2-6导数经济分析中的应用(09).ppt

边际的概念经济学中常见的边际函数弹性分析需求价格弹性 第六节导数在经济分析中的应用 导数在工程 技术 科研 国防 医学 环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用 下面介绍导数 或微分 在经济分析中的一些简单应用 在经济学中我们关心的是当自变量取得一个很小的改变量时 函数的变化率是多少 以及如何用瞬时变化率近似描述平均变化率 这种研究问题的方法 称之为边际分析 一 边际概念 定义1设y x 为可导函数 则称 x 的导函数为 x 的边际函数 在点x0的值称为 x 在x0处的边际函数值 或变化率 变化速度等 在经济学中 通常取 x 1 就认为 x达到很小 再小无意义 故有 在经济分析中 常略去 近似 二字 就得 x 在x0处的边际值 经济意义 即当自变量x在x0的基础上再增加一个单位时 函数f x 的改变量 1 边际成本 二 经济学中常见的边际函数 总成本函数C C Q 的导数 例1某机械厂 生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件 假设日产品的总成本C 元 与日产量x 件 的函数为 称为边际成本函数 求 1 日产量75件时的总成本和平均成本 2 当日产量由75件提高到90件时 总成本的平均改变量 3 当日产量为75件时的边际成本 解 1 日产量75件时的总成本和平均成本 2 当日产量由75件提高到90件时 总成本的平均改变量 C 75 75 106 08 元 件 C 75 7956 25 元 3 当日产量为75件时的边际成本 2 边际收益 总收益函数R R Q 的导数 称为边际收益函数 例2某企业产品的市场需求函数为 其中P为价格 Q为需求量 求 P 0 1Q 80 1 总收益函数 2 边际收益函数 3 计算Q 200和Q 450时的边际收益 并解释其经济意义 解 1 总收益函数为 R R Q PQ 80Q 0 1Q2 2 边际收益函数为 3 计算Q 200和Q 450时的边际收益分别为 即当Q 200个单位时 边际收益为40 其经济意义是销售量在200个单位的基础上多销售一个单位产品时 收益将增加40个单位 而当Q 450单位时 边际收益为 10 其经济意义是销售量在450个单位的基础上多销售一个单位 当销售量为Q 总利润为L L Q 时 称为销售量为Q时的边际利润 它近似等于销售量为Q时再多销售一个单位产品所增加或减少的利润 3 边际利润 总利润函数L L Q R Q C Q 的导数 称为边际利润函数 产品时 收益将减少10个单位 解 1 总利润函数为L x R x C x 边际利润函数为 2 当日产量分别是200公斤 250公斤和300公斤时的 边际利润分别是 三 弹性分析 弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变化时 所作出反映的强弱程度 即弹性是用来描述一个量对另一个量的相对变化率的一个量 1 若y x 在点x0处可导 则它在x0处的点弹性为 3 弹性是一个无量纲的数值 这一数值与计量单位无关 4 弹性函数为 时 x与y的变化方向相同 相反 由弹性定义可知 例4当a b k为常数时 求下列函数的弹性函数及在点x 1处的点弹性 并阐述其经济意义 解 的经济意义是 函数 x 在x 1处 四 需求价格弹性 称为需求价格弹性 需求函数Q Q P 其中Q为需求量 P为价格 显然 需求函数为单调减少的函数 因此 需求函数的导数均非正数 我们将 注任何需求函数对价格之弹性 均满足 解 在某价格处 根据需求价格弹性的大小 可分为三种情况 当时 需求量增加的幅度大于价格降低的幅度 称需求弹性为高 富于 弹性 如奢侈品 当时 需求量下降的幅度小于价格提高的幅度 称需求弹性为低 缺乏 弹性 如必需品 注 需求价格点弹性的大小不仅与商品的性质有关 还与某点的价格有关 3 当时 需求量下降的幅度等于价格提高的幅度 称需求为单位弹性 在商品经济中 商品经营者关心的的是提价 p 0 或降价 p 0 对总收益的影响 下面利用需求弹性的概念 可以得出价格变动如何影响总收益的结论 利用需求价格弹性来分析价格变动对总收益的影响 总收益R对P的导数是总收益关于价格的边际收益 总收益R表示为价格P的函数需求函数 在某价格处 根据需要价格弹性的大小 可分为三种情况 1 若 称为高弹性 时 则 R与 p异号 此时 降价 p0 将使收益减少 2 若 称为低弹性 时 则 R与 p同号 此时 降价 p0 将使收益增加 3 若 称为单位弹性 时 则 此时 无论是降价还是提价均对收益没有明显的影响 当p 5时 高弹性 此时降价使收益增加 提价使收益减少 当p 4 35时 单位弹性 此时 降价 提价对收益没有明显的影响 由此对例5而言 下面利用需求弹性的概念 还可以得出价格变动如何影响需求量