不等式证明的若干种方法.doc

本科生毕业论文题目 不等式证明的若干种方法 院 系 数学系 专业 数学与应用数学 2013 年5 月 本科生毕业设计（论文、创作）声明本人郑重声明：所呈交的毕业设计，是本人在指导教师指导下，进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本设计的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或没有公开发表的作品内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本设计创作声明的法律责任由本人承担。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 作者签名： 年 月 日 本人声明：该毕业设计是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过毕业设计的全部内容，保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性，并通过一定检测手段保证毕业设计未发现违背学术道德诚信的不端行为。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 指导教师签名： 年 月 日不等式证明的若干种方法高银梅（集宁师范学院 数学系 数学与应用数学 2009级）摘要：无论在初等数学还是高等数学中，不等式都是十分重要的内容。而不等式的证明则是不等式知识的重要组成部分。在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法。在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、综合法、分析法、换元法、增量代换法、反证法、放缩发、构造法、数学归纳法、判别式法等等。在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数以及一些著名不等式，如：柯西不等式、詹森不等式、施瓦茨不等式、赫尔德不等式等等。从而使不等式的证明方法更加完善，有利于我们进一步探讨和研究不等式的证明。通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。关键词：不等式，证明方法，常用，特殊 Abstract: both in elementary mathematics and higher mathematics, the inequality is very important content. Inequality and the proof is an important part of knowledge. In this article, I summarized some mathematical proof of the method of inequality. Inequality in elementary mathematics analyst is often used with comparison method, synthesis, analysis, change element method, incremental substitution method, the reduction to absurdity, zooming, construction method, mathematical induction, discriminant method and so on. Inequality in higher mathematics analyst often use of mean value theorem, Taylor formula, Lagrange function, and some well-known inequalities, such as cauchy inequality, Jensens inequality, inequality Schwartz, held, and so on. So that the inequality proof method more perfect, good for our further discussion and study of inequality proof. By studying these proofs, can help us to solve some practical problems, to cultivate logical reasoning ability and abstract thinking ability and the students to form good learning habits of thinking, good at thinking.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。Keywords: inequality, the proof method, commonly used, special目录彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。1 前言6厦礴恳蹒骈時盡继價骚。2 利用常用方法证明不等式7茕桢广鳓鯡选块网羈泪。2.1 比较法7鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。2.2综合法7籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。2.3分析法8預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。2.4换元法8渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。2.5增量代换法8铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。2.6反证法9擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。2.7放缩法9贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。2.8构造法10坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。2.9数学归纳法10蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。2.10判别式法。11買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。2.11导数法11綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。2.12利用幂级数展开式证明不等式12驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。2.13向量法12猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。2.14利用定积分性质证明不等式13锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。3 利用函数的性质证明不等式14構氽頑黉碩饨荠龈话骛。4 利用柯西不等式证明15輒峄陽檉簖疖網儂號泶。5 利用均值不等式证明16尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。6 利用施瓦茨不等式证明17识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。7 利用中值定理法证明不等式18凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。7.1 拉格朗日中值定理：18恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。7.2积分第一中值定理：18鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。