中考数学真题分类汇编第二期专题22等腰三角形试题含解析.doc

等腰三角形一.选择题1.（2018江苏宿迁3分）如图、菱形ABCD的对角线AC.BD相交于点O、点E为边CD的中点、若菱形ABCD的周长为16、BAD60,则OCE的面积是（ ）A. B. 2 C. D. 4【答案】A【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4、ACBD、由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得ABD是等边三角形；在RtAOD中、根据勾股定理得AO=2、AC=2AO=4、根据三角形面积公式得SACD=ODAC=4、根据中位线定理得OEAD、根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出OCE的面积.【详解】菱形ABCD的周长为16、菱形ABCD的边长为4、BAD60、ABD是等边三角形、又O是菱形对角线AC.BD的交点、ACBD、在RtAOD中、AO=、AC=2AO=4、SACD=ODAC= 24=4、又O、E分别是中点、OEAD、COECAD、SCOE=SCAD=4=、故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的性质、结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.2.2018内蒙古包头市3分）如图、在ABC中、AB=AC、ADE的顶点D、E分别在BC、AC上、且DAE=90、AD=AE若C+BAC=145、则EDC的度数为（）A17.5B12.5C12D10【分析】由AB=AC知B=C、据此得2C+BAC=180、结合C+BAC=145可知C=35、根据DAE=90、AD=AE知AED=45、利用EDC=AEDC可得答案【解答】解：AB=AC、B=C、B+C+BAC=2C+BAC=180、又C+BAC=145、C=35、DAE=90、AD=AE、AED=45、EDC=AEDC=10、故选：D【点评】本题主要考查等腰直角三角形、解题的关键是掌握等腰直角三角形和等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质3. （2018达州3分）如图、ABC的周长为19、点D、E在边BC上、ABC的平分线垂直于AE、垂足为N、ACB的平分线垂直于AD、垂足为M、若BC=7、则MN的长度为（）AB2CD3【分析】证明BNABNE、得到BA=BE、即BAE是等腰三角形、同理CAD是等腰三角形、根据题意求出DE、根据三角形中位线定理计算即可【解答】解：BN平分ABC、BNAE、NBA=NBE、BNA=BNE、在BNA和BNE中、BNABNE、BA=BE、BAE是等腰三角形、同理CAD是等腰三角形、点N是AE中点、点M是AD中点（三线合一）、MN是ADE的中位线、BE+CD=AB+AC=19BC=197=12、DE=BE+CDBC=5、MN=DE=故选：C【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、掌握三角形的中位线平行于第三边、并且等于第三边的一半是解题的关键4. （2018资阳3分）下列图形具有两条对称轴的是（）A等边三角形B平行四边形C矩形D正方形【分析】根据轴对称及对称轴的定义、结合所给图形即可作出判断【解答】解：A.等边三角形由3条对称轴、故本选项错误；B.平行四边形无对称轴、故本选项错误；C.矩形有2条对称轴、故本选项正确；D.正方形有4条对称轴、故本选项错误；故选：C【点评】本题考查了轴对称图形及对称轴的定义、常见的轴对称图形有：等腰三角形、矩形、正方形、等腰梯形、圆等等5.（2018湖州3分）如图、AD、CE分别是ABC的中线和角平分线若AB=AC、CAD=20、则ACE的度数是（）A. 20 B. 35 C. 40 D. 70【答案】B【解析】分析：先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出CAB=2CAD=40、B=ACB=（180-CAB）=70再利用角平分线定义即可得出ACE=ACB=35详解：AD是ABC的中线、AB=AC、CAD=20、CAB=2CAD=40、B=ACB=（180-CAB）=70CE是ABC的角平分线、ACE=ACB=35故选：B点睛：本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质、三角形内角和定理以及角平分线定义、求出ACB=70是解题的关键6. （2018贵州安顺3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根、则该等腰三角形的周长是（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】试题分析：、即、等腰三角形的三边是2、2、5、2+25、不符合三角形三边关系定理、此时不符合题意；等腰三角形的三边是2、5、5、此时符合三角形三边关系定理