必修五不等式专题附加答案解析.doc

此文档收集于网络，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除不等式专题一共分为6部分1.不等关系与不等式2.一元二次不等式及其解法3.二元一次不等式组与平面区域4.线性规划与实际应用5.线性规划与基本不等式6.不等式综合复习第一部分不等关系与不等式 实数的符号：任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立。两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： 两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；两个同号实数相乘，积是正数符号语言：；两个异号实数相乘，积是负数符号语言：任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、；. 对于任意实数、,三种关系有且只有一种成立。要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。1、某人有楼房一幢，室内面积共，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为，可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【解析】假设装修大、小客房分别为间，间，根据题意，应由下列不等关系：（1） 总费用不超过8000元（2） 总面积不超过；（3） 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数.即有： 即此即为所求满足题意的不等式组1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？【答案】设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2、某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，且有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式解析：设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数；(2)车队每天至少要运360 t矿石；(3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆用下面的关于x，y的不等式表示上述不等关系即可，即不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有： (1) 对称性： (2) 传递性： (3) 可加性： (cR)(4) 可乘性：ab，运算性质有： (1) 可加法则：(2) 可乘法则：(3) 可乘方性：(4) 可开方性：要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据1、对于实数a,b,c判断以下命题的真假 （）若ab, 则acbc2，则ab; （）若ababb2; （）若ab|b|; （）若ab, , 则a0, bbc2, 所以c0, 从而c20，故原命题为真命题。（）因为，所以a2ab 又，所以abb2 综合得a2abb2 ，故原命题为真命题（）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题（）因为 ，所以 所以 ，从而abb，所以a0, bv0)，则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间平均速度， ， 因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度。1、若a0ba，cd0，则下列命题：(1)adbc；(2) ；(3)acbd；(4)a(dc)b(dc)中能成立的个数是() CA1 B2 C3 D42、若abb0, 则，a-b0, , 此时成立；(2)若ba0, 则, a-bb am2bm2 B、 ab C、a3b3, ab0 D、a2b2, ab04若x+y0,a0，则x-y的值为( )A、大于0 B、小于0 C、等于0 D、符号不确定3【答案】C 【解析】用淘汰法. (A)中若m=0不成立；(B)中若c0(a-b)(a2+ab+b2)0. a2+ab+b20恒成立，故a-b0. ab，又ab0，b2(a+b)(a-b)0，不能说明ab，故本题应选(C). 4【答案】A【解析】用直接法. a0y0x0， x-y=x+(-y)0.故本题应选(A). 5已知，则有（ ）A、 B、 C、 D、6若任意实数，且，则（ ）A、 B、 C、 D、 5【答案】D【解析】0xya1，0xy1，故loga(xy)0，排除A，又xyya，故loga(xy)logaa1，排除B，loga(xy)logaxlogaylogaalogaa112，故选D.6【答案】D【解析】ab且y为单减函数，故，故选D，因不知道a，b的正负，故可排除A、B、C选项.7下列命题中的真命题为 （）若ab, 则ac2bc2；（）若ab0，则；（）若ab；（）若ab0，则ab0，则7【答案】（4）（5）【解析】（）c20，当c=0时ac2=bc2=0，故原命题为假命题.（）举特例-2-1-1，故原命题为假命题.（）由于ab0，所以，所以，故原命题为假命题.（）ab|b|0，故原命题为真命题 （）cab0，c-bc-a0，0， 又ab0 ，故原命题为真命题1.若，满足，则2的取值范围是 2若实数试确定的大小关系 1【答案】.【解析】，又，且，0且x1，比较1+logx3与2logx2的大小.解析】作差：(1) 当， 即0x0(a0)的过程开始结束将原不等式化成一般形式ax2+bx+c0(a0)=b2-4ac求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2方程ax2+bx+c=0没有实数根原不等式解集为R原不等式解集为原不等式解集为x|xx2(x10； （3）x2-(a+1)x+a0，即a2或a-2时，原不等式的解集为当=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为.