2017_18学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.1和角公式学案.docx

31.1两角和与差的余弦预习课本P133134，思考并完成以下问题 (1)如何用的三角函数与的三角函数表示cos()，cos()?(2)两角和与差的余弦公式是如何推导的？ 两角和与差的余弦公式名称公式简记符号两角和的余弦公式cos()cos_cos_sin_sin_C两角差的余弦公式cos()cos_cos_sin_sin_C点睛公式的左边是和(差)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的差(和)式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)cos(6030)cos 60cos 30.()(2)对于任意实数，cos()cos cos 都不成立()(3)对任意，R，cos()cos cos sin sin 都成立()答案：(1)(2)(3)2cos 78cos 18sin 78sin 18的值为()A.B.C. D.答案：A3设，若sin ，则cos等于()A. B.C D答案：B4cos 15_.答案：给角求值问题典例求下列各式的值(1)cos 75cos 15sin 75sin 195；(2)sin 163sin 223sin 253sin 313；(3)cos 15sin 15.解(1)cos 75cos 15sin 75sin 195cos 75cos 15sin 75sin(18015)cos 75cos 15sin 75sin 15cos(7515)cos 60.(2)原式sin(18017)sin(18043)sin(18073)sin(36047)sin 17sin 43sin 73sin 47sin 17sin 43cos 17cos 43cos 60.(3)cos 60，sin 60，cos 15sin 15cos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45.利用公式C()，C()求值的方法技巧在利用两角和与差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，正用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值 活学活用 计算下列各式的值：(1)cos 55cos 20sin 55sin 20；(2)coscos sinsin .解：(1)cos 55cos 20sin 55sin 20cos 75cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.(2)coscos sinsin coscos.给值求值问题典例(1)已知，是第三象限角，sin ，cos .求cos()的值(2)已知cos ，cos()，且，均为锐角，求cos 的值解(1)，sin ，cos .是第三象限角，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin .(2)，均为锐角，00.由cos ，cos()，得sin ，sin().cos cos()cos()cos sin()sin .给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换常见角的变换有：()；2()()；2()()活学活用1已知cos ，则cos的值为_解析：cos ，sin ，coscoscos sinsin .答案：2已知sin，且，求cos 的值解：，0，cos ，cos coscoscossinsin .给值求角问题典例(1)已知，均为锐角，且sin ，sin ，则_.(2)已知cos ，cos()，则_.解析(1)，均为锐角，cos ，cos .cos()cos cos sin sin .又sin sin ，0，0.故.(2)，(0，)cos ，cos()，sin ，sin()，cos cos()cos()cos sin()sin .0，.答案(1)(2)一题多变1变条件若本例中(1)中“sin ”变为“cos ”，“sin ”变为“cos ”，则_.解析：，均为锐角，sin ，sin ，cos()cos cos sin sin .又sin sin ，0，0，故.答案：2变条件若本例(2)变为：已知cos ，cos()，且0，求的值解：由cos ，0，得sin .由0，得0.又因为cos()，所以sin() .由()得cos cos()cos cos()sin sin()，所以.已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围(2)求所求角的某种三角函数值为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数(3)结合三角函数值及角的范围求角 层级一学业水平达标1cos 20()Acos 30cos 10sin 30sin 10Bcos 30cos 10sin 30sin 10Csin 30cos 10sin 10cos 30Dcos 30cos 10sin 30cos 10解析：选Bcos 20cos(3010)cos 30cos 10sin 30sin 10.2.sin 15cos 15的值是()A.BC. D解析：选B原式sin 30sin 15cos 30cos 15(cos 30cos 15sin 30sin 15)cos(3015)cos 45.3已知为锐角，为第三象限角，且cos ，sin ，则cos()的值为()A BC. D.解析：选A为锐角，且cos ，sin .为第三象限角，且sin ，cos ，cos()cos cos sin sin .故选A.4已知向量a(cos 75，sin 75)，b(cos 15，sin 15)，那么|ab|等于()A. B.C. D1解析：选D|ab|1.5已知sin ，则cos等于()A. B.C D解析：选B由题意可知cos ，coscoscoscos cossin sin .6化简：cos(55)cos(5)sin(55)sin(5)_.解析：原式cos(55)(5)cos(60).