、三角形的周长是2+5+5=12；即等腰三角形的周长是12故选A考点：1解一元二次方程-因式分解法；2三角形三边关系；3等腰三角形的性质7. （2018广西玉林3分）等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（）A正比例函数B一次函数C反比例函数D二次函数【分析】根据一次函数的定义、可得答案【解答】解：设等腰三角形的底角为y、顶角为x、由题意、得y=x+90、故选：B8. （2018黑龙江哈尔滨3分）在ABC中、AB=AC、BAC=100、点D在BC边上、连接AD、若ABD为直角三角形、则ADC的度数为130或90【分析】根据题意可以求得B和C的度数、然后根据分类讨论的数学思想即可求得ADC的度数【解答】解：在ABC中、AB=AC、BAC=100、B=C=40、点D在BC边上、ABD为直角三角形、当BAD=90时、则ADB=50、ADC=130、当ADB=90时、则ADC=90、故答案为：130或90【点评】本题考查等腰三角形的性质、解答本题的关键是明确题意、找出所求问题需要的条件、利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答9. （2018黑龙江龙东地区3分）RtABC中、ABC=90、AB=3、BC=4、过点B的直线把ABC分割成两个三角形、使其中只有一个是等腰三角形、则这个等腰三角形的面积是3.6或4.32或4.8【分析】在RtABC中、通过解直角三角形可得出AC=5.SABC=6、找出所有可能的剪法、并求出剪出的等腰三角形的面积即可【解答】解：在RtABC中、ACB=90、AB=3、BC=4、AB=5、SABC=ABBC=6沿过点B的直线把ABC分割成两个三角形、使其中只有一个是等腰三角形、有三种情况：当AB=AP=3时、如图1所示、S等腰ABP=SABC=6=3.6；当AB=BP=3、且P在AC上时、如图2所示、作ABC的高BD、则BD=2.4、AD=DP=1.8、AP=2AD=3.6、S等腰ABP=SABC=6=4.32；当CB=CP=4时、如图3所示、S等腰BCP=SABC=6=4.8综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8故答案为3.6或4.32或4.8【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积、找出所有可能的剪法、并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键11.（2018福建A卷4分）如图、等边三角形ABC中、ADBC、垂足为D、点E在线段AD上、EBC=45、则ACE等于（）A15B30C45D60【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线、进而求出ECB=45、即可得出结论【解答】解：等边三角形ABC中、ADBC、BD=CD、即：AD是BC的垂直平分线、点E在AD上、BE=CE、EBC=ECB、EBC=45、ECB=45、ABC是等边三角形、ACB=60、ACE=ACBECB=15、故选：A【点评】此题主要考查了等边三角形的性质、垂直平分线的判定和性质、等腰三角形的性质、求出ECB是解本题的关键12. （2018福建B卷4分）如图、等边三角形ABC中、ADBC、垂足为D、点E在线段AD上、EBC=45、则ACE等于（）A15B30C45D60【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线、进而求出ECB=45、即可得出结论【解答】解：等边三角形ABC中、ADBC、BD=CD、即：AD是BC的垂直平分线、点E在AD上、BE=CE、EBC=ECB、EBC=45、ECB=45、ABC是等边三角形、ACB=60、ACE=ACBECB=15、故选：A【点评】此题主要考查了等边三角形的性质、垂直平分线的判定和性质、等腰三角形的性质、求出ECB是解本题的关键13. （2018达州3分）如图、ABC的周长为19、点D、E在边BC上、ABC的平分线垂直于AE、垂足为N、ACB的平分线垂直于AD、垂足为M、若BC=7、则MN的长度为（）AB2CD3【分析】证明BNABNE、得到BA=BE、即BAE是等腰三角形、同理CAD是等腰三角形、根据题意求出DE、根据三角形中位线定理计算即可【解答】解：BN平分ABC、BNAE、NBA=NBE、BNA=BNE、在BNA和BNE中、BNABNE、BA=BE、BAE是等腰三角形、同理CAD是等腰三角形、点N是AE中点、点M是AD中点（三线合一）、MN是ADE的中位线、BE+CD=AB+AC=19BC=197=12、DE=BE+CDBC=5、MN=DE=故选：C【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、掌握三角形的中位线平行于第三边、并且等于第三边的一半是解题的关键14. （2018资阳3分）下列图形具有两条对称轴的是（）A等边三角形B平行四边形C矩形D正方形【分析】根据轴对称及对称轴的定义、结合所给图形即可作出判断【解答】解：A.