当0，即-2a2时，原不等式的解集为R.（3）(x-1)(x-a)1时，原不等式的解集为x|1xa 当a1时，原不等式的解集为x|ax1 当a=1时，原不等式的解集为.【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论.【变式1】解关于x的不等式：【答案】原不等式化为a=1或a=-1时，解集为；当0a1 或a1或 -1a0时，若， 即时，；若， 即时，xR； 若， 即时，.当a0时，则有：， .【变式2】解关于x的不等式：ax22x-10时，则0，.a0时，若a0，0， 即a-1时，xR；若a0，=0， 即a=-1时，xR且x1；若a0， 即 -1a0的解集为x|-3x2，则a=_, b=_.【答案】由不等式的解集为x|-3x2知a0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5若m=1，则不等式化为30, 对一切实数x成立，符合题意.若m=-5，则不等式为24x+30，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去.(2)当m2+4m-50即 m1且m-5时，由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，所以， 即， 1m19. 综上所述，实数m的取值范围是m|1m0 B.C. Dx22x103不等式ax2+5x+c0的解集为，则a，c的值为（ ）Aa=6，c=1 Ba=6，c=1 Ca=1，c=1 Da=1，c=61【答案】D【解析】9x26x1(3x1)20，故选D.2【答案】C【解析】x24x4(x2)20，A不正确； ，B不正确；，(xR)，故C正确；x22x10 x22x1(x1)20，D不正确 3.【答案】B【解析】由题意可知方程的两根为和，由韦达定理得：，求得a=6，c=14若0t1，则不等式的解集为()A. B.C. D.5不等式x2axb0的解集是x|2x3，则bx2ax10的解集是（ ）A B C D6. 关于x的不等式(1m)x2mxmx21对xR恒成立，则实数m的取值范围是()A(，0) B(，0)C(，0 D(，04【答案】D【解析】0t1，.5.【答案】C【解析】由题意得，方程x2axb=0的两根为x=2,x=3,由韦达定理得，求得，从而解得bx2ax10的解集为6. 【答案】C【解析】原不等式等价于mx2mxm10对xR恒成立，当m0时，0x20x10对xR恒成立当m0时，由题意，得.综上，m的取值范围为(，01如果Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是_2如果关于x的方程x2(m1)x+2m=0的两根为正实数，则m的取值范围是_.1【答案】0,4)【解析】由题意知，0a4.当a0时，Ax|10，符合题意2【答案】【解析】由题意得：，解得3. 函数的定义域是R，则实数a的取值范围为_4.若关于的不等式的解集为，则实数m等于 .3 【答案】【解析】由已知f(x)的定义域是R. 所以不等式ax23ax10恒成立(1)当a0时，不等式等价于10，显然恒成立；(2)当a0时，则有.由(1)(2)知，. 即所求a的取值范围是.4.【答案】2【解析】由题意，得1，m是关于x的方程的两根，则解得（舍去）5.解下列不等式(1)2x27x30； (2)x28x30；【解析】(1)因为72423250，所以方程2x27x30有两个不等实根x13，.又二次函数y2x27x3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.(2)因为824(1)(3)520，所以方程x28x30有两个不等实根，.又二次函数yx28x3的图象开口向下，所以原不等式的解集为6.不等式mx2+1mx 的解集为实数集R，求实数m的取值范围当m0时，不等式即为10，满足条件当m0时，若不等式的解集为R，则应有， 解得0m4综上，m的取值范围是m|0m0恒成立，求实数a的取值范围；(2)如果对x-3，1，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.14【解析】(1)由题意得：=，即0a0得，有如下两种情况： 或 综上所述：.9.解下列关于x的不等式 ； 当a=0时，原不等式即为-(x+1)0，解得x0，数的图象开口向上，与x轴有两个交点，其简图如下：故不等的解集为；综上所述，当a-1时，不等式的解集为；当a=-1时，不等式的解集为空集；当-1a0时，不等式的解集为第三部分二元一次不等式组与平面区域1.二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式.2.二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.3.二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的和的取值构成有序实数对，所有这样的有序实数对构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.要点诠释：注意不等式（组）未知数的最高次二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，因此，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合. 二元一次不等式所表示的平面区域：在平面直角坐标系中，直线将平面分成两部分，平面内的点分为三类：直线上的点（x，y）的坐标满足：；直线一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：；直线另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：.即二元一次不等式或在平面直角坐标系中表示直线的某一侧所有点组成的平面区域，直线叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.