答案：7若cos()，cos()，则tan tan _.解析：cos()cos cos sin sin ，cos()cos cos sin sin ，由得cos cos ，sin sin ，tan tan .答案：8已知sin ，则cos的值为_解析：sin ，cos ，coscos cos sin sin .答案：9已知，为锐角，且cos ，cos()，求cos 的值解：因为0，0，所以0.由cos()，得sin().又因为cos ，所以sin .所以cos cos()cos()cos sin()sin .10若x，且sin x，求2cos2cos x的值解：x，sin x，cos x.2cos2cos x22cos x22cos xsin xcos x.层级二应试能力达标1已知cos ，则cos xcos()ABC1 D1解析：选Ccos xcoscos xcos xsin xcos xsin xcos1.故选C.2已知为钝角，且sin，则cos的值为()A. B.C D.解析：选C为钝角，且sin，cos，coscoscoscossinsin.3已知锐角，满足cos ，cos()，则cos(2)的值为()A. BC. D解析：选A，为锐角，cos ，cos()，sin ，sin()，cos(2)cos cos()cos()cos sin()sin .4设，为钝角，且sin ，cos ，则的值为()A. B.C. D.或解析：选C因为，为钝角，sin ，所以cos .由cos ，得sin ，所以cos()cos cos sin sin .又因为2，所以.5已知cos ，cos()，2，0，0.所以sin ，cos() ，cos(2)cos()cos cos()sin sin().(2)cos cos()cos cos()sin sin()，又因为，所以.31.2两角和与差的正弦预习课本P136138，思考并完成以下问题 (1)如何利用两角和与差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式？(2)两角和与差的正弦公式是什么？ 两角和与差的正弦公式名称公式简记符号两角和的正弦sin()sin_cos_cos_sin_S两角差的正弦sin()sin_cos_cos_sin_S点睛两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在，R，使得sin()sin sin 成立()(3)对于任意，R，sin()sin sin 都不成立()答案：(1)(2)(3)2sin 75cos 15cos 75sin 15的值等于()A.BC0 D1答案：D3已知sin ，是第四象限角，则sin_.答案：给角求值问题典例求值：(1)sin(15)；(2)(tan 10).解(1)sin(15)sin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45.(2)法一：原式(tan 10tan 60)2.法二：原式2.解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式活学活用求值：(1)sin 105；(2).解：(1)sin 105sin(6045)sin 60cos 45cos 60 sin 45.(2)sin 30.给值求值问题典例(1)已知sin ，cos ，且为第一象限角，为第二象限角，求sin()和sin()的值；(2)求值：sin cos ；(3)已知，cos()，sin()，求sin 2的值解(1)直接法因为为第一象限角，为第二象限角，sin ，cos ，所以cos ，sin ，sin()sin cos cos sin ，sin()sin cos cos sin .(2)常值代换法原式222sin2sin .(3)角的代换法，0.又cos()，sin()，sin()，cos()，sin 2sin()()sin()cos()cos()sin().给值求值的方法(1)直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式(2)常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中特别要注意的是“1”的代换，如1sin2cos2，1tan 45，1sin 90等.1，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用(3)角的代换：将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换常见的有：()，()，()()()()，(2)，2()()，2()()等活学活用 在ABC中，A，cos B，则sin C()AB.C D.解析：选DA，cos Asin A，又cos B，0B，sin B，sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.辅助角公式的应用典例求ysin xcos x的最小正周期、最值及单调递增区间解y222sin.此函数的最小正周期为2，ymax2，ymin2.令2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.ysin xcos x的单调递增区间为(kZ)辅助角公式及其运用(1)公式asin bcos sin()(或asin bcos cos()将形如asin bcos (a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式(2)化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角的系数为正，这样更有利于研究函数的性质活学活用求函数f(x)sin2sin的最大值和最小值解：f(x)sin xcoscos xsin2sin xcos2cos xsinsin xcos xsin，f(x)的最大值为，此时x2k(kZ)；f(x)的最小值为，此时x2k(kZ)层级一学业水平达标1(全国卷)sin 20cos 10cos 160 sin 10()AB.C D.解析：选D原式sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010).2.