第1章概率论基础知识.ppt

2020 3 4 1 概率论与数理统计 主讲人 杨荣奎yangrk2004 四川大学数学学院 Probability Statistics 2020 3 4 2 概率论的诞生 分赌注问题 甲 乙两个赌徒按某种方式下注赌博 说定先胜t局将赢得全部赌注 但进行到甲胜r局 乙胜s局 r s t 因故不得不中止 试问如何分配这些赌注才公平合理 巴斯卡和费马在1654年给出了正确的解法 2020 3 4 3 第一章概率论基础知识 概率论是研究什么的 概率论 研究随机现象并揭示其统计规律性的科学 某车间有200台车床 它们独立地工作着 开工率为0 6 开工时耗电各为1千瓦 问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99 9 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产 2020 3 4 4 分析 若提供200KW 当然机床能正常工作 但浪费若提供120kW 电力又较少了一些利用后面讲的二项分布及中心极限定理可算出 提供141kW就够了 1 1样本空间与随机事件 2020 3 4 5 1 1 1随机试验 1 可以在相同条件下重复进行 2 试验结果不止一个 且可以预知一切可能的结果的取值范围 3 试验前不能确定会出现哪一个结果 随机试验的三个特点 2020 3 4 6 例 考虑试验E1 将一枚硬币抛掷两次 H T T H T T H H 可能结果为 H H H T T H T T 可见 该随机试验的所有可能的结果 构成一个集合 我们称该集合为这个随机试验的样本空间 2020 3 4 7 1 1 2样本空间samplespace 表示一个试验的所有可能的集合 称 为样本空间 而这个随机试验的每个基本结果称为样本点 记作 样本点 2020 3 4 8 随机事件 样本空间的子集 例 掷一颗骰子 观察出现的点数 1 2 3 4 5 6 样本空间 B 1 3 5 B发生当且仅当B中的样本点1 3 5中的某一个出现 事件B就是的一个子集 2020 3 4 9 从集合的角度看 2020 3 4 10 随机事件 基本事件 只含有一个样本点 的事件 记为 两个特殊事件 必然事件 不可能事件 2020 3 4 11 1 1 3事件的关系及运算 1 事件的包含与相等 A发生必然导致B发生 例如 A 1 B 1 3 5 A1 An中至少一个发生 2020 3 4 12 A B同时发生 3 1 1 3事件的关系及运算 例如 A 1 3 5 B 2 4 6 则AB 说明AB同时发生是不可能事件 2020 3 4 13 4 A发生而B不发生 A B 5 A与B互不相容 或互斥 1 1 3事件的关系及运算 B 2020 3 4 14 6 A的对立事件 1 1 3 续 须满足 注意对立事件与互斥的区别 综上得一般结论 2020 3 4 15 1 1 3事件的关系及运算 7 A1 A2 An构成完备事件组 完备事件组将样本空间分为有限个互不相容的事件的和 2020 3 4 16 运算律 Page4 交换律 结合律 分配律 对偶律 2020 3 4 17 例1 1 检查产品质量时 从一批产品中任意抽取5件进行检查 设事件 请用集合表示下列事件 1 完备事件组 2 发现两件或三件次品 3 最多两件次品 4 至少一件次品 2020 3 4 18 例1 2 事件A B C分别表示一同学高数 线代 概率三门课程成绩优秀 请用事件的关系运算表示 1 仅有线代优秀 2 高数 概率至少一门优秀而线代不优秀 3 至少两门优秀 4 恰有两门优秀 解 1 2 2020 3 4 19 例1 2 3 至少两门优秀 4 恰有两门优秀 2020 3 4 20 例1 3 解 1 n个零件全为正品 2 至少有一个零件不是正品 3 有且仅有一个零件不是正品 例 一工人生产了n个零件 设Ai表示 第i个零件是正品 i 1 2 