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第四节II曲线的凹凸性教学文稿 2019/11/21第四节（II）曲线的凹凸性一一复习前面所学知识二二授课内容 1、凹凸性定义 2、拐点及其求法三三小结与思考判断题凹凸拐点总结复习(Concavity andConvex ofCurvel)2019/11/22一问题的提出问题:如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(x fy?图形上任意弧段位于所张弦的上方xyo)(x fy?1x2x图形上任意弧段位于所张弦的下方221x x?221x x?)2(21x xf?)2(21x xf?2)()(21x f x f?2)()(21x f x f?A BM N2019/11/23二曲线凹凸的定义;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121内的图形是凹的在那末称恒有两点内任意如果对内连续在设b ax fx f x f x xf x xb ab ax f?;),()(,2)()()2(,),(212121内的图形是凸的在那末称恒有内任意两点如果对b ax fx f x f x xfx xb a?2019/11/24xyo)(x fy?xyo)(x fy?a bABabBA凹弧曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。 凸弧曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。 车轨2019/11/26分析任取两点)(,2121x x x x?证明1）要证2)()()2(2121x f x fx xf?即证0)2()()2()(212211?x xf x fx xf x f2)()2)()2()(),2,(21121112112111x xfx xx fx xf x fx xx?2)()2)()2()(),2(12221222122212x xfx xx fx xf x fxx x?2019/11/27两式相加为2)()()2()()2()(1212212211x xf fx xfx fx xfx f?即证) (0)()(2112?f f事实上),()()()(2112?fff而而0)(?f同理可证明2）2019/11/28例例11.3的凹凸性判断曲线x y?解解,32x y?,6x y?时，当0?x,0?y为凸的；在曲线0,(?时，当0?x,0?y为凹的；在曲线),0?.)0,0(点是曲线由凸变凹的分界点注意到,放大图象2019/11/29四曲线的拐点及其求法1定义注注1:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.)()(点的分界点叫做曲线的拐凹弧与凸弧）的图形上凸弧与凹弧（上连续，我们把在区间设函数x fyI x f?.)(,200不同于极值点的表示来表示的，、拐点是用坐标（注x fx2019/11/210定理2如果)(x f在),(00?x x内存在二阶导数数,则点?)(,00x fx是拐点的必要条件是0)(0?x f.证证2拐点的必要条件时，图形是凹弧，当即对分界点的不妨设它是凹弧与凸弧是拐点000),(.,)(,(x xb axx fx?.0)(?x f递增；所以)(xf?时，图形是凸弧，当0xx?.)(递减所以xf?.)(的极大值点递减的分界点，也就是xf?递增与是函数因此点)(0xfx?由可导函数取得极值的条件，2019/11/211;)(,(,)()3(000即为拐点点变号两近旁xfxxfx?.)(,(,)(000不是拐点点不变号两近旁xfxxfx?3拐点的求法步骤);()1(xf?求0,0)()2(xxf点找出实根和二阶不可导令?.)()(,(,)(000的拐点是连续曲线也可能点不存在注意若xf yx fxxf?2019/11/212例例22.14334凹、凸的区间的拐点及求曲线?xx y解解),(:?D?,121223xx y?).32(36?xx y,0?y令.32,021?xx得x)0,(?),32(?)32,0 (032)(xf?)(xf?00凹的凸的凹的拐点拐点)1,0()2711,32(2019/11/213).,32,32,0,0,(?凹凸区间为2019/11/214.)(,)(32间和拐点和极值点，以及凹凸区增减的区间求、设例xfe xfyx?），由，解函数的定义域为（?;0,0212?x yxe yx得驻点及22,0),12(23,222?x yx eyx得及-2-1120.20.40.60.812019/11/215x),22(?)22,0 (0)(xf?)(xf?00凹、降凸、降拐点22)(xf?极大值值?212?e2?x)(xf?)(xf)(xf?)22,(?0拐点22?212?e?)0,22(?002?凹、升升凸、升升2019/11/216例例44.3的拐点求曲线x y?解解,0时时当?x,3132?xy,9435?xy.,0均不存在是不可导点y yx?,0,)0,(?y内但在;0,(上是凹的曲线在?,0,),0(?y内在.),0上是凸的曲线在?.)0,0(3的拐点是曲线点xy?2019/11/217五小结与思考判断题凹凸性的定义;曲线的弯曲方向拐点的定义;改变弯曲方向的点凹凸性的判