直线x 1 1 大 0 6 将抛物线y 2x2 3先向上平移3单位 就得到函数的图象 再向平移 个单位得到函数y 2 x 3 2的图象 y 2x2 右 3 上下左右平移 抓住顶点的变化 记住 六 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程根的情况与b 4ac的关系我们知道 代数式b2 4ac对于方程的根起着关键的作用 归纳如下 与x轴有两个不同的交点 x1 0 x2 0 有两个不同的解x x1 x x2 b2 4ac 0 与x轴有唯一个交点 有两个相等的解x1 x2 b2 4ac 0 与x轴没有交点 没有实数根 b2 4ac 0 具体这样理解 1 当a 0 0时 抛物线y ax2 bx c与x轴有两个不相同的交点 一元二次方程ax2 bx c 0有两个不相等的实数根x1 x2 x1x2时 y 0 即ax2 bx c 0 当x1 x x2时 y 0 即ax2 bx c 0 2 当a0时 抛物线y ax2 bx c与x轴有两个不相同的交点 一元二次方程ax2 bx c 0有两个不相等的实数根x1 x2 x10 即ax2 bx c 0 当xx2时 y 0 即ax2 bx c 0 3 当a 0 0时 抛物线y ax2 bx c与x轴有两个相同的交点 即顶点在x轴上 一元二次方程ax2 bx c 0有两个相等的实数根x1 x2 x1 x2 当x x1 或x x2 时 y 0 即ax2 bx c 0 当x x1 x2时 y 0 无论x取任何实数 都不可能有ax2 bx c 0 y 0 4 当a0 y 0 5 当a 0 0时 抛物线y ax2 bx c与x轴无交点 即全部图象在x轴的下方 一元二次方程ax2 bx c 0无实数根 无论x取何值 都有y 0 y 0 无论x取何值 都不可能有y 0 例 已知二次函数y 2x2 m 1 x m 1 1 求证 无论m为何值 函数y的图像与x轴总有交点 并指出当m为何值时 只有一个交点 2 当m为何值时 函数y的图像经过原点 3 指出 2 的图像中 使y 0时 x的取值范围及使y 0时 x的取值范围 2 求抛物线 与y轴的交点坐标 与x轴的两个交点间的距离 x取何值时 y 0 1 不论x为何值时 函数y ax2 bx c a 0 的值永远为正的条件是 a 0 b 4ac 0 3 1 6 1 8 1 练习 3 1 如果关于x的一元二次方程x2 2x m 0有两个相等的实数根 则m 此时抛物线y x2 2x m与x轴有 个交点 2 已知抛物线y x2 8x c的顶点在x轴上 则c 1 1 16 3 一元二次方程3x2 x 10 0的两个根是x1 2 x2 5 3 那么二次函数y 3x2 x 10与x轴的交点坐标是 2 0 5 3 0 4 如图 抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线x 1 由图象知 关于x的方程ax2 bx c 0的两个根分别是x1 1 3 x2 5 已知抛物线y kx2 7x 7的图象和x轴有交点 则k的取值范围 3 3 B 6 根据下列表格的对应值 判断方程ax2 bx c 0 a 0 a b c为常数 一个解x的范围是 A3 X 3 23B3 23 X 3 24C3 24 X 3 25D3 25 X 3 26 C 1 用描点法作二次函数y x2 2x 10的图象 7 利用二次函数的图象求一元二次方程x2 2x 10 3的近似根 解法1 3 观察估计抛物线y x2 2x 10和直线y 3的交点的横坐标 由图象可知 它们有两个交点 其横坐标一个在 5与 4之间 另一个在2与3之间 分别约为 4 7和2 7 可将单位长再十等分 借助计算器确定其近似值 4 确定方程x2 2x 10 3的解 由此可知 方程x2 2x 10 3的近似根为 x1 4 7 x2 2 7 2 作直线y 3 1 原方程可变形为x2 2x 13 0 利用二次函数的图象求一元二次方程x2 2x 10 3的近似根 3 观察估计抛物线y x2 2x 13和x轴的交点的横坐标 由图象可知 它们有两个交点 其横坐标一个在 5与 4之间 另一个在2与3之间 分别约为 4 7和2 7 可将单位长再十等分 借助计算器确定其近似值 4 确定方程x2 2x 10 3的解 由此可知 方程x2 2x 10 3的近似根为 x1 4 7 x2 2 7 2 用描点法作二次函数y x2 2x 13的图象 解法2 1 已知抛物线y ax2 bx c与抛物线y x2 3x 7的形状相同 顶点在直线x 1上 且顶点到x轴的距离为5 请写出满足此条件的抛物线的解析式 解 抛物线y ax2 bx c与抛物线y x2 3x 7的形状相同 a 1或 1又顶点在直线x 1上 且顶点到x轴的距离为5 顶点为 1 5 或 1 5 所以其解析式为 1 y x 1 2 5 2 y x 1 2 5 3 y x 1 2 5 4 y x 1 2 5展开成一般式即可 七 二次函数基础知识的综合运用 2 若a b c 0 a 0 把抛物线y ax2 bx c向下平移4个单位 再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是 2 0 求原抛物线的解析式 分析 1 由a b c 0可知 原抛物线的图象经过 1 0 2 新抛物线向右平移5个单位 再向上平移4个单位即得原抛物线 答案 y x2 6x 5 3 如图 已知抛物线y ax bx 3 a 0 与x轴交于点A 1 0 和点B 3 0 与y