第2章+控制系统的动态数学模型

第二章控制系统的动态数学模型 微分方程的建立典型环节及传递函数控制系统的结构图及其等效变换 微分方程的建立 数学模型 描述系统行为特性的数学表达式 是对实际物理系统的一种数学抽象 控制系统的时域数学模型 微分方程 1 RC电路 微分方程中只能留下输入 输出变量及系统的一些常数 一阶常系数线性微分方程 输入量 输出量 微分方程的建立 3 弹簧 质量 阻尼系统 二阶常系数线性微分方程 输入量f t 输出量y t 电路传递函数及微分方程的简化列写 微分方程的建立 微分方程的建立 非线性系统微分方程模型的线性化 1 几种常见的非线性 偏微法 小偏差法 切线法 增量线性化法 2 线性化的方法 基于被控环节输入输出量只在平衡点附近作微小变化的假设 微分方程的建立 传递函数及典型环节 如果系统的时域数学模型微分方程为 其中 ai bj i 0 1 2 n j 0 1 2 m 是由系统本身的结构参数所决定的实数 不考虑初始值 对上式两边进行拉氏变换 可得 n m 传递函数 传递函数及典型环节 典型环节的传递函数及其动态响应 不同的物理系统 其结构差别很大 但若从系统的数学模型来看 一般可将自动控制系统的数学模型看作由若干个典型环节所组成 研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系统性能的了解 传递函数及典型环节 1 比例环节 微分方程 传递函数 K R S C S 方框图 单位阶跃响应 例 运算放大器 ur t uc t ur t uc t 例 电位器齿轮传动 传递函数及典型环节 2 惯性环节 微分方程 传递函数 R S C S 方框图 单位阶跃响应 r t t 0 c t 例 运算放大器 ur t uc t 例 RC电路 传递函数及典型环节 3 微分环节 理想微分方程 传递函数 R S C S 方框图 单位阶跃响应 例 运算放大器构成的微分环节 ur t uc t 微分时间常数 传递函数及典型环节 传递函数 单位阶跃响应 由于微分环节的输出只能反映输入信号的变化率 不能反映输入量本身的大小 故常采用比例微分环节 采用运算放大器构成的比例微分环节 传递函数及典型环节 4 积分环节 微分方程 传递函数 R S C S 方框图 单位阶跃响应 例 运算放大器 ur t uc t 时间常数 例 直流伺服电机 M 反电动势系数 传递函数及典型环节 5 二阶振荡环节 微分方程 传递函数 单位阶跃响应 时间常数 方框图 阻尼比 无阻尼自由振荡频率 传递函数及典型环节 6 延时环节 微分方程 传递函数 R S C S 方框图 作近似处理得 控制系统的结构图及其等效变换 动态结构图是系统数学模型的另一种形式 它表示出系统中各变量之间的数学关系及信号的传递过程 控制系统的结构图及其等效变换 一 建立动态结构图的一般方法 二 动态结构图的等效变换与化简 控制系统的结构图及其等效变换 一 建立动态结构图的一般方法 初始微分方程组 取拉氏变换 绘制动态结构图的一般步骤 1 确定系统中各元件或环节的传递函数 2 绘出各环节的方框 方框中标出其传递函数 输入量和输出量 3 根据信号在系统中的流向 依次将各方框连接起来 控制系统的结构图及其等效变换 例 转动惯量 弹簧 阻尼系统 列微分方程组 例 低通滤波网络 控制系统的结构图及其等效变换 控制系统的结构图及其等效变换 例 低通滤波网络 例 电枢控制式直流电机 控制系统的结构图及其等效变换 控制系统的结构图及其等效变换 动态结构图的等效变换与化简 系统的动态结构图直观地反映了系统内部各变量之间的动态关系 将复杂的动态结构图进行化简可求出传递函数 1 动态结构图的等效变换 等效变换 被变换部分的输入量和输出量之间的数学关系 在变换前后保持不变 1 串联 n个环节串联 3 反馈 反馈环节的连接等效变换 根据框图得 等效 C s E s G s 控制系统的结构图及其等效变换 控制系统的结构图及其等效变换 4 比较点和引出点的移动 1 相邻比较点之间的位置交换不改变数学关系 2 比较点的移动 前移 C s R s G s F s 控制系统的结构图及其等效变换 前移a 例化简系统的结构图 求传递函数 例化简系统的结构图 求传递函数 控制系统的结构图及其等效变换 例化简系统的结构图 求传递函数 控制系统的结构图及其等效变换 所有三三互不接触回路的传递函数乘积之和 控制系统的结构图及其等效变换 梅逊公式 回路传递函数 回路内前向通道和反馈通道传递函数的乘积 特征式 第k条前向通道的传递函数 将 中与第k条前向通道相接触的回路所在项去掉之后的剩余部分 称为余子式 各回路传递函数之和 两两互不接触回路的传递函数乘积之和 控制系统的结构图及其等效变换 例 求系统的闭环传递函数 解 系统有5个回路 各回路的传递函数分别为 L1 L2 L3 L4 L5 L1 G1G2H1 L2 G2G3H2 L3 G1G2G3 L4 G1G4 L5 G4H2 P1 G1G2G3 P2 G1G4 控制系统的结构图及其等效变换 例 求系统的闭环传递函数 L1 L2 L3 解 系统有3个回路 各回路的传递函数分别为 1 1 控制系统的结构图及其等效变换 例 求系统的闭环传递函数 L1 L2 L3 L4 解 系统有三条前向通道 4个回路 各回路的传递函数分别为 L1 L2 L3 例求系统的闭环传递函数 解 L1 G3H1 L2 G1H1 L3 G1G2 P1 G1G2 1 1 G3H1 1 G1G2 G1H1 G3H1 控制系统的结构图及其等效变换 反馈控制系统的传递函数 一 系统的开环传递函数 二 系统的闭环传递函数 三 系统的误差传递函数 反馈控制系统的传递函数 一 系统的开环传递函数 开环传递函数 系统反馈量与偏差信号的比值 E s B s G1 s G2 s H s G s H s 反馈控制系统的传递函数 二 系统的闭环传递函数 1 在给定信号R s 作用下 设干扰信号N s 0 闭环传递函数 2 在扰动信号N s 作用下 设R s 0 则动态结构图转换成 闭环传递函数 反馈控制系统的传递函数 1 在给定信号R s 作用下 三 系统的偏差传递函数 设干扰信号N s 0 偏差输出的动态结构图为 偏差传递函数 2 在扰动信号N s 作用下 设R s 0 则动态结构图转换成 偏差传递函数 解 1 例 N s