第八章陈家璧版_光学信息技术原理及应用习题解答.doc

第八章 习 题解答81利用4f系统做阿贝波特实验，设物函数t（x1，y1）为一无限大正交光栅 其中a1、a2分别为x、y方向上缝的宽度，b1、b2则是相应的缝间隔。频谱面上得到如图8-53（a）所示的频谱。分别用图8-53（b）（c）（d）所示的三种滤波器进行滤波，求输出面上的光强分布（图中阴影区表示不透明屏）。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . （a） （b） （c） （d）图8.53（题8.1 图）答：根据傅里叶变换原理和性质，频谱函数为 T ( fx , fy ) = t ( x1 , y1 ) = * 将函数展开得T ( fx , fy ) = * （1） 用滤波器（b）时，其透过率函数可写为 滤波后的光振幅函数为 TF = 输出平面光振幅函数为 t（x3，y3）= -1 TF = = 输出强度分布为 I（x3，y3）= = - C其中C是一个常数，输出平面上得到的是频率增加一倍的余弦光栅。（2）用滤波器（c）时，其透过率函数可写为 滤波后的光振幅函数为 TF = * 输出平面光振幅函数为 t（x3，y3）= -1 TF = * - * - 输出强度分布为有两种可能的结果，见课本中图89和图810。（3）用滤波器（d）时，输出平面将得到余弦光栅结构的强度分布，方向与滤波狭缝方向垂直，周期为b，它与物光栅周期b1、b2的关系为 82 采用图8-53（b）所示滤波器对光栅频谱进行滤波，可以改变光栅的空间频率，若光栅线密度为100线/mm，滤波器仅允许 + 2级频谱透过，求输出面上干板记录到的光栅的线密度。答：根据对81题的分析，当滤波器仅允许+ 2级频谱通过时，输出平面上的光振幅应表达为 t（x3）= -1 = 其振幅分布为一周期函数，空间频率是基频的2倍。而干板记录到的是强度分布： I = = - C其中C是一个常数。故干板上记录到的光栅频率是基频的4倍，即400线/mm。83 在4f系统中，输入物是一个无限大的矩形光栅，设光栅常数d = 4，线宽a =1，最大透过率为1，如不考虑透镜有限尺寸的影响， （a）写出傅里叶平面P2上的频谱分布表达式；（b）写出输出平面复振幅和光强分布表达式；（c）在频谱面上作高通滤波，挡住零频分量，写出输出平面复振幅和光强分布表达 式；（d）若将一个位相滤波器 放在P2平面的原点上，写出输出平面复振幅和光强分布表达式，并用图形表示。答：将81题结果代入，其中b1 = d = 4，a1 = a = 1，除去与y分量有关的项，可得（a）P2平面上的频谱分布为：（b）输出平面： 复振幅 t（x3）= -1 T（fx）若不考虑透镜尺寸的影响，它应该是原物的几何像，即 t (x3) = *光强分布 I (x3) = | t (x3)| 2 = *(c)挡住零频分量，输出平面情况与81题（3）相同，即 t (x3) = *- I = | t (x3) | 2 由于a = d / 4，所以强度将出现对比度反转，像光栅常数仍为d = 4，线宽为a= 3，见下图 t（x3） I（x3） 0 x3 0 x3（d）将一个p位相滤波器置于零频上。滤波器可表达为 只考虑一维情况，频谱变为 T（f x）= T（f x）H（f x）= = 输出平面上的复振幅为 t (x3) = -1T（f x）H（f x） = -* - 84 图8-54所示的滤波器函数可表示为： 此滤波器称为希尔伯特滤波器。 证明希尔伯特滤波能够将弱位相物体的位相变化转变为光强的变化。 