直线和抛物线.ppt

直线和抛物线 分析 直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形 一种是直线平行于抛物线的对称轴 另一种是直线与抛物线相切 判断直线与抛物线位置关系的流程 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的对称轴平行 相交 一个交点 计算判别式 分析 直线与抛物线有两个公共点时 0 分析 直线与抛物线没有公共点时 0 注 在方程中 二次项系数含有k 所以要对k进行讨论作图要点 画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形 观察直线绕点P转动的情形 变式一 已知抛物线方程y2 4x 当b为何值时 直线l y x b与抛物线 1 只有一个公共点 2 两个公共点 3 没有公共点 当直线与抛物线有公共点时 b的最大值是多少 分析 本题与例1类型相似 方法一样 通过联立方程组求得 1 b 1 2 b1 当直线与抛物线有公共点时 b的最大值当直线与抛物线相切时取得 其值为1 变式二 已知实数x y满足方程y2 4x 求函数的最值 变式三 点 x y 在抛物线y2 4x上运动 求函数z x y的最值 本题转化为过定点 2 1 的直线与抛物线有公共点时斜率的最值问题 本题转化为直线y x z与抛物线有公共点时z的最值问题 无最大值 知识迁移 例2 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A B两点 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D 求证 直线DB平行于抛物线的对称轴 x O y F A B D 例3设A B是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且OA OB 1 求A B两点的横坐标之积和纵坐标之积 2 求证 直线AB过定点 3 求弦AB中点P的轨迹方程 4 求 AOB面积的最小值 AB过定点 2p 0 设M 2p 0 当x1 x2时 AB仍然过定点 2p 0 中点P的轨迹方程为y2 px 2p2 p 0 4 S AOB S AOM S BOM OM y1 y2 p y1 y2 2p 4p2 当且仅当 y1 y2 2p时 等号成立 故 AOB面积的最小值为4p2 练习 练习 等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2 2px P 0 O为抛物线的顶点 OA OB 则 AOB的面积为A 8p2B 4p2C 2p2D p2 变式 已知直线l x 2p与抛物线 2px p 0 交于A B两点 求证 OA OB 证明 由题意得 A 2p 2p B 2p 2p 所以 1 1因此OA OB 推广1若直线l过定点 2p 0 且与抛物线 2px p 0 交于A B两点 求证 OA OB 证明 设l的方程为y k x 2p 或x 2p 直线l过定点 2p 0 推广2 若直线l与抛物线 2px p 0 交于A B两点 且OA OB 则 验证 由得所以直线l的方程为即而因为OA OB 可知推出 代入得到直线l的方程为所以直线过定点 2p 0 高考链接 过定点Q 2p 0 的直线与y2 2px p 0 交于相异两点A B 以线段AB为直径作圆H H为圆心 试证明抛物线顶点在圆H上 小结