等边三角形由3条对称轴、故本选项错误；B.平行四边形无对称轴、故本选项错误；C.矩形有2条对称轴、故本选项正确；D.正方形有4条对称轴、故本选项错误；故选：C【点评】本题考查了轴对称图形及对称轴的定义、常见的轴对称图形有：等腰三角形、矩形、正方形、等腰梯形、圆等等二.填空题1.（2018江苏徐州3分）边长为a的正三角形的面积等于【分析】根据正三角形的性质求解【解答】解：过点A作ADBC于点D、ADBC、BD=CD=a、AD=a、面积则是：aa=a2【点评】此题主要考查了正三角形的高和面积的求法、比较简单2.（2018江苏无锡2分）如图、点A.B.C都在O上、OCOB、点A在劣弧上、且OA=AB、则ABC=15【分析】根据等边三角形的判定和性质、再利用圆周角定理解答即可【解答】解：OA=OB、OA=AB、OA=OB=AB、即OAB是等边三角形、AOB=60、OCOB、COB=90、COA=9060=30、ABC=15、故答案为：15【点评】本题考查的是圆周角定理、熟知在同圆或等圆中、同弧或等弧所对的圆周角相等、都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键3.（2018江苏无锡2分）如图、已知XOY=60、点A在边OX上、OA=2过点A作ACOY于点C、以AC为一边在XOY内作等边三角形ABC、点P是ABC围成的区域（包括各边）内的一点、过点P作PDOY交OX于点D、作PEOX交OY于点E设OD=a、OE=b、则a+2b的取值范围是2a+2b5【分析】作辅助线、构建30度的直角三角形、先证明四边形EODP是平行四边形、得EP=OD=a、在RtHEP中、EPH=30、可得EH的长、计算a+2b=2OH、确认OH最大和最小值的位置、可得结论【解答】解：过P作PHOY交于点H、PDOY、PEOX、四边形EODP是平行四边形、HEP=XOY=60、EP=OD=a、RtHEP中、EPH=30、EH=EP=a、a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH、当P在AC边上时、H与C重合、此时OH的最小值=OC=OA=1、即a+2b的最小值是2；当P在点B时、OH的最大值是：1+=、即（a+2b）的最大值是5、2a+2b5【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质、有难度、掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围4.（2018江苏淮安3分）若一个等腰三角形的顶角等于50、则它的底角等于65【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案【解答】解：等腰三角形的顶角等于50、又等腰三角形的底角相等、底角等于（18050）=65故答案为：65【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质、熟记等腰三角形的性质是解题的关键5. （2018乌鲁木齐4分）如图、在RtABC中、C=90、BC=2、AC=2、点D是BC的中点、点E是边AB上一动点、沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置、BD交AB于点F若ABF为直角三角形、则AE的长为 【分析】利用三角函数的定义得到B=30、AB=4、再利用折叠的性质得DB=DC=、EB=EB、DBE=B=30、设AE=x、则BE=4x、EB=4x、讨论：当AFB=90时、则BF=cos30=、则EF=（4x）=x、于是在RtBEF中利用EB=2EF得到4x=2（x）、解方程求出x得到此时AE的长；当FBA=90时、作EHAB于H、连接AD、如图、证明RtADBRtADC得到AB=AC=2、再计算出EBH=60、则BH=（4x）、EH=（4x）、接着利用勾股定理得到（4x）2+（4x）+22=x2、方程求出x得到此时AE的长【解答】解：C=90、BC=2、AC=2、tanB=、B=30、AB=2AC=4、点D是BC的中点、沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置、BD交AB于点FDB=DC=、EB=EB、DBE=B=30、设AE=x、则BE=4x、EB=4x、当AFB=90时、在RtBDF中、cosB=、BF=cos30=、EF=（4x）=x、在RtBEF中、EBF=30、EB=2EF、即4x=2（x）、解得x=3、此时AE为3；当FBA=90时、作EHAB于H、连接AD、如图、DC=DB、AD=AD、RtADBRtADC、AB=AC=2、ABE=ABF+EBF=90+30=120、EBH=60、在RtEHB中、BH=BE=（4x）、EH=BH=（4x）、在RtAEH中、EH2+AH2=AE2、（4x）2+（4x）+22=x2、解得x=、此时AE为综上所述、AE的长为3或故答案为3或【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