8 利用詹森不等式证明19硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。致谢20阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。参考文献21氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。1 前言不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大，所以怎样区分题目类型，弄清每种证明方法所适用的题型范围，是学生掌握不等式证明的关键所在。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本的不等式，灵活运用常用和特殊的证明方法。不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志。釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。2 利用常用方法证明不等式2.1 比较法所谓比较法，就是通过两个实数与的差或商的符号（范围）确定与大小关系的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。即通过“，(为作差法)或，(为作商法)。”来确定，大小关系的方法。怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。例 已知：，求证：.分析：两个多项式的大小比较可用作差法证明 ，故得 . 故原不等式成立。例 设，求证：.分析：对于含有幂指数类的用作商法证明 因为 ，所以 ，.而 ，故 故原不等式成立。2.2综合法综合法就是从已知式证明过的不等式出发，根据不等式的性质推出欲证的不等式，通过一系列已确定的命题（包含不等式的性质，已掌握的重要不等式）逐步推演，从而得到所要求证的不等式成立，这种方法叫做综合法。谚辞調担鈧谄动禪泻類。例 已知且 求证： 证： 所以两边同时乘 得即故原不等式成立。2.3分析法从求证的不等式出发分析不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定使这个不等式成立的条件是否具备的问题。如果能够肯定这些条件都以具备，那么就可以判定这个不等式成立，这种证明方法叫做分析法。嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。例 求证： 证即：因为 因为为了证明原不等式成立，只需证明即 即 即 故原不等式成立。2.4换元法换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。例 1x证明：1x0，1x1，故可设x = cos，其中0则x =cos= sincos=sin()，1sin()，即1x熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。故原不等式成立。2.5增量代换法在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如abc)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简。鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。例 已知a，bR，且ab = 1，求证：(a2)(b2)证明：a，bR，且ab = 1，设a =t，b=t， (tR)则(a2)(b2)= (t2)(t2)= (t)(t)= 2t(a2)(b2)故原不等式成立。2.6反证法反证法的原理是：否定之否定等于肯定。反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛。例 已知 求证 ： 证：假设成立则即 由此得，这是不可能的，得出矛盾。 故原不等式成立。2.7放缩法放缩法是证明不等式的一种特殊的方法。从不等式的一边入手，逐渐放大或缩小不等式，直到不等式的另一边，这种方法叫做放缩法。颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷。例 求证： 证：有所以 故原不等式成立。2.8构造法构造法是通过类比、联想、转化，合理的构造函数模型，从而使问题迎刃而解。过程简单，一目了然。例 已知三角形ABC的三边长是a,b,c,且m为正数，求证：. 证明：设显然函数在是增函数。a,b,c是三角形ABC的三边长.，即，又.故原不等式成立。2.9数学归纳法证明有关自然数的不等式，可以采用数学归纳法来证明。1. 验证取第一个数值时，不等式成立，2.假设取某一自然数时，不等式成立。（归纳假设），由此推演出取时，此不等式成立。例 求证： 证：（1）当时，左边=1，右边=2不等式显然成立。 （2）假设时，则时， 左边 = = 时不等式也成立.故原不等式成立。2.10判别式法。判别式法是根据已知的或构造出来的一元二次方程，一元二次不等式，二次函数的根，函数解集的性质等特征来确定判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方程。濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻。例 设 ， 求证：证：因为 的系数为 ， 故原不等式成立。2.11导数法当属于某个区间，有，则单调递增；若，则单调递减.推广之，若证，只须证及即可.例 证明不等 ，证明 设则故当时，递增；当递减.则当时， 从而证得 故原不等式成立。2.12利用幂级数展开式证明不等式例 当，证明.证明：因，分别可写成幂级数展开式：=,;=,.则要证不等式左边的一般项为，右边的一般项为，因此当，有.所以，.故原不等式成立。2.13向量法利用向量的数量积及不等式关系例 已知a、b、c都是正实数，求证证明：设，则故原不等式成立。2.14利用定积分性质证明不等式对可积函数，若，则例 证明：证明 当时，则，因在（1,2）上均为连续函数。则在（1,2）均可导，由定积分性质可知故原不等式成立。3 利用函数的性质证明不等式设，和为增函数，满足，证明：，利用复合函数及其单调性质。证明：因对于任意的，有，且，和均为增函数，所以有即故原不等式成立。4 利用柯西不等式证明设均为实数，则，当且仅当时成立.例 15 若，求证证明：当时等号成立。故原不等式成立。5 利用均值不等式证明均值不等式公式：，（当且仅当时取“”）；，（当且仅当时取“”）。均值不等式是高考中一个重要知识点，其变形多，约束条件“苛刻“（一正、二定，三相等）。例 已知a，b，c为不全相等的正数，求证： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc. 銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼。分析：观察要证不等式的两端都是关于a，b，c的3次多项式，左侧6项，右侧6项，左和右积，具备均值不等式的特征。 挤貼綬电麥结鈺贖哓类。证明: b2+c22bc, a0, a(b2+c2)2abc 同理，b(c2+a2)2bac, c(a2+b2)2cab, 又 因为a，b，c不全相等， 所以上述三个不等式中等号不能同时成立，因此故原不等式成立。例 若，求证：证明：又当且仅当，即时等号成立故原不等式成立。6 利用施瓦茨不等式证明施瓦茨不等式：若和在上可积，则例 证明：若在上可积，则证明：根据施瓦茨不等式有： 所以故原不等式成立。7 利用中值定理法证明不等式7.1 拉格朗日中值定理若函数满足如下条件：（1） 在闭区间上连续（2）在开区间（）内可导，则在（）内至少存在一点，使得例 证明：，其中证明：设，显然在上满足拉格朗日中值定理的条件，且，故，使即而，故有即故原不等式成立。7.2积分第一中值定理若在上连续，则至少存在一点，使得例 证明：证明：在上，且函数不恒等于1和，所以有故原不等式成立。8 利用詹森不等式证明詹森不等式：若为上凸函数，则对任意，有例 证明：不等式,其中，均为正数证明：设，由的一阶和二阶导数，可见，在时为严格凸函数，依詹森不等式有：从而即，又因，再两边同乘以次方得所以故原不等式成立。总之，不等式的证明方法有很多，我们应该在教学和学习中努力将这些好的方法发扬光大，使我们的教学和学习更加轻松。赔荊紳谘侖驟辽輩袜錈。致谢踉踉跄跄地忙碌了两个多月，我的毕业设计课题将告一段落了。我从中明白了做每一件事，不必过于在乎最终的结果，可贵的是在做事过程中