人教A版高中数学必修5第二章 数列2.5 等比数列的前n项和课件.pptx

第2课时等比数列前n项和的性质及应用 第二章 2 5等比数列的前n项和 学习目标 XUEXIMUBIAO 1 理解等比数列前n项和公式的函数特征 2 熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题 NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1 自主学习 PARTONE 知识点一等比数列前n项和公式的函数特征 当公比q 1时 设A 等比数列的前n项和公式是Sn A qn 1 即Sn是n的指数型函数 当公比q 1时 因为a1 0 所以Sn na1 Sn是n的正比例函数 知识点二等比数列前n项和的性质1 数列 an 为公比不为 1的等比数列 或公比为 1 且n不是偶数 Sn为其前n项和 则Sn S2n Sn S3n S2n仍构成等比数列 2 若 an 是公比为q的等比数列 则Sn m Sn qnSm n m N 3 若 an 是公比为q的等比数列 S偶 S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和 则 在其前2n项中 q 在其前2n 1项中 S奇 S偶 a1 a2 a3 a4 a2n a2n 1 1 等比数列 an 的前n项和Sn不可能等于2n 2 若 an 的公比为q 则 a2n 的公比为q2 3 若 an 的公比为q 则a1 a2 a3 a2 a3 a4 a3 a4 a5的公比也为q 4 等比数列 an 是递增数列 前n项和为Sn 则 Sn 也是递增数列 5 对于公比q 1的等比数列 an 的前n项和公式 其qn的系数与常数项互为相反数 思考辨析判断正误 SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU 2 题型探究 PARTTWO 题型一等比数列前n项和公式的函数特征应用 例1数列 an 的前n项和Sn 3n 2 求 an 的通项公式 解当n 2时 an Sn Sn 1 3n 2 3n 1 2 2 3n 1 当n 1时 a1 S1 31 2 1不适合上式 2 若数列 an 的前n项和Sn A qn 1 其中A 0 q 0且q 1 则 an 是等比数列 跟踪训练1若 an 是等比数列 且前n项和为Sn 3n 1 t 则t 解析显然q 1 此时应有Sn A qn 1 题型二等比数列前n项和的性质 命题角度1连续n项之和问题 多维探究 证明方法一设此等比数列的公比为q 首项为a1 当q 1时 Sn na1 S2n 2na1 S3n 3na1 方法二根据等比数列的性质有S2n Sn qnSn Sn 1 qn S3n Sn qnSn q2nSn 反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 1 运用等比数列的前n项和公式 要注意公比q 1和q 1两种情形 在解有关的方程 组 时 通常用约分或两式相除的方法进行消元 2 灵活运用等比数列前n项和的有关性质 跟踪训练2在等比数列 an 中 已知Sn 48 S2n 60 求S3n 解因为S2n 2Sn 所以q 1 命题角度2不连续n项之和问题例3一个项数为偶数的等比数列 全部项之和为偶数项之和的4倍 前3项之积为64 求该等比数列的通项公式 解设数列 an 的首项为a1 公比为q 全部奇数项 偶数项之和分别记为S奇 S偶 由题意 知S奇 S偶 4S偶 即S奇 3S偶 反思感悟注意观察序号之间的联系 发现解题契机 整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快 跟踪训练3设数列 an 是以2为首项 1为公差的等差数列 数列 bn 是以1为首项 2为公比的等比数列 则 126 解析设数列 bn 的公比为q 则q 2 是首项为b2 公比为2的等比数列 核心素养之数学运算 HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN 等比数列前n项和的分类表示 典例已知数列 an 中 a1 1 a2 2 an 2 3an n N 求 an 的前n项和Sn 于是数列 a2n 1 是首项a1 1 公比为3的等比数列 数列 a2n 是首项a2 2 公比为3的等比数列 因此a2n 1 3n 1 a2n 2 3n 1 于是S2n a1 a2 a2n a1 a3 a2n 1 a2 a4 a2n 1 3 3n 1 2 1 3 3n 1 综上所述 素养评析数学中有不少概念表达式相当抽象 只有在明晰运算对象的基础上 才能挖掘出两式的内在联系 理解运算法则 本例中 涉及到很多对n的赋值 只有理解了an a2n S2n与S2n 1之间的联系 才能顺利挖掘出 a2n 是首项为2 公比为3的等比数列 S2n 1 S2n a2n等关系 3 达标检测 PARTTHREE 1 2 3 4 5 1 已知等比数列 an 的公比为2 且其前5项和为1 那么 an 的前10项和等于A 31B 33C 35D 37 解析设 an 的公比为q 由题意 q 2 a1 a2 a3 a4 a5 1 则a6 a7 a8 a9 a10 q5 a1 a2 a3 a4 a5 q5 25 32 S10 1 32 33 1 2 3 4 5 2 已知等比数列 an 的前n项和为Sn x 3n 1 则x的值为 当n 2时 an Sn Sn 1 2x 3n 2 an 是等比数列 n 1时也应适合an 2x 3n 2 1 2 3 4 5 3 已知等差数列 an 的前n项和Sn n2 bn c 等比数列 bn 的前n项和Tn 3n d 则向量a c d 的模为 解析由等差数列与等比数列的前n项和公式知 c 0 d 1 所以向量a c d 的模为1 1 2 3 4 5 4 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若q 2 S100 36 则a1 a3 a99等于A 24B 12C 18D 22 解析设a1 a3 a99 S 则a2 a4 a100 2S S100 36 3S 36 S 12 a1 a3 a5 a99 12 1 2 3 4 5 5 已知等比数列 an 的前n项和为Sn S4 1 S8 3 则a9 a10 a11 a12等于A 8B 6C 4D 2 解析S4 S8 S4 S12 S8成等比数列 即1 2 a9 a10 a11 a12成等比数列 a9 a10 a11 a12 4 课堂小结 KETANGXIAOJIE 1 在利用等比数列前n项和公式时 一定要对公比q 1或q 1作出判断 若 an 是等比数列 且an 0 则 lgan 构成等差数列 2 等比数列前n项和中用到的数学思想 1 分类讨论思想 利用等比数列前n项和公式时要分公