换、它属于轴对称、折叠前后图形的形状和大小不变、位置变化、对应边和对应角相等也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理6. （2018临安3分）用一条宽相等的足够长的纸条、打一个结、如图（1）所示、然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE、其中BAC=36度【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题【解答】解：ABC=108、ABC是等腰三角形、BAC=BCA=36度【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质n边形的内角和为：180（n2）7. （2018广西桂林3分）如图、在ABC中、A=36,AB=AC,BD平分ABC、则图中等腰三角形的个数是_【答案】3【解析】分析：由已知条件、利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数、根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案详解：AB=AC、ABC是等腰三角形A=36、C=ABC=72BD平分ABC交AC于D、ABD=DBC=36、A=ABD=36、ABD是等腰三角形BDC=A+ABD=36+36=72=C、BDC是等腰三角形共有3个等腰三角形故答案为：3点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键8 （2018黑龙江哈尔滨7分）如图、方格纸中每个小正方形的边长均为1、线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上（1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形）、且点C和点D均在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以线段AB为一腰、底边长为2的等腰三角形ABE、点E在小正方形的顶点上、连接CE、请直接写出线段CE的长【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；（2）利用数形结合的思想解决问题即可；【解答】解：（1）如图所示、矩形ABCD即为所求；（2）如图ABE即为所求；【点评】本题考查作图应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识、解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题、属于中考常考题型9.（2018贵州遵义4分）如图、ABC中点D在BC边上、BD=AD=AC、E为CD的中点若CAE=16、则B为37度【分析】先判断出AEC=90、进而求出ADC=C=74、最后用等腰三角形的外角等于底角的2倍即可得出结论【解答】解：AD=AC、点E是CD中点、AECD、AEC=90、C=90CAE=74、AD=AC、ADC=C=74、AD=BD、2B=ADC=74、B=37、故答案为3710. (2018湖南省邵阳市)（3分）如图所示、在等腰ABC中、AB=AC、A=36、将ABC中的A沿DE向下翻折、使点A落在点C处若AE=、则BC的长是【分析】由折叠的性质可知AE=CE、再证明BCE是等腰三角形即可得到BC=CE、问题得解【解答】解：AB=AC、A=36、B=ACB=72、将ABC中的A沿DE向下翻折、使点A落在点C处、AE=CE、A=ECA=36、CEB=72、BC=CE=AE=、故答案为：【点评】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用、证明BCE是等腰三角形是解题的关键11. （2018乌鲁木齐4分）如图、在RtABC中、C=90、BC=2、AC=2、点D是BC的中点、点E是边AB上一动点、沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置、BD交AB于点F若ABF为直角三角形、则AE的长为 【分析】利用三角函数的定义得到B=30、AB=4、再利用折叠的性质得DB=DC=、EB=EB、DBE=B=30、设AE=x、则BE=4x、EB=4x、讨论：当AFB=90时、则BF=cos30=、则EF=（4x）=x、于是在RtBEF中利用EB=2EF得到4x=2（x）、解方程求出x得到此时AE的长；当FBA=90时、作EHAB于H、连接AD、如图、证明RtADBRtADC得到AB=AC=2、再计算出EBH=60、则BH=（4x）、EH=（4x）、接着利用勾股定理得到（4x）2+（4x）+22=x2、方程求出x得到此时AE的长【解答】解：C=90、BC=2、AC=2、tanB=、B=30、AB=2AC=4、点D是BC的中点、沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