3-1-2动量和动量定理1.ppt

1 第二章基本要求 1 掌握功 功率 动能和势能 包括引力势能 重力势能和弹力势能 的定义 物理意义以及计算方法 动能 2 2 明确功是能量变化的量度 掌握反映它们量值关系的动能定理和功能原理的物理涵义 并能够运用这两个规律处理有关的力学问题 3 理解机械能守恒定律的内容及意义 了解其应用条件 并能够运用这个定律解决有关的力学问题 动能定理 功能原理 A外 A非保内 E Q E P 3 第三章动量守恒定律 4 第三章动量守恒定律 3 1动量和动量定理 3 2质点系动量定理和质心运动定理 3 3动量守恒定律 3 4碰撞 3 5运载火箭的运动 5 3 1动量和动量定理 质点的动量 质点质量与其速度的乘积 质点的动量是表示质点运动状态的重要物理量 是物质运动的一种量度 动量是矢量 其方向与质点速度的方向相同 动量是状态量 因此它具有瞬时性 即处于一定状态的质点具有确定的动量 单位 kg m s 1 千克 米 秒 6 由牛顿第二定律得 该式表示 在某一瞬时 物体动量的时间变化率在取值上等于物体所受的合外力 牛顿第二定律的第二种表达形式 微分 该式具有一般性和普遍性 7 非经典力学 m0是物体的静止质量 v是运动速率 c是真空中的光速 经典力学 8 二 力的冲量和动量定理 积分得 力在时间至内的积累效应 称为力的冲量 令 冲量 9 在运动过程中 作用于质点的合力在一段时间内的冲量等于质点动量的增量 动量定理 为恒力时 为变力 且作用时间很短时 可用平均值来代替 10 学习冲量所要注意的问题 1 力的冲量是过程量 是与某一过程或某一时间间隔相对应的 冲量是由作用力和力的作用时间两个因素共同决定的 如果要使质点的运动状态发生一定的变化 若作用力小 则作用时间必定长 若作用力大 则作用时间必定短 为什么人从高处跳下 落地时要曲膝 11 2 注意冲量与功的区别 a 冲量是矢量 功是标量 b 冲量是时间过程量 描述力的时间积累效应 而功是空间过程量 描述力的空间积累效应 c 力作用于质点可能作功 也可能不作功 而力作用于质点必定产生时间积累效应 即必定产生冲量 3 冲量是矢量 冲量的方向与力的性质有关 当力的方向不变时 冲量的方向与力的方向一致 当力的方向变化时 冲量的方向不能由某个瞬间的力的方向决定 而应根据动量定理来确定 12 4 如果一个质点受到若干个力共同作用 并且作用时间都在t1至t2之内 则 学习动量定理时所要注意的问题 1 力的冲量的方向与动量增量的方向一致 这正是确定变力冲量方向的基本方法 13 2 注意区别质点的动量和动能是两物理概念 a 从方向性看 动量是矢量 动能是标量 b 从数值的比较看 动能较大的质点 其动量不一定较大 c 动量的改变是外力对时间的积累效果 并以力的冲量来量度 而动能的改变是外力对空间的积累效果 并以力的功来量度 d 力作用于物体可以不引起该物体的动能的变化 但不可能不引起该物体的动量的变化 14 3 动量是矢量式 应用时应写成分量式 该式表示 冲量在某个方向的分量等于该方向上质点动量分量的增量 冲量在任一方向的分量只能改变自己方向的动量分量 而不能改变与它相垂直的其它方向的动量分量 15 动量定理解释 逆风行舟 取一小块风dm为研究对象 风对帆的冲量大小 方向与相反 16 一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块 已知两木块的质量分别为m1 m2 子弹穿过两木块的时间各为 t1 t2 设子弹在木块中所受的阻力为恒力F 子弹穿过第一木块时 两木块速度相同 均为v1 子弹穿过第二木块后 第二木块速度变为v2 解 求子弹穿过后 两木块各以多大速度运动 解得 17 例1 质量为M 5 0 102kg的重锤从高为h 2 0m处自由下落打在工件上 经 t 1 0 10 2s时间速度变为零 若忽略重锤自身的重量 求重锤对工件的平均冲力 解 取重锤为研究对象 y轴竖直向上 重锤与工件接触时 动量大小为 根据动量定理得 18 即 解得 根据牛顿第三定律 重锤对工件的平均冲力大小 方向竖直向下 19 例题2在如图所示的装置中 一不可伸长的轻绳跨过定滑轮 