1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(高中数学人教A选修2-3).ppt

教学目标 知识与技能 理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理 会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 过程与方法 通过丰富的实例 理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理 培养学生的归纳概括能力 情感态度与价值观 引导学生形成 自主学习 与 合作学习 等良好的学习方式 重点与难点 重点 分类计数原理 加法原理 与分步计数原理 乘法原理 难点 分类计数原理 加法原理 与分步计数原理 乘法原理 的应用 两类 能 26种10种 26 10 36种 或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号 总共能够编出多少种不同的号码 请思考 问题1 用一个大写的英文字母 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号 假如你从南宁到北海 请问你共有多少种不同的走法 客车每天有3个班次 火车每天有2个班次 可以坐直达客车或直达火车 引例 南宁 北海 分析 完成从南宁到北海这件事有2类方案 所以 从从南宁到北海共有3 2 5种方法 问题1 你能否发现这两个问题有什么共同特征 1 都是要完成一件事 2 用任何一类方法都能直接完成这件事 3 都是采用加法运算 完成一件事有两类不同的方案 分类加法计数原理 在第1类方案中有m种不同的方法 在第2类方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有N m n种不同的方法 例1 在填写高考志愿表时 一名高中毕业生了解到A B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业 具体情况如下 如果这名同学只能选一个专业 那么他共有多少种选择呢 变式 在填写高考志愿表时 一名高中毕业生了解到 A B C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业 具体情况如下 如果这名同学只能选一个专业 那么他共有多少种选择呢 N 5 4 5 14 种 关于分类计数原理的几点注记 各类办法之间相互独立 都能完成这件事 且办法总数是各类办法相加 所以这个原理又叫做加法原理 分类时 首先要在问题的条件之下确定一个分类标准 然后在确定的分类标准下进行分类 完成这件事的任何一种方法必属于某一类 且分别属于不同两类的两种方法都是不同的 不重不漏 如果完成一件事情有3类不同方案 在第1类方案中有m1种不同的方法 在第2类方案中有m2种不同的方法 在第3类方案中有m3种不同的方法 那么完成这件事情有种不同的方法 N m1 m2 m3 分类加法计数原理的推广 完成一件事有n类不同的方案 在第1类方案中有m1种不同的方法 在第2类方案中有m2种不同的方法 那么完成这件事共有种不同的方法 在第n类方案中有mn种不同的方法 1 某学生去书店 发现3本好书 决定至少买其中一本 则购买方式共有 A 3种B 6种C 7种D 9种 解析 分3类 买1本书 买2本书和买3本书 各类的购买方式依次有3种 3种和1种 故购买方式共有3 3 1 7 种 答案 C 2 如图所示为一电路图 从A到B可通电的线路共有 A 1条B 2条C 3条D4条 D 3 高二 1 班有学生50人 其中男生30人 高二 2 班有学生60人 其中女生30人 高二 3 班有学生55人 其中男生35人 1 从中选一名学生任学生会主席 有多少种不同选法 2 从高二 1 班 2 班男生中 或从高二 3 班女生中选一名学生任学生会体育部长 有多少种不同的选法 分析 按当选学生来自不同班级分类 解析 1 选一名学生有三类不同的选法 第一类 从高二 1 班选一名 有50种不同的方法 第二类 从高二 2 班选一名 有60种不同的方法 第三类 从高二 3 班选一名 有55种不同的方法 故任选一名学生任学生会主席的选法共有50 60 55 165种不同的方法 2 选一名学生任学生会体育部长有三类不同的选法 第一类 从高二 1 班男生中选有30种不同的方法 第二类 从高二 2 班男生中选有30种不同的方法 第三类 从高二 3 班女生中选有20种不同的方法 故任选一名学生任学生会体育部长有30 30 20 80种不同的方法 如图 由A村去B村的道路有3条 由B村去C村的道路有2条 从A村经B村去C村 共有多少种不同的走法 分析 从A村经B村去C村有2步 第一步 由A村去B村有3种方法 第二步 由B村去C村有2种方法 所以从A村经B村去C村共有3 2 6种不同的方法 问题2 分类加法计数原理 完成一件事需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做第2步有n种不同的方法 那么完成这件事共有 N m n 分步乘法计数原理 种不同的方法 例2 设某班有男生30名 女生24名 现要从中选出男 女生各一名代表班级参加比赛 共有多少种不同的选法 例3 长征的部分电话号码是0943665 后面每个数字来自0 9这10个数 问可以产生多少个不同的电话号码 变式 若要求最后4个数字不重复 则又有多少种不同的电话号码 0943665 分析 分析 4个插班生分到甲 