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第27讲Lp 空间简介 本讲目的 掌握Lp 空间的定义及其重要意义 重点与难点 Newton Leibniz公式的证明 1 第27讲Lp 空间简介 人们在用迭代方法解微分方程或积分方程时 常常会碰到这样的问题 尽管任意有限次迭代函数都是很好的函数 可微或连续函数 但当施行极限手续以求出准确解时却发现 迭代序列的极限不在原来所限定的范围内 这促使人们将函数的范围拓宽 空间理论正是在此基础上产生的 1907年 F Riesz与Frechet首先定义了 0 1 上的平方可积函数空间 即 2 第27讲Lp 空间简介 随后 人们又进一步考察p 方可积函数 得到空间 考虑这些空间的一个基本思想是 不再是将每一个函数当作一个孤立对象看 而是作为某一类集合中的一个元素 将这个函数集合看作一个整体讨论其结构 如果说前面所研究的Lebesgue可测函数是一棵棵的树木 现在则要将这些树木放在起构成一片森林 3 第27讲Lp 空间简介 一 空间的定义 我们知道 Rn中有线性运算 有距离公式 对于两个函数 可以定义它们的线性运算 但它们之间所谓 距离 的定义却不是件简单的是 首先 所定义的距离必须有意义 例如 对于中的两个函数 可以用定义它们的距离 但如果用它来定义一般Lebesgue可测函数间的距离显然是不合适的 其次 所定义的距离 必须满足距离的一些最基本的性质 这些性质是什么呢 我们可以通过中的距离归纳出来 即下面的 4 第27讲Lp 空间简介 定义1设是一个集合 的函数 满足 i 对任意 ii 对任意 iii 对任意 三角不等式 则称是A上的距离 是E上的Lebesgue可测函数 设 且 5 第27讲Lp 空间简介 对任意 显然仍是E上的可测函数 由于对任意实数 有 所以 6 第27讲Lp 空间简介 因此不难看出 从的定义 启发我们以下面的方式定义上的距离 由上面的讨论 显见对任意 有 7 第27讲Lp 空间简介 即上非负的有限函数 它是不是上的距离呢 为此 设 则得 于是 进而由此立得另一方面 若 8 第27讲Lp 空间简介 则 从而 上述分析说明 并不是上的距离 但使的函数必有几乎处处相等的 反之亦然 因此 我们可以将中几乎处处相等的函数放在一起 从而构成新的集合 当且仅当 9 第27讲Lp 空间简介 对任意 定义不难看到 对任意 恒有故上面的定义是无歧义的 此外 若 则显然有 这样 作为上的函数的确满足距离定义中的 i 至于 ii 则是显而易见的 所以只需验证它是否满足 iii 10 第27讲Lp 空间简介 为方便起见 以后也用记 只要说则指的就是与几乎处处相等的函数类 若说则指的就是单一的函数 二 几个重要的不等式引理1设是正数 则等式成立当且仅当 或中有一个为0 11 第27讲Lp 空间简介 证明 不妨设 情形可类似证明 由引理的条件知 于是要证的不等式可写成即记 则对任意 存在 使 因 所以 从而 12 第27讲Lp 空间简介 即 令 立得从证明过程可以看出 等号成立当且仅当或或0 证毕 定理1 霍尔德 Holder 不等式 设 满足条件的称作共轭数 则 13 第27讲Lp 空间简介 且 1 等式成立当且仅当与相差一个常数因子 证明 若中有一个为0 则 1 式显然成立 事实上 此时 1 式两边都为0 故不妨设均不为0 于是都不为0 14 第27讲Lp 空间简介 记则由引理1 当 都不为0时 有即 15 第27讲Lp 空间简介 且等号只有在即与只差一个常数因子时才成立 不等式两边作积分得 此即所要的不等式 证毕 定理2 Minkowski不等式 16 第27讲Lp 空间简介 设 则 2 若 则等号只在与相差一个非负常数因子时成立 证明 当时 不等式显然成立 若 则不等式也是显然的 故不妨 17 第27讲Lp 空间简介 设 且 注意到时 故其中是的共轭数 即 于是由Holder不等式得 3 18 第27讲Lp 空间简介 类似地 也有 4 将两个不等式相加得 19 第27讲Lp 空间简介 两边同除以立得所要的不等式 要使 2 式中的等号成立 必须且只需 3 4 及 5 的第一个不等式成为等式 而使 3 4 成为等式的充要 20 第27讲Lp 空间简介 条件是 与都只差一常数因子 由于假设了从而 所以与只差一常数因子 即存在常数c 使进而 要使 5 中第一个不等式成为等式 必须有 21 第27讲Lp 空间简介 这意味着与的符号在E上几乎处处相同 从而由得所以 证毕 由定理2不难看到上的函数满足三角不等式 即对任意 22 第27讲Lp 空间简介 有 事实上 综上立知是上的距离对 定义 23 第27讲Lp 空间简介 则由距离的定义立得 i 当且仅当