的值为()A1 B2C3 D4解析：选A原式2sin 301.3若cos ，是第三象限的角，则sin()A B.C D.解析：选A因为cos ，是第三象限的角，所以sin ，由两角和的正弦公式可得sinsin coscos sin.4已知sin，则cos sin 的值为()A B.C2 D1解析：选Bcos sin 22sin2.5函数ysinsin的最小值为()A. B2C D.解析：选C因为ysinsinsin 2xcos cos 2xsin sin 2xcoscos 2xsin sin 2x，所以所求函数的最小值为.6化简sin 50cos 38cos 50cos 128的结果为_解析：sin 50cos 38cos 50cos 128sin 50cos 38cos 50(sin 38)sin 50cos 38cos 50sin 38sin(5038)sin 12.答案：sin 127已知，sin ，则sin_.解析：，sin ，cos ，sinsin cos cos sin .答案：8已知cossin，则tan _.解析：coscos cossin sin cos sin ，sinsin cos cos sinsin cos ，sin cos ，故tan 1.答案：19已知cos (为第一象限角)，求cos，sin的值解：cos ，且为第一象限角，sin .coscos cos sin sin .同理可求sin.10化简下列各式：(1)sin2sincos；(2)2cos()解：(1)原式sin xcos cos xsin 2sin xcos 2cos xsin cos cos xsin sin xsin xcos xsin xcos xcos xsin xsin xcos x0.(2)原式.层级二应试能力达标1sin(75)cos(45)cos(15)()A1B1C1 D0解析：选D原式sin60(15)cos(45)cos(15)cos(15)sin(15)cos(45)sin(45)cos(45)0，故选D.2在ABC中，如果sin A2sin Ccos B，那么这个三角形是()A锐角三角形B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形解析：选CABC，A(BC)由已知可得 sin(BC)2sin Ccos Bsin Bcos Ccos Bsin C2sin CcosBsin Bcos Ccos Bsin C0sin(BC)0.0B，0C，BC0，所以cos A.又，所以C，所以C不符合题意，所以C.5已知sin()cos cos()sin ，是第三象限角，则sin_.解析：sin()cos cos()sin sin()cos cos()sin sin()sin ，即sin ，又是第三象限角，cos ，sinsin coscos sin.答案：6设为锐角，若cos，则sin_.解析：因为为锐角，所以.又 cos，所以sin.所以sinsinsincos cossin.答案：7已知，均为锐角，且sin ，cos ，求的值解：，均为锐角，且sin ，cos ，cos ，sin .sin()sin cos cos sin .又，均为锐角，0，(0，)，sin 0.sin ，tan .tan tan()，tan(2)tan()2.给值求值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用()，2()()等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值活学活用1设tan ，tan 是方程x23x20的两根，则tan()的值为()A3B1C1 D3解析：选Atan ，tan 是方程x23x20的两根，tan tan 3，tan tan 2，tan()3.2已知3，tan()2，则tan(2)_.解析：由条件知3，则tan 2.因为 tan()2，所以 tan()2，故 tan(2)tan().答案：给值求角问题典例已知tan 2，tan ，其中0，.(1)求tan()；(2)求的值解(1)因为tan 2，tan ，所以tan()7.(2)因为tan()1，又因为0，所以0，2(0，)，tan(2)1，2.解决给值求角问题的步骤(1)根据题设条件求角的某一三角函数值；(2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小 层级一学业水平达标1化简：的值为()A.B.Ctan 6 D.解析：选Atan(2733)tan 60，原式.2tan 15tan 105等于()A2 B2C4 D.解析：选Atan 15tan 105tan(6045)tan(4560)2，故选A.3已知tan()，tan，则tan等于()A. B.C. D.解析：选Ctan()，tan，tantan.4在ABC中，若tan Atan B1，则ABC的形状是()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D不能确定解析：选A由tan Atan B1，知tan A0，tan B0，从而A，B均为锐角又tan(AB)0，C为锐角，故ABC为锐角三角形5若20，25，则(1tan )(1tan )的值为()A1 B2C1 D1解析：选Btan 45tan(2025)1，tan 20tan 251tan 20tan 25，(1tan )(1tan )1tan 20tan 25tan 20tan 2511tan 20tan 25tan 20tan 252.6(江苏高考)已知tan 2，tan()，则tan 的值为_解析：将化为()，利用两角差的正切公式求解tan tan()3.答案：37._.解析：原式tan(4515)tan 30.答案：8已知tan tan 2，tan()4，则tan tan _.解析：tan()，1tan tan ，tan tan 1.答案：9已知tan，tan2，求：(1)tan；(2)tan()解：(1)tantan.(2)tan()tan23.10已知tan ，tan 是方程x23x40的两根，且，求角的大小解：由已知得tan ，tan 均为负，0，0.0，又tan().层级二应试能力达标1已知tan ，tan()，那么tan(2)的值为