置、BD交AB于点FDB=DC=、EB=EB、DBE=B=30、设AE=x、则BE=4x、EB=4x、当AFB=90时、在RtBDF中、cosB=、BF=cos30=、EF=（4x）=x、在RtBEF中、EBF=30、EB=2EF、即4x=2（x）、解得x=3、此时AE为3；当FBA=90时、作EHAB于H、连接AD、如图、DC=DB、AD=AD、RtADBRtADC、AB=AC=2、ABE=ABF+EBF=90+30=120、EBH=60、在RtEHB中、BH=BE=（4x）、EH=BH=（4x）、在RtAEH中、EH2+AH2=AE2、（4x）2+（4x）+22=x2、解得x=、此时AE为综上所述、AE的长为3或故答案为3或【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换、它属于轴对称、折叠前后图形的形状和大小不变、位置变化、对应边和对应角相等也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理三.解答题1.（2018江苏徐州7分）（A类）已知如图、四边形ABCD中、AB=BC、AD=CD、求证：A=C（B类）已知如图、四边形ABCD中、AB=BC、A=C、求证：AD=CD【分析】（A类）连接AC、由AB=AC.AD=CD知BAC=BCA.DAC=DCA、两等式相加即可得；（B类）由以上过程反之即可得【解答】证明：（A类）连接AC、AB=AC、AD=CD、BAC=BCA、DAC=DCA、BAC+DAC=BCA+DCA、即A=C；（B类）AB=AC、BAC=BCA、又A=C、即BAC+DAC=BCA+DCA、DAC=DCA、AD=CD【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、解题的关键是掌握等角对等边、等边对等角的性质2.（2018江苏徐州10分）如图1、一副直角三角板满足AB=BC、AC=DE、ABC=DEF=90、EDF=30操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上、再将三角板DEF绕点E旋转、并使边DE与边AB交于点P、边EF与边BC于点Q探究一：在旋转过程中、（1）如图2、当时、EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图3、当时、EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）根据你对（1）、（2）的探究结果、试写出当时、EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1：m、其中m的取值范围是0m2+（直接写出结论、不必证明）探究二：若且AC=30cm、连接PQ、设EPQ的面积为S（cm2）、在旋转过程中：（1）S是否存在最大值或最小值？若存在、求出最大值或最小值；若不存在、说明理由（2）随着S取不同的值、对应EPQ的个数有哪些变化、求出相应S的值或取值范围【分析】探究一：（1）连接BE、根据已知条件得到E是AC的中点、根据等腰直角三角形的性质可以证明BE=CE、PBE=C根据等角的余角相等可以证明BEP=CEQ即可得到全等三角形、从而证明结论；（2）作EMAB、ENBC于M、N、根据两个角对应相等证明MEPNWQ、发现EP：EQ=EM：EN、再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE；（3）根据（2）中求解的过程、可以直接写出结果；要求m的取值范围、根据交点的位置的限制进行分析探究二：（1）设EQ=x、结合上述结论、用x表示出三角形的面积、根据x的最值求得面积的最值；（2）首先求得EQ和EB重合时的三角形的面积的值、再进一步分情况讨论【解答】解：探究一：（1）连接BE、根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质、得BE=CE、PBE=C又BEP=CEQ、则BEPCEQ、得EP=EQ；（2）作EMAB、ENBC于M、N、EMP=ENC、MEP+PEN=PEN+NEF=90、MEP=NEF、MEPNEQ、EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；（3）过E点作EMAB于点M、作ENBC于点N、在四边形PEQB中、B=PEQ=90、EPB+EQB=180（四边形的内角和是360）、又EPB+MPE=180（平角是180）、MPE=EQN（等量代换）、RtMEPRtNEQ（AA）、（两个相似三角形的对应边成比例）；在RtAMERtENC=m=、=1：m=、EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1：m、0m2+；（当m2+时、EF与BC不会相交）探究二：若AC=30cm、（1）设EQ=x、则S=x2、所以当x=10时、面积最小、是50cm2；当x=10时、面积最大、是75cm2（2）当x=EB=5时、S=62.5cm2、故当50S62.5时、这样的三角形有2个；当S=50或62.5S75时、这样的三角形有一个【点评】熟练运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解3.