y L1 fy L2 x fx x y 图 题8.4 答：位相物可表达为t0（x1，y1）= Aexp j f（x1，y1） 对于弱位相物有f 1弧度，上式近似为（忽略A）t0（x1，y1） 1+ j f（x1，y1）滤波平面得到T（fx，fy）= t0（x1，y1）=d（fx，fy）+ jF（fx，fy）其中 F（fx，fy）= f（x1，y1）。 经希尔伯特滤波器，频谱面后的光 分布为 像平面光场复振幅为 光强分布为 85 如图8-55所示，在激光束经透镜会聚的焦点上，放置针孔滤波器，可以提供一个比较均匀的照明光场，试说明其原理。L1L2 针孔 激光器题8.5 图答：在8.55图中，激光器通过两透镜产生平行光时会出现不均匀照明的主要原因常常是激光器出射窗口及第一个透镜L1表面上污物，使光束产生衍射造成的。这些衍射光不会会聚到L1焦点处，实际上是光束的高频分量。在针孔光栏的作用下，除了焦点处的光以外的高频分量均不能通过L2传播出去，就会减少造成光束不均匀的衍射光，从而减少照明光场中的不均匀。 86 光栅的复振幅透过率为 t（x）= cos 2f0 x 把它放在4f 系统输入平面P1上，在频谱面P2上的某个一级谱位置放一块/ 2位相板，求像面的强度分布。答：将复振幅透过率函数变换为 t（x）= cos 2f0 x = 1+cos 2f0 x / 2 其频谱为 T（fx）= t（x） d（fx）+ cos 2f0 x = d（fx）+ d（fx- f0）+ d（fx+ f0） 其中第一项为零级谱，后两项以次为+1级和-1级谱。设将/ 2位相板放在+1级谱上，其透过率表达为 H（fx）= exp（j） 则频谱面P2后的光振幅变为 T= TH = d（fx）+ d（fx- f0）exp（j）+ d（fx+ f0） = d（fx）- d（fx- f0）+ d（fx+ f0）像平面光场复振幅为 t（x）= -1 T = - exp（j2f0x3）+ exp（-j2f0x3） = - j sin（2f0x3） 像平面强度分布为I = t（x）2 = t（x） t（x） =1- j sin（2f0x3）1+ j sin（2f0x3） =+ sin2（2f0x3） 像平面得到的仍是一周期函数，其周期缩小1倍，振幅减小4倍，本底也有所变化，并且出现图形的横向位移，位移量为1/2周期。87用照相机拍摄某物体时，不慎因手动摄下重叠影像，沿横向错开距离b。为改善此照片质量，试设计一个逆滤波器，给出滤波函数。答：假设横向错开距离的中点为坐标原点，且手动是匀速的，则手动造成的重叠影像相对应的模糊缺陷点扩散函数可以表示为而传递函数为 逆滤波器所要求的滤波函数为因为不是复函数，制作并不困难，但是如果考虑手动是个变速运动，点扩散函数不在可以用函数表示，逆滤波器要考虑用（8.45）相应的方法制作。88 在用一维正弦光栅实现两个图象相加或相减的相干处理系统中，设图象A、B置于输入平面P1原点两侧，其振幅透过率分别为：tA（x1- l，y1）和 tB（x1+ l，y1）；P2平面上光栅的空间频率为f0，它与l的关系为：f0 = l /f，其中和f 分别表示入射光的波长和透镜的焦距；又设坐标原点处于光栅周期的1/4处，光栅的振幅透过率表示为： 试从数学上证明： 1）在输出平面的原点位置得到图象A、B的相减运算； 2）当光栅原点与坐标原点重合时，在输出平面得到它们的相加运算。证明：（1）用一维正弦光栅实现两个图像相加或相减的相干处理系统如图8.18所示，只是在本题中输入面坐标为，光栅面即频谱滤波面坐标，为了使输出为原图像而不是放大或缩小的图像相加减需，同时为统一用下标表示光场平面坐标，也将图8.18所示输出坐标记为。