导数与导数应用.doc

第三讲 导数与导数应用一、某处导数值的定义 对于函数y=f(x)在x0处，特殊极限值 =a存在，则称函数在x0处导数存在为a ，记为f (x0)，否则称不可导二、导函数（简称导数）1: 导数公式：（sin x）=cos x, (cos x)=-sin x, (tan x)= , (cot x)=, （x为自变量，为常数，以下类似）， 特别 , ， 特别 , c0（常数的导数为0）,u(x)+v(x)u(x)+v(x)（相加的导数等于导数相加） (au(x)=au(x), (数乘的导数可以提出来)，（其中a为某常实数）u(x)-v(x)u(x)-v(x).(相减的导数等于导数相减)例1:(1)已知函数 ,求函数在1处的导数解:有两种方法可解此题,一种为定义法,一种为公式法.一般用公式法.,所以 (2) 已知: ,求: .解.(3)已知: , 求: 解: (4) 已知: , 求: ,解: .(5) 已知, 求: 解: (6) , 求, 解 . .注: 切记微分公式dyydx.2:相乘除的导数法则(1) ,(2)微分：设y=y(x),则： y的微分dy=ydx例1:已知函数y=ex tanx,求:y,dy解：y（ex tanx,）（ex） tanxex （tanx）, , 则dyydx.例：已知函数y= ,求:y,dy解： y= , y,所以：dy=ydx.例已知，求 解 (x)= = = 例已知，求 解：(x)= =例已知，求 ,解 , 三、复合函数的求导1：复合函数的求导的公式，（其中*为x的函数，即*中有自变量）（sin *）=cos * * (cos *)=-sin * (tan *)= * (cot *)= * （为常数）， 特别 , ， 特别 , 复合函数求导的有关内容比较难,比较重要，请务必注意.例1: 已知函数y=e3x,求：dy.解：先把3x看成*，则y（e3x）e3x（3x）3e3x, dy=ydx=3e3xdx.例2：已知函数y=sin4x2,求：dy.解：先把4x2看成*，则 y= （sin4x2 ）,则dy例3: 已知函数y= ,求：y.解：先把 看成*，则,再分别把2x,4x看成*，则：.例4:已知，求；解 因为 所以 例5: 已知y =，求 解 因为 所以 例6: 设，求解 因为 所以 例7设，求 解 因为 所以 例8已知，求解： 四、几何应用一个函数在x0处的导数值就是图像在这里切线的斜率例1；已知抛物线y=3x2+6x-7，求在x=1处切线方程解：y=（3x2+6x-7）6x+6, y(1)=6+6=12为切线的斜率，再根据点斜式方程 y-y0=K(x-x0),其中x0，y03672,则方程为： y-2=12(x-2), y=12x22,注：很多人只算y，不算y(1)，这是错误的五:隐函数求导例1 方程x2+y2 =3sinx确定函数y=y(x),求y (x)解 （注意y是x的函数） 方程两边对x求导，有2x+2yy=3cosx,2yy=3cosx-2x,.例2: 方程ex+xy2 = 3y确定函数y=y(x),求y (x)和dy解 方程两边对x求导，有xex+y2+2xyy =3y , (2xy-3) y =-( xex+y2),.例3由方程确定是的隐函数，求.解 对方程两边同