（2018江苏苏州10分）如图、AB是O的直径、点C在O上、AD垂直于过点C的切线、垂足为D、CE垂直AB、垂足为E延长DA交O于点F、连接FC、FC与AB相交于点G、连接OC（1）求证：CD=CE；（2）若AE=GE、求证：CEO是等腰直角三角形【分析】（1）连接AC、根据切线的性质和已知得：ADOC、得DAC=ACO、根据AAS证明CDACEA（AAS）、可得结论；（2）介绍两种证法：证法一：根据CDACEA、得DCA=ECA、由等腰三角形三线合一得：F=ACE=DCA=ECG、在直角三角形中得：F=DCA=ACE=ECG=22.5、可得结论；证法二：设F=x、则AOC=2F=2x、根据平角的定义得：DAC+EAC+OAF=180、则3x+3x+2x=180、可得结论【解答】证明：（1）连接AC、CD是O的切线、OCCD、ADCD、DCO=D=90、ADOC、DAC=ACO、OC=OA、CAO=ACO、DAC=CAO、CEAB、CEA=90、在CDA和CEA中、CDACEA（AAS）、CD=CE；（2）证法一：连接BC、CDACEA、DCA=ECA、CEAG、AE=EG、CA=CG、ECA=ECG、AB是O的直径、ACB=90、CEAB、ACE=B、B=F、F=ACE=DCA=ECG、D=90、DCF+F=90、F=DCA=ACE=ECG=22.5、AOC=2F=45、CEO是等腰直角三角形；证法二：设F=x、则AOC=2F=2x、ADOC、OAF=AOC=2x、CGA=OAF+F=3x、CEAG、AE=EG、CA=CG、EAC=CGA、CEAG、AE=EG、CA=CG、EAC=CGA、DAC=EAC=CGA=3x、DAC+EAC+OAF=180、3x+3x+2x=180、x=22.5、AOC=2x=45、CEO是等腰直角三角形【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性质等知识此题难度适中、本题相等的角较多、注意各角之间的关系、注意掌握数形结合思想的应用4.（2018江苏苏州10分）如图、直线l表示一条东西走向的笔直公路、四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地、点A、D在直线l上、小明从点A出发、沿公路l向西走了若干米后到达点E处、然后转身沿射线EB方向走到点F处、接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处、最后沿公路l回到点A处设AE=x米（其中x0）、GA=y米、已知y与x之间的函数关系如图所示、（1）求图中线段MN所在直线的函数表达式；（2）试问小明从起点A出发直至最后回到点A处、所走过的路径（即EFG）是否可以是一个等腰三角形？如果可以、求出相应x的值；如果不可以、说明理由【分析】（1）根据点M、N的坐标、利用待定系数法即可求出图中线段MN所在直线的函数表达式；（2）分FE=FG、FG=EG及EF=EG三种情况考虑：考虑FE=FG是否成立、连接EC、通过计算可得出ED=GD、结合CDEG、可得出CE=CG、根据等腰三角形的性质可得出CGE=CEG、FEGCGE、进而可得出FEFG；考虑FG=EG是否成立、由正方形的性质可得出BCEG、进而可得出FBCFEG、根据相似三角形的性质可得出若FG=EG则FC=BC、进而可得出CG、DG的长度、在RtCDG中、利用勾股定理即可求出x的值；考虑EF=EG是否成立、同理可得出若EF=EG则FB=BC、进而可得出BE的长度、在RtABE中、利用勾股定理即可求出x的值综上即可得出结论【解答】解：（1）设线段MN所在直线的函数表达式为y=kx+b、将M（30、230）、N（100、300）代入y=kx+b、 、解得：、线段MN所在直线的函数表达式为y=x+200（2）分三种情况考虑：考虑FE=FG是否成立、连接EC、如图所示AE=x、AD=100、GA=x+200、ED=GD=x+100又CDEG、CE=CG、CGE=CEG、FEGCGE、FEFG；考虑FG=EG是否成立四边形ABCD是正方形、BCEG、FBCFEG假设FG=EG成立、则FC=BC成立、FC=BC=100AE=x、GA=x+200、FG=EG=AE+GA=2x+200、CG=FGFC=2x+200100=2x+100在RtCDG中、CD=100、GD=x+100、CG=2x+100、1002+（x+100）2=（2x+100）2、解得：x1=100（不合题意、舍去）、x2=；考虑EF=EG是否成立同理、假设EF=EG成立、则FB=BC成立、BE=EFFB=2x+200100=2x+100在RtABE中、AE=x、AB=100、BE=2x+100、1002+x2=（2x+100）2、解得：x1=0（不合题意、舍去）、x2=（不合题意、舍去）综上所述：当x=时、EFG是一个等腰三角