乙 丙三个班 有多少种不同的分法 分析 一个学生分到甲 乙 丙中的某个班 有3种不同方法 一个学生确定到哪个班后 这件事情并没有完成 只有4个学生全部确定各自到哪个班后这件事情才算完成 故应用乘法原理解决 解析 完成4个学生分到3个不同的班级这件事 可按每个学生对班级选择分四步完成 每一步中每一个学生在3个班级中选择一个 有3种选法 由乘法原理得共有34 81种不同的分法 2 现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤 如果一条长裤与一件上衣配成一套 则不同的配法种数为 A 7B 12C 64D 81 解析 要完成配套 分两步 第1步 选上衣 从4件中任选一件 有4种不同的选法 第2步 选长裤 从3条长裤中任选一条 有3种不同选法 故共有4 3 12种不同取法 答案 B 关于分步计数原理的几点注记 各个步骤之间相互依存 且方法总数是各个步骤的方法数相乘 所以这个原理又叫做乘法原理 分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准 然后在确定的分步标准下分步 完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个步骤 如果完成一件事情需要3个步骤 第1步有m1种不同的方法 第2步有m2种不同的方法 第3步有m3种不同的方法 那么完成这件事情有种不同的方法 N m1 m2 m3 分步乘法计数原理的推广 完成一件事需要n个步骤 第1步有m1种不同的方法 第2步有m2种不同的方法 那么完成这件事共有种不同的方法 第n步有mn种不同的方法 练习 三个比赛项目 六人报名参加 每人参加一项有多少种不同的方法 每项 人 且每人至多参加一项 有多少种不同的方法 每项 人 每人参加的项数不限 有多少种不同的方法 变式 有四位同学参加三项不同的竞赛 1 每位同学必须且只需参加一项竞赛 有多少种不同的参赛方式 2 没项竞赛值允许一位学生参加 有多少种不同的参赛方式 例5 五名学生报名参加四项体育比赛 每人限报一项 报名方法的种数为多少 又他们争夺这四项比赛的冠军 获得冠军的可能性有多少种 解 1 5名学生中任一名均可报其中的任一项 因此每个学生都有4种报名方法 5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为4 4 4 4 4 种 2 每个项目只有一个冠军 每一名学生都可能获得其中的一项获军 因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n 5 种 例 用0 1 2 3 4这5个数字可组成多少个无重复数字的 1 四位密码 2 四位数 3 四位奇数 解 完成 组成无重复数字的四位密码 这件事需要四个步骤 第1步 取左边第一位上的数字 有5种选取方法 第2步 取左边第二位上的数字 有4种选取方法 第3步 取左边第三位上的数字 有3种选取方法第4步 取左边第四位上的数字 有2种选取方法有分步乘法计数原理知 可以组成不同的四位密码共有N 5 4 3 2 120 个 例 用0 1 2 3 4这5个数字可组成多少个无重复数字的 1 四位密码 2 四位数 3 四位奇数 解 完成 组成无重复数字的四位数 这件事需要四个步骤 第1步 取左边第一位上的数字 有4种选取方法 第2步 取左边第二位上的数字 有4种选取方法 第3步 取左边第三位上的数字 有3种选取方法第4步 取左边第四位上的数字 有2种选取方法有分步乘法计数原理知 可以组成不同的四位密码共有N 4 4 3 2 96 个 特殊元素特殊位置优先考虑 例3 书架第1层放有4本不同的计算机书 第2层放有3本不同的文艺书 第3层放有2本不同的体育书 1 从书架中取1本书 有多少种不同取法 有3类方法 根据分类加法计数原理 N 4 3 2 9 2 从书架第1 2 3层各取1本书 有多少种不同取法 分3步完成 根据分步乘法计数原理 N 4 3 2 24 解题关键 从总体上看做这件事情是 分类完成 还是 分步完成 再根据其对应的计数原理计算 分类计数原理与分步计数原理的区别 区别在于 1 分类计数原理针对的是 分类 问题 其中各种方法相互独立 用中任何一种方法都可以做完这件事 2 分步计数原理针对的是 分步 问题 各个步骤中的方法相互依存 只有各个步骤都完成才算做完这件事 两个计数原理 用来计算 完成一件事 的方法种数 每类方案中的每一种方法都能 完成这件事 每步 才算完成这件事情 每步中的每一种方法不能独立完成这件事 类类相加 步步相乘 类类独立 步步相依 独立 依次完成 不重不漏 步骤完整 分类完成 分步完成 解答计数问题的一般思维过程 完成一件什么事 要从甲 乙 丙3幅不同的画中选出2幅 分别挂在左 右两边墙上的指定位置 问共有多少种不同的挂法 分两步完成 左边 右边 甲 乙 丙 3 2 第一步 第二步 例4 例4要从甲 乙 丙 3幅不同的画中选出2幅 分别挂在左 右两边墙上的指定位置 问共有多少种不同的挂法 甲 乙 丙 解 从3幅画中选出2幅分别挂在左 右两边墙上 可以分两个步骤完成 第一步 从3幅画中选1幅挂在左边墙上 有3种选法 第二步 从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上 有2种选法 根据分步计数原理 不同挂法的种数是 N 3 2 6 思考 还有其他解答本题的方法吗 例4要从甲 乙 丙 3幅不同的画中选出2幅 分别挂在左 右两边墙上的指定位置 问共有多少种不同的挂法 甲 乙 丙 解 