多边形的外角和.pptx

第十一章三角形 八年级数学人教版 上册 11 3 2多边形的内角和 授课人 XXXX 教学目标 1 能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式 重点 2 学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题 难点 新课导入 法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合 创造了这个 abeillesbeepavilion 情景引入 思考 你知道正六边形的内角和是多少吗 新课导入 问题2你知道长方形和正方形的内角和是多少度 问题1三角形内角和是多少度 三角形内角和是180 都是360 问题3猜想任意四边形的内角和是多少度 一 多边形的内角和 新课导入 猜想 四边形ABCD的内角和是360 问题4你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗 猜想与证明 方法1 如图 连接AC 所以四边形被分为两个三角形 所以四边形ABCD内角和为180 2 360 新知探究 E 方法2 如图 在BC边上任取一点E 连接AE DE 所以该四边形被分成三个三角形 所以四边形ABCD的内角和为180 3 AEB AED CED 180 3 180 360 新知探究 方法3 如图 在四边形ABCD内部取一点E 连接AE BE CE DE 把四边形分成四个三角形 ABE ADE CDE CBE 所以四边形ABCD内角和为180 4 AEB AED CED CEB 180 4 360 360 E 新知探究 P 方法4 如图 在四边形外任取一点P 连接PA PB PC PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形 所以四边形ABCD内角和为180 3 180 360 这四种方法都运用了转化思想 把四边形分割成三角形 转化到已经学了的三角形内角和求解 结论 四边形的内角和为360 新知探究 例1 如果一个四边形的一组对角互补 那么另一组对角有什么关系 试说明理由 解 如图 四边形ABCD中 A C 180 A B C D 4 2 180 360 因为 B D 360 A C 360 180 180 所以 如果一个四边形的一组对角互补 那么另一组对角互补 典例精析 新知探究 变式题 如图 在四边形ABCD中 A与 C互补 BE平分 ABC DF平分 ADC 若BE DF 求证 DCF为直角三角形 证明 在四边形ABCD中 A与 C互补 ABC ADC 180 BE平分 ABC DF平分 ADC CDF EBF 90 BE DF EBF CFD CDF CFD 90 故 DCF为直角三角形 运用了整体思想 新知探究 问题5你能仿照求四边形内角和的方法 选一种方法求五边形和六边形内角和吗 内角和为180 3 540 内角和为180 4 720 新知探究 0 n 3 1 2 3 1 2 3 4 n 2 n 2 180 1 180 180 2 180 360 3 180 540 4 180 720 由特殊到一般 新知探究 分割 多边形 三角形 分割点与多边形的位置关系 顶点 边上 内部 外部 转化思想 总结归纳 多边形的内角和公式 n边形内角和等于 n 2 180 新知探究 例2一个多边形的内角和比四边形的内角和多720 并且这个多边形的各内角都相等 这个多边形的每个内角是多少度 解 设这个多边形边数为n 则 n 2 180 360 720 解得n 8 这个多边形的每个内角都相等 8 2 180 1080 它每个内角的度数为1080 8 135 典例精析 新知探究 例3已知n边形的内角和 n 2 180 1 甲同学说 能取360 而乙同学说 也能取630 甲 乙的说法对吗 若对 求出边数n 若不对 说明理由 解 360 180 2 630 180 3 90 甲的说法对 乙的说法不对 360 180 2 4 故甲同学说的边数n是4 新知探究 2 若n边形变为 n x 边形 发现内角和增加了360 用列方程的方法确定x 解 依题意有 n x 2 180 n 2 180 360 解得x 2 故x的值是2 新知探究 变式题 一个同学在进行多边形的内角和计算时 求得内角和为1125 当他发现错了以后 重新检查 发现少算了一个内角 问这个内角是多少度 他求的是几边形的内角和 解 设此多边形的内角和为x 则有1125 x 1125 180 即180 6 45 x 180 7 45 因为x为多边形的内角和 所以它是180 的倍数 所以x 180 7 1260 所以7 2 9 1260 1125 135 因此 漏加的这个内角是135 这个多边形是九边形 思路点拨 多边形的内角的度数在0 180 之间 新知探究 例4如图 在五边形ABCDE中 C 100 D 75 E 135 AP平分 EAB BP平分 ABC 求 P的度数 解析 根据五边形的内角和等于540 由 C D E的度数可求 EAB ABC的度数 再根据角平分线的定义可得 PAB与 PBA的角度和 进一步求得 P的度数 可运用整体思想 新知探究 解 EAB ABC C D E 540 C 100 D 75 E 135 EAB ABC 540 C D E 230 AP平分 EAB PAB EAB 同理可得 ABP ABC P PAB PBA 180 P 180 PAB PBA 180 EAB ABC 180 230 65 新知探究 如图 在五边形的每个顶点处各取一个外角 这些外角的和叫做五边形的外角和 问题1 任意一个外角和它相邻的内角有什么关系 问题2 五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少 互补 5 180 900 二 多边形的外角和 五边形外角和 360 5个平角 五边形内角和 5 180 5 2 180 结论 五边形的外角和等于360 问题3 这五个平角和与五边形的内角和 外角和有什么关系 新知探究 问题4 回想正多边形的性质 你知道正多边形的每个内角是多少度吗 每个外角呢 为什么 每个内角的度数是 每个外角的度数是 练一练 1 若一个正多边形的内角是120 那么这是正 边形 2 已知多边形的每个外角都是45 则这个多边形是 边形 六 正八 新知探究 例4已知一个多边形 它的内角和等于外角和的2倍 求这个多边形的边数 解 设多边形的边数为n 它的内角和等于 n 2 180 多边形外角和等于360 n 2 180 2 360 解得n 6 这个多边形的边数为6 新知探究 例5已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7 2 求这个多边形的边数 解法一 设这个多边形的内角为7x 外角为2x 根据题意 得 7x 2x 180 解得x 20 即每个内角是140 每个外角是40 360 40 9 答 这个多边形是九边形 还有其他解法吗 新知探究 解法二 设这个多边形的边数为n 根据题意得 解得n 9 答 这个多边形是九边形 新知探究 变式题 一个正多边形的一个外角比一个内角大60 求这个多边形的每个内角的度数及边数 解 设该正多边形的内角是x 外角是y 则得到一个方程组解得而任何多边形的外角和是360 则该正多边形的边数为360 120 3 故这个多边形的每个内角的度数是60 边数是三条 新知探究 例6如图 在正五边形ABCDE中 连接BE 求 BED的度数 解 由题意得AB AE 所以 AEB 180 A 36 所以 BED AED AEB 108 36 72 新知探究 课堂小结 多边形的内角和 内角和计算公式 n 2 180 n 3的整数 外角和 多边形的外角和等于360 特别注意 与边数无关 正多边形 内角 外角 课堂小测 1 一个多边形的内角和不可能是 A 1800 B 540 C 720 D 810 D 2 一个多边形从一个顶点可引对角线3条 这个多边形内角和等于 A 360 B 540 C 720 D 900 C 课堂小测 3 如图所示 小华从点A出发 沿直线前进10米后左转24 再沿直线前进10米 又向左转24 照这样走下去 他第一次回到出发地点A时 走的路程一共是 米 150 课堂小测 5 判断 1 当多边形边数增加时 它的内角和也随着增加 2 当多边形边数增加时 它的外角和也随着增加 3 三角形的外角和与八边形的外角和相等 4 一个正多边形的内角和为720 则这个正多边形的每一个内角等于 120 课堂小测 6 一个多边形的内角和为1800 截去一个角后 求得到的多边形的内角和 解 1800 180 1