2018-2019学年华南师大附中高一下学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年广东省华南师大附中高一下学期期中数学试题一、单选题1在等差数列中，则（ ）A9B11C13D15【答案】C【解析】先求出公差，再根据通项公式求得.【详解】因为，所以公差，所以，故选：C【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，属于基础题.2在等比数列中，且，则的值为（ ）A16B27C36D81【答案】D【解析】设等比数列的公比为,根据通项公式将已知等式化为首项和公比，联立解出首项和公比，再利用通项公式可求出结果.【详解】设等比数列的公比为,则，联立以上两式解得，所以.故选：D【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，属于基础题.3在中，角，所对应的边分别为，.，则（ ）A1BC3D【答案】C【解析】直接根据正弦定理可得结果.【详解】因为，.，所以由正弦定理可得，可得，所以.故选：C【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，属于基础题.4在中，则（ ）A5B8CD【答案】B【解析】直接根据余弦定理可得结果.【详解】因为，所以由余弦定理得，所以.故选：B【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，属于基础题.5设，则间的大小关系是ABCD【答案】D【解析】， ，故选D.6数列满足，则此数列的第3项是（ ）A13B10C7D4【答案】A【解析】在递推关系式中令和即可求得结果.【详解】因为，所以，所以.故选：A【点睛】本题考查了数列的概念，考查了求数列中的项，属于基础题.7数列中，对所有，都有：，则（ ）ABCD【答案】D【解析】利用两式相除可得，再令即可求出结果.【详解】因为，所以，所以时，所以.故选：D【点睛】本题考查了数列的概念，利用已知等式恒成立推出另一个等式，再两式相除求出是解题关键，属于基础题.8在中，角，所对应的边分别为，则下列条件下有唯一解的是（ ）A，B，C，D，【答案】C【解析】通过对四个选项中的条件逐个分析可得答案.【详解】对于选项，因为为锐角，且，所以三角形有两解；对于选项，因为，故三角形不存在，所以三角形无解；对于选项，因为，所以，所以，故三角形有唯一解；对于选项，因为，所以，故三角形无解.故选：C【点睛】本题考查了求三角形的解的个数，属于基础题.9中，若，则该三角形一定是（ ）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】利用余弦定理角化边后，经过因式分解变形化简可得结论.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以三角形是等腰三角形或直角三角形.故选：D【点睛】本题考查了利用余弦定理角化边，考查了利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题.10在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】利用新定义进行运算，将不等式化为一元二次不等式可解得结果.【详解】由定义可得，所以，解得.故选：B【点睛】本题考查了对新定义的理解和应用的能力，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.11某地为了保持水土资源实行退耕还林，如果2018年退耕万亩，以后每年比上一年增加，那么到2025年一共退耕（ ）ABCD【答案】A【解析】建立等比数列模型后，利用等比数列的前项和的公式即可得到结论.【详解】记2018年为第一年，第年退耕亩，则为等比数列，且，公比,则问题转化为求数列的前8项和，所以数列的前项和为：.所以到2025年一共退耕亩.故选：A【点睛】本题考查了数列的应用，考查了数学建模能力，考查了等比数列的前项和公式，属于基础题.12在中，分别为，的中点，为上的任一点，实数，满足，设、的面积分别为、，记（），则取到最大值时，的值为（ ）A1B1CD【答案】D【解析】根据三角形中位线的性质，可得到的距离等于的边上高的一半，从而得到，由此结合基本不等式求最值，得到当取到最大值时，为的中点，再由平行四边形法则得出，根据平面向量基本定理可求得，从而可求得结果.【详解】如图所示：因为是的中位线，所以到的距离等于的边上高的一半，所以，由此可得，当且仅当时，即为的中点时，等号成立，所以，由平行四边形法则可得，将以上两式相加可得，所以，又已知，根据平面向量基本定理可得，从而.故选：D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题13函数的定义域是_.【答案】【解析】根据偶次根式有意义的条件是被开方大于等于0，列不等式可解得.【详解】由，解得或，所以定义域为.故答案为：【点睛】本题考查了利用偶次根式的被开方大于等于0求函数的定义域，属于基础题.14在中，角，所对应的边分别为，已知，则的面积为_.【答案】【解析】根据余弦定理求出，再根据同角公式求出，然后根据三角形的面积公式即可求出结果.【详解】因为，所以由余弦定理可得，所以，所以的面积为.故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理，考查了同角公式，考查了三角形的面积公式，属于基础题.15已知，且，则的最小值为_.【答案】【解析】根据题意得到 再由均值不等式求解即可.【详解】已知，且, 当且仅当时有最小值9.故答案为9.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.16已知函数满足，（），且对任何，都有：，给出以下三个结论：（1）；（2）；（3），其中正确的个数是_个.【答案】3【解析】由可知为等差数列，可以求出，由可知是等比数列，可以求出，由此可得，从而可求出，和的值，进而可得答案.【详解】由可知是首项为，公差为2的等差数列，所以，由可知是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以，所以，故（1）正确；，故（2）正确；，故（3）正确.所以正确的个数为3.故答案为：3【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的通项公式，属于基础题.三、解答题17求不等式的解集.【答案】【解析】通过移项通分将分式不等式化为标准形式，再去分母转化为一元二次不等式即可解得结果.【详解】因为或故原不等式的解集为.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.18在中，角，所对应的边分别为，且.（1）求的大小；（2）若的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据正弦定理可得，再根据角的范围可得结果；（2）根据面积公式可得，根据余弦定理可得，再根据余弦定理可得的值.【详解】（1）在中，由正弦定理可得：，所以：，又，所以.（2）因为的面积为，由余弦定理，所以.所以.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，属于基础题.19已知数列中，.（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；（2）已知数列满足，求数列的前项和.【答案】（1） 证明见解析；（2）【解析】（1）将两边倒过来，加上1，变形可证：是等比数列，根据等比数列的通项公式可求得结果；（2）根据已知求出后，利用错位相减法可求得结果.【详解】（1）由已知可得：，而所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以所以.（2）由（1）得，两式相减，得：【点睛】本题考查了用定义证明等比数列，考查了由递推关系式求通项公式，考查了错位相减法求和，属于中档题.20已知关于的不等式（1）若此不等式的解集为，求、的值；（2）若，解关于的不等式.【答案】（1），；（2）当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为；【解析】（1）根据一元二次不等式的解与一元二方程根的关系，列式可解得结果；（2）当时，不等式可化为，然后分类讨论即可得到结果.【详解】（1）由不等式的解集为，可知方程的两根为1和2，得.解得，.（2）由题，原不等式可化为；因此，当时，原不等式等价于；当时，原不等式等价于，解集为空集；当时，原不等式等价于.综上所述：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为空集；当时，原不等式的解集为；【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数，考查了含参数的一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于中档题.21已知数列满足，1求数列的通项公式；2数列满足，数列的前n项和，设，证明：【答案】（1）；（2）见解析【解析】1直接利用递推关系式求出数列的通项公式2利用1的通项公式，进一步求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：1数列满足，则：，得：，整理得：，所以：当时，首项符合通项，故：证明：2数列满足，则：，数列的前n项和，则：，所以：【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型，第二问关键是的变形.22已知二次函数（，），满足：在上的最小值为0；且对任意，成立.（1）求函数的解析式；（2）求最大的（），使得存在，只要，就有.【答案】（1）；（2）9【解析】（1）根据最小值为0，以及，可得，根据对称轴的函数值最小可得，在中令可得，联立三个式子可解得，从而可得；（2）取，可得，取，可