3.3 直角坐标中的分离变量法A.ppt

1 分离变量法是把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积的方法 1 要求给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合 2 要求在坐标系中 待求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积 且其中的每个函数仅是一个坐标的函数 3 在直角 柱 球等坐标系中都可以应用分离变量法 3 3直角坐标中的分离变量法 理论基础 唯一性定理分离变量法的主要步骤根据给定的边界形状 选择适当的坐标系 正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式 及给定的边界条件 经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程 并给出常微分方程的通解 其中含有待定常数 利用给定的边界条件 确定通解中的待定常数 获得满足边界条件的特解 2 只与y有关 只与x有关 一 二维情况 在直角坐标系中方程可写为 分离变量法的前提即假设待求函数有分离变量形式的解 上式两端同除以 该式成立的条件 3 通过引入分离常数k 将二维拉普拉斯方程分解为两个齐次常微分方程 分别解两个常微分方程就可以得出原问题的解 4 由于三角函数具有周期性 因此解中的分离变量k可以取一系列特定的值kn n 1 2 3 即 由于拉普拉斯方程是线性方程 因此方程的特解的线性组合仍然是方程的解 将所有的特解线性组合起来 得到电位函数的通解 或 5 解中所有未知系数和分离变量kn由边界条件确定 或 电位函数的通解也可写成 或 6 三种解的特点 第一种解中 X x 为双曲函数 最多有一个零点 而Y y 为三角函数 有多个零点 第二种解中 X x 为三角函数 有多个零点 Y y 为双曲函数 最多只有一个零点 第三种解中 X x 和Y y 为常数或线性函数 说明它们最多只有一个零点 或 7 例1 两个很大的导电平板平行放置 间距为d 电位均为0 端接一个电位为V的导电板 求导电板之间的电位 解 导电板之间的电位满足拉普拉斯方程 即 其通解为 8 由条件 3 由条件 4 由条件 5 所以 由条件 2 9 10 例2 一矩形区域的边界条件如图所示 求区域内的电位分布 解 该问题满足的定解条件为 此题所给的场可分解为两个场的叠加 11 由唯一性定理可知 是原问题的解 12 1 求 由 5 得 13 2 求 由 5 式可得 14 15 拉普拉斯方程可写为 上式两端同除以 二 三维情况 设具有分离变量形式的解为 均为常数 16 1 当两个取实数时 第三个必取虚数 2 若其中一个为零值 则剩下两个中必定一个是实数 另一个是虚数 解的形式由分离常数取值决定 17 解的形式也可写成双曲正弦或双曲余弦的形式 在具体问题中 通常根据边界条件选择函数X x Y y Z z 的表达形式 1 对于有两个零值边界的方向 三角函数 2 对于单零值边界的方向 双曲函数 3 对于无穷远边界的方向 指数函数 18 若设 则 19 例1 求图中长方形体积内的电位函数 边界条件为除z c面电位不为零外 其它各面表面电位都有为零 z c表面上给定的电位为U0 解 定解条件为 其解为 三角函数 三角函数 指数函数 对于m n的所有值都是电位的解 因此 它们的线性组合也是电位的解 令 则有 两边同乘以 对x从0到a积分 对y从0到b积分 有 22 时 有 当 23 可见 仅当m n均为奇数时 Cmn才不为零 故 将求出的系数Cmn代入通解中 便得到待求的电位为 24 25 26 27 例2 求图中导体槽内的电位 槽的宽度在x和z方向都为无穷大 槽由两块T形的导体构成 两块间有一狭缝 外加恒定电压U 解 本问题的定解条件为 28 X X 此题所给的场可分解为两个场的叠加 1 29 场 1 是两个距离为d的无穷平行板间外加电压U0的场 其解为 场 2 是两个电位为零的无穷大平行板产生的场 在x 0平面上 30 这两个场叠加后 在y 0和y d两平面上的边界条件与原题中的一样 而在x 0的平面上 有 也和原题相同 根据唯一性定理可知 是原问题的解 31 2 的通解为 由边界条件可得 x 0时 有 32 x 0时 有 两边同乘以 并对y从0 d进行积分 得 33 只有当s为偶数时 才不为零 且有 用2n代替m 令m 2n n 1 2 3 得 于是 和u1叠加后 得到原问题的电位解为 34 例3 求如图所示区域中的电位和电场分布 解 定解条件为 这是一个混合边界条件问题 在y方向