不失一般性，假设对输入面的垂直照明光束为振幅为1的平面波，因而输入面上出射的光场复振幅分布即为经过透镜做傅立叶变换平面上得到的光场复振幅分布为：式中 且 通过原点置于周期的1/4处的光栅以后，透过的光场复振幅分布为：这是因为，进一步展开应当有六项，但其中四项将含有带变量的指数项，在做第二次傅立叶变换时会产生不位于面中心的函数，与图像卷积产生不在原点处的图像，可以不予考虑，余下两项为：再经过的傅立叶反变换得到： 常系数对于图像相减不产生影响，因此在面原点处得到的是图像A和B的相减结果。（2）当光栅原点与坐标原点重合时，振幅透过率为输出面上相应两项为因而得到相加减运算。证毕。89 如何实现图形O1和O2的卷积运算？画出光路图并写出相应的数学表达式。 答：第一步，制作O1的傅里叶变换全息图，光路如下： (x1，y1) L (x2，y2) O1 R -b H f f全息图H的透过率为tH = | m1 |2 + R02 + R0m1（fx，fy）exp_ -j 2fx b +R0m1（fx，fy）exp_ j 2fx b 其中m1= O1，R0为平面参考波的振幅，b为参考点源的横向位移量。第二步，进行卷积运算。在4f系统中，将O2置于输入平面（x1，y1），全息图置于频谱平面（x2，y2），如图 x1,y1 x2,y2 L1 H L2 O1H O2 O2(x1,y1) O2几何像 O1 O2 f1 f1 f2 f2 x3,y3 频谱面后的光场为 UH= O2tH= m2| m1 |2 + R02 + R0m1（fx，fy）exp_ -j 2fx b +R0m1（fx，fy）exp_ j 2fx b输出平面光场为 O2 -1 tH = R02O2 + O1 HO1 O2 + R0O1(x3-b，y3)O2 + R0O1(-x3-b，-y3)O2式中第三项即为O1 和O2的卷积运算，位置在x3 = b处。810 在4f系统中用复合光栅滤波器实现图象的一维微分 g / x ，若输入图象g在x方向的宽度为l，光栅频率应如何选取？答：设复合光栅的空间频率为f0和f0+d，则滤波的结果使像平面上得到两套物的三重像，两个正一级像的位相差等于，它们离零级像的角间距q1、q2分别由下式确定 sin q1 = f0l， （1） sin q2 =（ f0 +d）l （2）因而正一级像离零级像的线间距分别为l1 = sin q1f （3）l2 = sin q2f （4） 其中f是透镜焦距。分析可知，得到微分结果的条件是 l1 - l2 l / 2 （l为物的宽度） （5）将（1）、（2）两式代入（3）、（4）两式，再代入（5）式，得到l1 - l2 = d l f l / 2d （6）因而复合光栅的空间频率差应满足（6）式关系，才能得到微分图像。811 用4f系统通过匹配滤波器作特征识别，物g（x，y）的匹配滤波器为G*（fx，fy），当物在输入平面上平移后可表示为g（x - a， y - b），求证此时输出平面上相关亮点的位置坐标为xi = a，yi = b。证明：在如图8.26的4f系统中，匹配滤波器置于滤波平面fx上，根据（8.36）（8.37）式有匹配滤波器的振幅透过率当物在输入面上平移后形成的输入光场为则在4f系统的滤波平面上有序的输入频谱为通过匹配滤波器以后成为再通过第二个透镜在傅立叶反变换，在如图的倒置X0坐标中光场分布为方括号内为g(x,y)的自相关，与卷积说明该自相关即相关亮点的峰值将位于的位置上。证毕。812 用一个单透镜系统对图象进行调制假彩色编码，如图8-55所示。已知调制物Om 的光栅空间频率为100线/mm，物离透镜的距离为20cm，图象的几何宽度为6 6cm，试问透镜的孔径至少应多大，才能保证在频谱面上可进行成功的滤波操作。（工作波长范围为650.0444.4nm）。 L 频谱面 O 白光 Om d f图8.56（题8.11图）答：设：f0 = 100线/mm，d = 20cm，ab = 66c