两端系有质量分别为m和M m 的物体 开始时M静止在地面上 绳子松弛 当物体m自由下落h的距离后 绳子才被拉紧 滑轮的质量和摩擦力都可忽略不计 求绳子刚被拉紧时物体的运动速率以及物体M所能达到的最大高度 解建立如图所示的坐标系 当物体m自由下落h的距离时 它就具有了速度 20 张力作用的时间为 t 则 物体m具有了动量 mu 由于绳子的张力T所产生的冲量 使它的动量变为 mv 与此同时 由于绳子的张力T 所产生的冲量 使物体M的动量从0变为Mv 由于绳子是轻绳 质量可以忽略 所以滑轮两侧绳子的张力相等 即 由以上两式可以解得 21 物体M所能达到的最大高度zm 可以使用能量关系求解 取地面为重力势能零点 则在初状态系统的总能量为 末状态的总能量为 由于机械能守恒 故有 解得 22 例题3柔软且质量均匀分布的绳子长度为L 质量为M 开始时手拿其上端竖直悬提着 并使其下端刚刚与桌面相接触 如图所示 现将绳子由静止释放 试求当绳子下落到所剩长度为l时 绳子作用于桌面上的力 解 建立如图坐标系 绳子在下落过程中对桌面的作用力表示为 23 当下落到所剩长度为l时 在dt时间内有绳子元段dl以下落速度v与桌面相碰撞 其质量为 dl 根据自由落体的性质 绳子下落的速度v应为 该元段在对桌面撞击时共受两个力的作用 一个是桌面对它的撞击力f 竖直向上 这个力就是f的反作用力 另一个是绳段所受的重力g dl 竖直向下 略去二级小量g dldt 上式可化为 24 绳子对桌面的撞击力为 在绳子下落过程中 绳子对桌面的作用力等于已经落在桌面上的绳子重力的3倍 当绳子的上端落到桌面时 绳子对桌面的作用力等于绳子总重力的3倍 25 例4矿砂以从传送带B落到传送带A上后 随A以运动 已知 方向如图 传送带的传送量 求矿砂作用在传送带上的平均力 不计重力 1 解析法 研究对象 内落在A上的矿砂 的动量为 的动量为 2 作图法 小结 一 动量 动量是描述物体机械运动状态的物理量 将上式代入牛顿第二定律得 二 力的冲量和动量定理 力在时间至内的积累效应 称为力的冲量 在运动过程中 作用于质点的合力在一段时间内的冲量等于质点动量的增量 动量定理 28 3 2质点系动量定理和质心运动定理 一 质点系动量定理 一个由n个质点组成的质点系 对于每个质点有 将n个方程两边分别相加得 29 由于内力成对出现 根据牛顿第三定律得 所以 两边积分得 微分形式 积分形式 在一段时间内 作用于质点系的外力的矢量和的冲量等于质点系动量的增量 这个结论称为质点系动量定理 该式表明 内力不能改变系统的动量 30 学习质点系动量定理时 所要注意地几点问题 1 内力的确定 内力和外力是相对于系统的划分而言的 2 质点系动量定理只适用于惯性系 3 在处理具体问题时 常使用其分量形式 外力矢量和在某一方向的冲量等于在该方向上质点系动量分量的增量 31 二 质心 1 两质点系的质心 质心 质点系的质量中心 2 n个质点构成的质点系的质心 32 质点系质心的直角坐标分量式为 3 连续分布体的质心 dm O 33 注意 1 质心的坐标值与坐标系的选取有关 2 质量分布均匀 形状对称的实物 质心位于其几何中心处 3 不太大的实物 质心与重心相重合 4 质点到质心的距离之比与其质量成反比 5 质心可以不在物体之内 34 质心是质点系的一个特殊点 这个点的特殊性可以从以下几点理解 1 质点系的质量与质心速度的乘积 可称为质心的动量 等于质点系的总动量 2 作用于质点系的外力矢量和的冲量等于其质心动量的增量 这是质点系动量定理的另一种形式 35 解 选择如图所示的坐标系 圆弧关于x轴对称 设圆弧的线密度为 取质量元dm Rd 坐标为x Rcos 例1 求半径为R 顶角为2 的均匀圆弧的质心 则圆弧质心坐标为 36 例题2求一个半径为R的半圆形均匀薄板的质心 解将坐标原点取在半圆形薄板的圆心上 并建立如图的坐标系 在这种情况下 质心C必定处于y轴上 即 质量元是取在y处的长条 如图所示 长条的宽度为dy 长度为2x 根据圆方程 37 如果薄板的质量密度为 则有 令 则 对上式作变量变换 并积分 得 38 39 例题3有一厚度和密度都均匀的扇形薄板 其半径为R 