重点：二元一次不等式表示哪个平面区域的确定二元一次不等式表示的平面区域由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当时，常把原点作为此特殊点）以上判定方法简称为“直线定界、特殊点定域”法.不等式组所表示的平面区域由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.1. 判断二元一次不等式Ax+By+c0(或0(或0)表示直线的哪一侧.2. 画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；确定要画不等式所表示的平面区域.要点诠释： “直线定界，特殊点定域”二元一次不等式（组）表示平面区域的重要方法.1、画出不等式表示的平面区域.【解析】先画直线（画成虚线）.取原点代入得,原点不在表示的平面区域内，不等式表示的区域如图：【总结升华】 1. 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当时，常把原点作为此特殊点.2. 虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线2、 用平面区域表示不等式组【思路点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。【解析】不等式y+50表示直线y+50上及右下方的点的集合，+y0表示直线x+y0上及右上方的点的集合，x3表示直线x3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域：3、 画出下列不等式表示的平面区域(1) ； (2) 【解析】(1) 原不等式等价转化为或（无解），故点在区域内，如图：(2) 原不等式等价为或，如图【总结升华】把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解1、画出下列不等式所表示的平面区域（1）； （2）【答案】 （1） （2）2、用平面区域表示不等式组.【解析】不等式表示直线右下方的区域，表示直线右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集.3、画出下列不等式组表示的平面区域.（1）； （2）； 【答案】 （1） （2） 4、用平面区域表示不等式【答案】5、用平面区域表示不等式（1）； （2）； （3）【答案】 （1） （2） （3）1、求不等式组表示的平面区域的面积.【解析】【法1】（特殊三角形）显然为等腰直角三角形，易得B点坐标为，C点坐标为 ，则 .【法2】（面积公式）易得A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为 ，则由点到直线的距离公式得高 .【法3】（向量法）易得A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为 ，则， .故不等式组表示的平面区域的面积等于36.【总结升华】这一类问题的关键是正确画出所求平面区域，其实质是二元一次不等式组表示的平面区域的应用，注意图形的分解转化1、画出不等式组表示的平面区域并求其面积.【答案】如图，面积为；2、在平面直角坐标系中，若不等式组 (a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A5 B1C2 D3 【解析】不等式组所围成的区域如图所示其面积为2，|AC|4，C的坐标为(1,4)，代入axy10，得a3.故选D.3、 已知M,N是，所围成的区域的两点，则的最大值是 解析：不等式表示的平面区域，如图所示，BA(5,1)oxy第9题图观察图可得|MN|的最大值是 1、 某人准备投资1 200万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)(注：初、高中的教育周期均为三年，办学规模以2030个班为宜，老师实行聘任制).学段班级学生数配备教师数硬件建设教师年薪初中45226万元/班2万元/人高中40354万元/班2万元/人【思路点拨】本题中条件较多，应分门列类列出约束条件后，再运用图解法进行求解。分别用数学关系式和图形表示上述限制条件【解析】设开设初中班x个，高中班y个根据题意，总共招生班数应限制在2030之间，所以有20xy30.考虑到所投资金的限制，得到26x54y22x23y1 200，即x2y40.另外，开设的班数不能为负且为整数，即，.把上面四个不等式合在一起，得到：用图形表示这个限制条件，得到如图中的平面区域(阴影部分)【总结升华】用平面区域来表示实际问题相关量的取值范围的基本方法是：先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的量用字母表示，进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来，建立数学模型，在画出表示的区域.1、完成一项装修工程，请木工需付工资没人50元，请瓦工需付工资没人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，用不等式表示请工人人数的范围.【答案】2、 某运输公司有7辆重量为6t的A型卡车与4辆载重量为10t的B型卡车，有9名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t沥青的任务，已知每辆卡车往返的次数为A型卡车8次，B型卡车6次，列出满足搬运条件的数学关系式，并画出相应的平面区域. 【解析】设每天出动A型车辆，B型车辆，则yxo 即1在下列各点中，不在不等式2x+3y5表示的平面区域内的点为（ ） A（0，1） B（1，0） C（0，2） D（2，0）2若点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是 ( ) A. a24 B. a=7或a=24 C. -7a24 D. -24a73.