3-3最值与凹凸性.ppt

应用数理学院应用数学学科部 AdvancedMathematics 高等数学 1 最值的求法 三 函数的最大值最小值问题及其应用 1 其中最大 小 者 求连续函数f x 在闭区间 a b 上的最大 小 值的方法 将闭区间 a b 内所有驻点和导数不存在的 区间端点的 就是f x 最值必在端 2 点处达到 点 即为极值嫌疑点 处的函数值和 函数值f a f b 比较 在闭区间 a b 上的最大 小 值 当f x 在闭区间 a b 上单调时 例 解 因 驻点 导数不存在的点 仅需计算 比较得 因 是偶函数 最大值为 最小值为 驻点 导数不存在的点 3 4 若连续函数f x 在区间I内只有一个极值点 为极大 小 值 区间I上的最大 小 值 对实际问题常常可事先断定最大 小 值必在 区间内部取得 如果连续函数在区间内又仅有 一个极值嫌疑点 那末这点处的函数值就是最 大 小 值 实际问题求最值应注意 1 建立目标函数 2 求最值 若目标函数只有唯一驻点 则该点的函数 值即为所求的最大 小 值 例 解 目标函数 得 应用举例 1 2 求最大值点 半径为R 求内接于球的圆柱体的最大体积 设球的 设圆柱体的高为2h 底半径为r 体积为V 圆柱体的最大体积一定存在 故唯一驻点 就是最大值点 最大体积为 令 得 舍去负值 唯一驻点 concaveandconvex 四 曲线凹凸性的判别法 1 定义 如何研究曲线的弯曲方向 定义1 恒有 凸 凹 图形上任意弧段位于所张弦的下方 图形上任意弧段位于所张弦的上方 下凸 上凸 曲线弧上每一点的切线 定义2 上 方 称为凸弧 凹 凸弧的曲线段 的切线斜率是单增的 是单增的 凹弧的切线斜率是单减的 是单减的 而 利用二阶导数判断曲线的凹凸性 从几何直观上 随着x的增大 都在曲线的下 定理2 二阶导数 凸 凹 2 凹凸性的判别法 下凸 上凸 例 解 凹 变 凸 的分界点 即 例 证 设 图形是凸的 利用函数图形的凹凸性证明不等式 1 定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的 拐点 几何上 曲线的拐点及其求法 inflectionpoint 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 拐点的第一充分条件 2 拐点的求法 拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处 拐点的必要条件 具有二阶导数 则点 1 2 是拐点的必要条件为 或x0为二阶导数不存在的点 例 解 拐点 拐点 不存在 定义域为 1 2 3 列表 例 解 拐点的第二充分条件 小结 改变弯曲方向的点 凹凸性 拐点 研究曲线的弯曲方向 凹凸性的应用 利用凹凸性证明不等式 利用函数特性描绘函数图形 确定函数的定义域 值域 间断点 函数是否有奇偶性 周期性 判定 和拐点 讨论函数的单调性和极值 曲线的凹凸性 渐近线 适当计算曲线上一些点的坐标 是否与坐标轴有交点 特别注意 五 函数图形的描绘 定义 1 垂直渐近线 渐近线 垂直渐近线 或 一条渐近线 如 垂直渐近线 垂直于x轴的渐近线 2 水平渐近线 如 水平渐近线 水平渐近线 或 b为常数 平行于x轴的渐近线 例 解 非奇非偶函数 作图举例 不存在 拐点 极小值 间断点 无斜渐近线 列表确定函数单调区间 凹凸区间及极值点和拐点 作图 拐点 极小值 补充点 水平渐近线 垂直渐近线 小结 利用一阶 二阶导数的符号确定函数的升降 最大值 最小值 凹的 凸的 单增 单减 极