顶角为2 求质心的位置 解以扇形的圆心为坐标原点 以顶角的平分线为y轴 质量元可表示为 整个扇形薄板的质量为 40 若 则扇面就变成了半圆 41 求解质心的常用方法 1 对称法 点对称 轴对称和面对称 2 分割法 3 负质量法 思考题 质心与重心的区别 质心是物体质量分布所决定的特殊点 重心是地球对物体各部分引力的合力的作用点 在地球上 如物体不太大 重心和质心重合 42 三 质心运动定理 由质点系动量定理的微分形式得 等号右边 根据质心位置矢量的定义化为 式中 为质心加速度 43 质点系质心的运动与这样一个质点的运动具有相同的规律 该质点的质量等于质点系的总质量 作用于该质点的力等于作用于质点系的外力的矢量和 这个结论称为质心运动定律 推论 对于各物体 无论各质点的运动如何不同 但其质心的运动如单个质点的运动 例如 车轮的旋转 质点运动的一切规律对物体质心的运动均成立 44 注意 积分形式 微分形式 难道质点系动量定理与质心运动定理是一回事吗 正是这样 它们是同一个规律的两种表现 在分析具体问题时 若使用了质点系动量定理就是使用了质心运动定理 45 例题1柔软且质量均匀分布的绳子长度为L 质量为M 开始时手拿其上端竖直悬提着 并使其下端刚刚与桌面相接触 如图所示 现将绳子由静止释放 试求当绳子下落到所剩长度为l时 绳子作用于桌面上的力 解 任意时刻质心的位置为 46 质心的加速度为 47 为了对绳子的整体运用质心运动定理 还需考虑绳子的受力 代入上式 得 绳子对桌面的作用力为 48 例2如图所示 人与船构成质点系 当人从船头走到船尾 解 在水平方向上 外力为零 则 开始时 系统质心位置 终了时 系统质心位置 x O 求人和船各移动的距离 解得 49 小结 一 质点系动量定理 二 质心 1 两质点系的质心 2 n个质点构成的质点系的质心 50 3 连续分布体的质心 三 质心运动定理 51 微分形式 3 3动量守恒定律 质点系动量定理 一 动量守恒定律 如果质点系不受外力作用 或所受合外力为零 即 恒矢量 52 恒矢量 该式表明 在外力的矢量和为零的情况下 质点系的总动量不随时间变化 这个结论称为动量守恒定律 学习该定律时 应该说明的几点 1 不是动量守恒定律的数学表达式 2 所受外力的矢量和为零是保证质点系总动量自始至终恒定不变的唯一因素 思考题 有人说 物体在某时间内所受力的冲量为零 则该系统动量守恒 对否 53 力是瞬时量 外力的矢量和等于零 意味着任意瞬间质点系的动量都不变 而因为冲量是过程量 外力矢量和的冲量等于零 就是在整个过程中外力冲量的矢量之和等于零 这就只能保证在冲量作用的整个过程中质点系的动量增量等于零 在整个过程中动量的增量等于零 则不能保证过程中每一瞬间动量都不变 3 在应用时 应写成标量式 54 1 系统动量守恒 但每个质点的动量可能变化 2 在碰撞 打击 爆炸等相互作用时间极短的过程中 往往可忽略外力 3 动量守恒可在某一方向上成立 4 定律中的速度应是对同一惯性系的速度 动量和应是同一时刻的动量之和 5 动量守恒定律在微观高速范围仍适用 6 动量守恒定律只适用于惯性系 二 动量守恒定律的应用 55 大炮在发射时炮身会发生反冲现象 设炮身的仰角为 炮弹和炮身的质量分别为m和M 炮弹在离开炮口时的速率为v 若忽略炮身反冲时与地面的摩擦力 求炮身的反冲速率 例1 如图所示 所以炮身的反冲速率为 56 例2大炮质量M 炮弹质量m 炮筒长l 仰角 炮弹出口速度 0 相对于炮车 水平轨道光滑求 1 炮车反冲速度V 2 炮弹出口时 炮车移动的距离D 解 57 58 59 例3 一原先静止的装置炸裂为质量相等的三块 已知其中两块在水平面内各以80m s 1和60m s 1的速率沿互相垂直的两个方向飞开 求第三块的飞行速度 解 设碎块的质量都为m 建立如图所示的坐标系 根据动量守恒定律得 解方程组得 所以 例4如图 已知 地面光滑 起初 单摆水平 静止 求 下摆至 时 车的位移 以此例即将说明动量守恒和质心速度不变是同义语 动量守恒的问题也可以利用质心速度不变来解 解 法一用动量守恒定律选M m为系统 画系统受力图 是m相对于小车的速度 负号说明 