从3幅画中选出2幅分别挂在左 右两边墙上 可以分两个步骤完成 第一步 从3幅画中选出2幅 有3种选法 甲 乙 甲 丙 乙 丙 第二步 将选出的2幅画挂好 有2中挂法 根据分步计数原理 不同挂法的种数是 N 3 2 6 例6 给程序模块命名 需要用3个字符 其中首个字符要求用字母A G或U Z 后两个要求用数字1 9 问最多可以给多少个程序命名 分析 要给一个程序模块命名 可以分三个步骤 第一步 选首字符 第二步 先中间字符 第三步 选末位字符 解 首字符共有7 6 13种不同的选法 答 最多可以给1053个程序命名 中间字符和末位字符各有9种不同的选法 根据分步计数原理 最多可以有13 9 9 1053种不同的选法 例7 核糖核酸 RNA 分子是在生物细胞中发现的化学成分 一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链 长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据 总共有 个不同的碱基 分别用A C G U表示 在一个RNA分子中 各种碱基能够以任意次序出现 所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关 假设有一类RNA分子由100个碱基组成 那么能有多少种不同的RNA分子 分析 用100个位置表示由100个碱基组成的长链 每个位置都可以从A C G U中任选一个来占据 解 100个碱基组成的长链共有100个位置 在每个位置中 从A C G U中任选一个来填入 每个位置有4种填充方法 根据分步计数原理 共有 种不同的RNA分子 例8 电子元件很容易实现电路的通与断 电位的高与底等两种状态 而这也是最容易控制的两种状态 因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法 即二进制 为了使计算机能够识别字符 需要对字符进行编码 每个字符可以用一个或多个字节来表示 其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位 每个字节由 个二进制位构成 问 1 一个字节 8位 最多可以表示多少个不同的字符 2 计算机汉字国标码 GB码 包含了6763个汉字 一个汉字为一个字符 要对这些汉字进行编码 每个汉字至少要用多少个字节表示 如00000000 10000000 11111111 例9 计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试 程序员需要知道到底有多少条执行路 即程序从开始到结束的线 以便知道需要提供多少个测试数据 一般的 一个程序模块又许多子模块组成 它的一个具有许多执行路径的程序模块 问 这个程序模块有多少条执行路径 另外为了减少测试时间 程序员需要设法减少测试次数 你能帮助程序员设计一个测试方式 以减少测试次数吗 分析 整个模块的任意一条路径都分两步完成 第1步是从开始执行到A点 第2步是从A点执行到结束 而第步可由子模块1或子模块2或子模块3来完成 第二步可由子模块4或子模块5来完成 因此 分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理 再测试各个模块之间的信息交流是否正常 需要测试的次数为 3 2 6 如果每个子模块都正常工作 并且各个子模块之间的信息交流也正常 那么整个程序模块就正常 这样 测试整个模块的次数就变为172 6 178 次 2 在实际测试中 程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱 即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块 这样 他可以先分别单独测试5个模块 以考察每个子模块的工作是否正常 总共需要的测试次数为 18 45 28 38 43 172 分类加法计数原理 完成一件事需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做第2步有n种不同的方法 那么完成这件事共有 N m n 分步乘法计数原理 种不同的方法 两个计数原理 用来计算 完成一件事 的方法种数 每类方案中的每一种方法都能 完成这件事 每步 才算完成这件事情 每步中的每一种方法不能独立完成这件事 类类相加 步步相乘 类类独立 步步相依 独立 依次完成 不重不漏 步骤完整 分类完成 分步完成 解答计数问题的一般思维过程 完成一件什么事 例10 随着人们生活水平的提高 某城市家庭汽车拥有量迅速增长 汽车牌照号码需要扩容 交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法 每一个汽车牌照都必须有 个不重复的英文字母和 个不重复的阿拉伯数字 并且 个字母必须合成一组出现 个数字也必须合成一组出现 那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照 如图 一蚂蚁沿着长方体的棱 从一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条 A B C D A1 B1 C1 D1 思考 解 如图 从总体上看 蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法 从局部上看每类又需两步完成 所以 C1 A B C D A1 D1 B1 第一类 A B