高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质二平行线分线段成比例定理学案.docx

二平行线分线段成比例定理1掌握平行线分线段成比例定理及其推论2能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题1平行线分线段成比例定理文字语言三条平行线截两条直线，所得的对应线段_符号语言abc，直线m分别与a，b，c相交于点A，B，C，直线n分别与a，b，c相交于点D，E，F，则_图形语言作用证明分别在两条直线上的线段成比例(1)定理的条件与平行线等分线段定理的条件相同，它需要a，b，c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a，b，c相交，即被平行线a，b，c所截平行线的条数还可以更多(2)定理的结论还有，等可以归纳为，等，便于记忆(3)当截得的对应线段成比例，且比值为1时，则截得的线段相等，因此平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的扩充，而平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；平行线等分线段定理是证明线段相等的依据，而平行线分线段成比例定理是证明线段成比例的途径【做一做1】如图所示，abc，AB2，BC3，则等于()A B C D2推论文字语言平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段_符号语言直线DE分别与ABC的两边AB，AC所在直线交于D，E，且DEBC，则_图形语言作用证明三角形中的线段成比例【做一做21】如图所示，在ABC中，DEBC，若AD3，BD1，则等于()A1 B3 C D【做一做22】如图，ABCD，AC，BD相交于O点，BO7，DO3，AC25，则AO的长为()A10 B12.5C15 D17.5答案：1成比例【做一做1】Babc，.2成比例【做一做21】DDEBC，.【做一做22】DABCD，AOAC2517.5.比例的概念及有关性质剖析：(1)线段的比：用同一个长度单位去量两条线段，所得的长度比叫做这两条线段的比(2)比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段(3)比例的有关概念：已知四条线段a，b，c，d，如果或abcd，那么线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段d叫做线段a，b，c的第四比例项若或b2ac，那么线段b叫做线段a，c的比例中项(4)比例的性质：基本性质：abcdadbc.合比性质：如果，那么.等比性质：如果(bdn0)，那么.(5)线段的比与比例线段是既有区别又有联系的两个概念线段的比是对两条线段而言的，而比例线段是对四条线段而言的线段的比有顺序性，ab与ba通常是不相等的；比例线段也有顺序性，如线段a，b，c，d成比例，与线段a，c，b，d成比例不同题型一 证明线段成比例【例题1】如图，AD为ABC的中线，在AB上取点E，AC上取点F，使AEAF，求证：.分析：在这道题目中所证的比例组合都没有直接的联系，可以考虑把比例转移，过点C作CMEF，交AB于点M，交AD于点N，且BC的中点为D，可以考虑补出一个平行四边形来求解反思：(1)比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题应注意平行线的应用，在没有平行线时，可以添加平行线来促成比例线段的产生(2)利用平行线来转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的，如本题中，.题型二 证明线段相等【例题2】如图，在ABC中，E为中线AD上的一点，连接BE并延长，交AC于点F，求证：AFCF.分析：切入点是条件的应用，通过作平行线，证明，其中x是某条线段题型三 证明线段倒数和的等式【例题3】如图，ABBD于B，CDBD于D，连接AD，BC交于点E，EFBD于F，求证：.分析：转化为证明1.由于ABEFCD，将与化归为同一直线BD上的线段比就可证得反思：证明有关线段倒数和的等式时，常用的方法是先将其变形为线段比的和为定值的形式，然后化归为同一直线上的线段比题型四 计算线段长度的比值【例题4】如图，M是ABCD的边AB的中点，直线l过M分别交AD，AC于E，F，交CB的延长线于N，若AE2，AD6.求AFAC的值分析：反思：运用平行线分线段成比例定理及推论来计算比值，应分清相关三角形中的平行线段及所截的边，并注意在求解过程中运用比例的等比性质、合比性质等答案：【例题1】证明：如图，过点C作CMEF，交AB于点M，交AD于点N.AEAF，AMAC.AD为ABC的中线，BDCD.延长AD到G，使得DGAD，连接BG，CG，则四边形ABGC为平行四边形ABGC.CMEF，.又ABGC，AMAC，GCAB，.【例题2】证明：过点D作DHAC，交BF于点H，如图所示D是BC的中点，.，.又DHAF，.，AFCF.【例题3】证明：ABBD，CDBD，EFBD，ABEFCD，1，.【例题4】解：ADBC，即.1，AEBN.AE2，BCAD6，即AFAC15.1(2011广东汕头二模)如图，在四边形ABCD中，EFBC，FGAD，则_.2(2011广东广州二模)在梯形ABCD中，ADBC，AD2，BC5，点E，F分别在AB，CD上，且EFAD，若，则EF的长为_3如图，在梯形ABCD中，ABDC，一条直线平行于两底，且顺次交AD，BD，AC，BC于E，F，G，H.求证：EFGH.4如图所示，已知直线FD和ABC的BC边交于点D，与AC边交于点E，与BA的延长线交于点F，且BDDC，求证：AEFBECFA5如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，EF经过梯形对角线的交点O，且EFAD(1)求证：OEOF；(2)求证：.答案：11EFBC，.FGAD，1.2如图所示，连接AC交EF于G，由于EFAD，ADBC，则EGBC，所以.又，则，又BC5，则EGBC；同理可得GF，所以EFEG+GF.3分析：转化为证明.证明：因为EFAB，所以.因为GHAB，所以.因为DCEHAB，所以.所以，即EFGH.4分析：本题只需证即可由于与没有直接关系，必须寻找过渡比将它们联系起来，因此考虑添加平行线构造过渡比证明：过点A作AGBC，交DF于点G，如图所示AGBD，.又BDDC，.AGDC，.，即AEFBECFA.5分析