车向X的负向运动 相对车的位移 采用动量定理的优点之一在于不需要计算 如采用牛顿定律 m相对车是处于非惯性系 是车相对于地面的加速度 惯性力 法二利用质心运动定理 根据质心运动定理 有结论 系统初始时静止 任意时刻 由质心速度定义 可知质心位置是一定值 即质心位置不变 任意时刻质心坐标 如图所示 两部运水的卡车A B在水平面上沿同一方向运动 B的速度为u 从B上以6kg s的速率将水抽至A上 水从管子尾部出口垂直落下 车与地面间的摩擦不计 时刻t时 A车的质量为M 速度为v 选A车M和 t时间内抽至A车的水 m为研究系统 水平方向上动量守恒 解 例5 求时刻t A的瞬时加速度 在恒星系中 两个质量分别为m1和m2的星球 原来为静止 且相距为无穷远 后在引力的作用下 互相接近 到相距为r时 它们之间的相对速率为多少 解 由动量守恒 机械能守恒 例6 解得 相对速率 65 当两个或两个以上的物体互相接近时 在极短的时间内 它们之间的相互作用达到相当大的数值 致使它们的运动状况突然发生显著变化 这种现象称为碰撞 3 4碰撞 一 碰撞现象 1 定义 2 特点 1 碰撞时间极短 2 碰撞力很大 外力可以忽略不计 系统动量守恒 3 速度要发生有限的改变 位移在碰撞前后可以忽略不计 66 3 物理模型 a 压缩阶段 b 恢复阶段 开始碰撞时 两球相互挤压 发生形变 由形变产生的弹性恢复力使两球的速度发生变化 直到两球的速度变的相等为止 这时形变达到最大 压缩阶段后 由于形变仍然存在 弹性恢复力继续作用 使两球速度改变而有相互脱离接触的趋势 两球压缩逐渐减小 直到两球脱离接触时为止 67 3 碰撞现象的分类 按照碰撞的作用形式 接触型 非接触型 按照碰撞后的恢复情况 形变后能完全复原并弹开 形变后完全无恢复阶段 不能弹开 按照碰撞后物体速度方向 正碰和斜碰 碰撞过程无机械能损失 68 二 完全弹性碰撞 根据动量守恒定律得 根据能量守恒定律得 69 由 解得 若碰撞为正碰 则有 式除以 得 讨论 1 两球质量相同 即 两质量相同的物体作完全弹性对心碰撞时 碰后彼此交换速度 70 2 若m2静止 即 a 在此种情况下 碰撞后m1以原速返回 71 b 碰后 两物体相互交换速度 c 此时 m1的速度几乎不变 m2以m1的两倍速度远离 72 三 完全非弹性碰撞 73 74 75 续练习二 76 例 如图所示的装置称为冲击摆 可用它来测定子弹的速度 质量为M的木块被悬挂在长度为l的细绳下端 一质量为m的子弹沿水平方向以速度v射中木块 并停留在其中 木块受到冲击而向斜上方摆动 当到达最高位置时 木块的水平位移为s 试确定子弹的速度 77 解 根据动量守恒定律得 根据机械能守恒定律得 由图知 解以上三方程的联立方程组得 78 79 恢复系数的测量 若m2 m1 且u2 0 则 80 81 第二章标题 运载火箭的运动 设质点在t时刻的质量为m 速度为v 由于外力F的作用和质量的并入 到t dt时刻 质点质量变为m dm 速度变为v dv 在dt时间内 质量的增量为dm 如dm与m合并前的速度为u 根据动量定理有 略去二阶无穷小量得 密歇尔斯基方程 dm与m合并前相对于m的速度 1 变质量问题 粘附 主体的质量增加 如滚雪球 抛射 主体的质量减少 如火箭发射 还有另一类变质量问题是在高速 v c 情况下 这时即使没有粘附和抛射 质量也可以改变 随速度变化m m v 这是相对论情形 不在本节讨论之列 变质量问题 低速 v c 有两类 下面以火箭飞行原理为例 讨论变质量问题 2 火箭飞行原理 rocket 特征 火箭体在飞行过程中 由于不断地向外喷气 所以火箭体的质量不断地变化 飞行速度 取微小过程 即微小的时间间隔dt 系统 火箭箭体和dt间隔内喷出的气体 火箭体质量为M 速度 喷出的气体 喷气速度 相对火箭体 根据动量定理列出原理式 假设在自由空间发射 注意到 dm dM 按图示 可写出分量式 稍加整理为 提高火箭速度的途径有二 第一条是提高火箭喷气速度u第二条是加大火箭质量比M0 M 对应的措施是 选优质燃料采取多级火箭 火箭的质量比N 化学燃烧过程所达到的喷射速度理论值5km s 1 而实际能达到的只是此