不等式x2y0表示的平面区域是()4在直角坐标系内下图中的阴影部分表示的不等式(组)是()A. B.Cx2y20 Dx2y205不等式组 表示的平面区域的面积等于( )A28 B16 C D1211【答案】C【解析】 将选项中点的坐标代入不等式2x+3y5，能使不等式成立的只有C2【答案】C：【解析】 因为点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧，令，则有，解得-7a24 3【答案】D【解析】取测试点(1,0)，排除A、C；由边界线x2y0可排除B.故选D.4【解析】在阴影部分内取测试点(1,0)，xy10，xy10，排除A、B、C；故选D.5【答案】B1. 如果点(5，b)在两条平行直线6x8y10和3x4y50之间，则b应取的整数值为_2. .在平面直角坐标系中，不等式组,表示的平面区域的面积是 .1. 【答案】4 【解析】由题意知(658b1)(354b5)0，第8题图xxo解得，b为整数，b4.2.【答案】4【解析】不等式组表示的平面区域是三角形，如图所示，则三角形的面积是.3已知则的最小值是 .3【答案】5【解析】画出所表示的平面区域，由解得，A（1，2），而表示阴影部分的点到原点的距离的平方，可求A到原点的距离为.的最小值为5.4画出二元一次不等式2y5x100表示的平面区域；4【解析】设F(x，y)2y5x10，作出直线2y5x100，F(0,0)205010100，所求区域为不含(0,0)的一侧，如图所示5.画出以下不等式组表示的平面区域：5【解析】如图所示不等式表示直线xy10的右上方(包括直线)的平面区域；不等式表示直线xy0右下方(包括直线)的平面区域；不等式表示直线x2左方(包括直线)的平面区域所以，原不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部分)6ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4)，B(2,0)，C(2,0)，求ABC内任意一点(x，y)所满足的条件.6 【答案】【解析】分别求三边的直线方程，易得y0,2xy40,2xy40.在三角形内找一点(0,1)以确定各不等式的不等号的方向因不包括边界，所求三个不等式为：y0,2xy40,2xy40.7已知D是以点A（4，1），B（1，6），C（3，2）为顶点的三角形区域（包括边界与内部）。如图所示。（1）写出表示区域D的不等式组；（2）设点B（1，6），C（3，2）在直线4x3ya=0的异侧，求a的取值范围。7【解析】 （1）直线AB、AC、BC的方程分别为7x5y23=0，x+7y11=0，4x+y+10=0原点（0，0）在区域D内，表示区域D的不等式组：（2）将B、C的坐标代入4x3ya，根据题意有(14a)(18a)0，得a的取值范围是18a14.第四部分线性规划与实际应用1若变量， 满足约束条件，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】作出可行域如图所示：作直线 ，再作一组平行于的直线 ，当直线经过点时， 取得最大值，由得： ，所以点的坐标为，所以，故选C考点：线性规划2设变量， 满足的约束条件，则目标函数的最大值为（ ）A. 12 B. 10 C. 8 D. 2【答案】B【解析】由上图可得 在处取得最大值，即 .3若平面区域x+y30，2xy30，x2y+30夹在两条斜率为23的平行直线之间，则这两平行直线间的距离的最小值为A. 2 B. 21313C. 51313 D. 513【答案】C【解析】作出平面区域如图所示：,当直线y=23x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等。联立方程组x+y-3=02x-y-3=0,解得A(2,1)，联立方程组x+y-3=0x-2y+3=0;,解得B(1,2).两条平行线分别为y=23x-13，y=23x+43，即2x3y-1=0，2x3y+4=0.平行线间的距离为d=|-1-4|22+32=51313，故选C.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.4若x,y满足约束条件3x-40y-103x+y-60，则z=2x+y的最大值为（ ）A. 113 B. 133 C. 143 D. 5【答案】C【解析】作出如图所示可行域，令y=2x+z，由z=0得直线y=2x，由图象知当平移至过A(43,2)点时，目标函数取最大值143故本题答案选C5若为坐标原点，已知实数满足条件，在可行域内任取一点，则的最小值为（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】C【解析】表示原点到可行域的距离，画出可行域如下图所示，由图可知，圆点到直线的距离最小，最小距离.6(本小题满分12分)已知x,y满足条件求: (1)4x-3y的最大值(2)x2+y2 的最大值(3)的最小值【答案】（1）最大值为13（2）最大值为37（3）最小值为-9【解析】试题分析：解：x,y满足条件根据不等式组表示的区域可知，当目标函数过点（4，1）时目标函数的截距最大且为13，故可知)4x-3y的最大值为13。而目标函数表示的为区域内点到原点距离里平方的最大值，因此点（4，1）满足题意，得到为17.而对于表示的为区域内点与（5，-8）的连线的斜率的最小值，可知过点（4，1）取得最小因此可知（1）最大值为13-（4分）（2）最大值为37-（8分）（3）最小值为-9-（12分）考点：线性规划的最优解的求解点评：解决该试题的关键是对于目标函数的理解，结合两点的距离公式和两点的斜率公式来求解运用，属于基础题。7 （本小题满分12分）某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙两个项目最大盈利率分为 100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投入的资金额不超过10万元.如果要求确保可能的投入资金的亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能产生的盈利最大？【答案】投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，取得的盈利最大为7万元【解析】试题分析：解：设投资人投入甲、乙两个项目的资金分别为