n 试用文字叙述下列事件 1 2 3 2020 3 4 21 我们关心某个随机事件A发生的可能性大小 想法 用P A 来度量 P 的取值跟A有关 即 用一个与A有关函数来定义 因此 P 是个集函数 下面考虑该集函数的应具有的性质 1 2事件发生的概率 2020 3 4 22 1 2 1频率及性质 定义1 1在次重复试验中 若事件A发生了次 则称为事件A发生的频数 称为事件A发生的频率 记为 频率的性质 1 0 fn A 1 fn 1 fn 0 2020 3 4 23 频率及性质 大量实践表明 频率有波动性 但随着试验次数增加 频率总稳定在某个值附近 2020 3 4 24 设E是随机试验 是它的样本空间 对于每一个事件A赋予一个实数P A 称为事件A的概率 如果它满足以下三条 1 2 2概率的公理化定义 2020 3 4 25 概率的性质 一般地 若 2020 3 4 26 小结论 概率的性质 2020 3 4 27 6 一般加法公式 推广 概率的性质 2020 3 4 28 例1 6 A B为两事件 已知 解 2020 3 4 29 例1 6 续 A B为两事件 已知 接 2020 3 4 30 例1 7 2020 3 4 31 求解例1 7 2020 3 4 32 求解例1 7 续 2020 3 4 33 1 3 1古典概型 1 试验只有有限个可能结果 2 每次试验中 每个样本点出现的可能性相同 在古典概型中 若中有n个样本点 事件A中有k个样本点 则 2020 3 4 34 两个基本的摸球模型 口袋中有N只球 其中m个红球 余下是白球 他们除颜色以外没有差别 现随机从中摸球n次并观察摸出球的颜色 计算恰好摸到k个红球的概率 考虑如下两种情况 1 有放回摸球 2 不放回摸球 2020 3 4 35 1 有放回抽样样本空间中的样本点总数一共有Nn 取出的n个球究竟哪k个是红球Cnk m个白球中取k个mk N m 中取出n k个 N m n k 概率论中称为是二项分布的概率公式 2020 3 4 36 2 无放回抽样 我们感兴趣的是 n个中有k个红球 概率论中称为是超几何分布的概率公式 2020 3 4 37 例1 10 30只元件中有27只一等品 3只二等品 随机将30只元件均分装入三盒 求 1 每盒有一只二等品的概率 2 有一盒有3只二等品的概率 解 1 3只二等品均分到三个盒子有 1 2 3 3x2x1种可能性 余下的27只应该平均分到3个盒子中 2020 3 4 38 第2个问题 首先从3个盒子中任选一个出来放3只二等品 这个盒子的另7只从余下的27个一等品中选 例1 10 2020 3 4 39 1 3 2几何概型 例1 11随机在单位圆内掷一点M 求M点到原点距离小于1 4的概率 1 1 4 解 2020 3 4 40 几何概率的计算 作为一般的欧氏区域 m A 作为A的测度 一维是长度 2维是面积等 就得到几何概率计算方法 如果把 2020 3 4 41 例1 12 某货运码头仅能容一船卸货 而甲 乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时 设甲 乙两船在24小时内随时可能到达 求它们中任何一船都不需要等待码头空出的概率 解 2020 3 4 42 Y x 1 Y x 2 解 2020 3 4 43 例1 13蒲丰问题 1777年 法国数学家蒲丰取一根针 量出它的长度 然后在纸上画上一组间距相等的平行线 这根针的长度是这些平行线的距离的一半 把这根针随机地往画满了平行线的纸面上投去 小针有的与直线相交 有的落在两条平行直线之间 不与直线相交 这次实验共投针2212次 与直线相交的有704次 2212 704 3 142 得数竟然是 的近似值 这就是著名的蒲丰投针问题 2020 3 4 44 平行线的距离a 针的长度l 求针与平行线相交的概率 怎样描述针与直线相交的情况 X表示针的中点与最近的一条平行线的距离 2020 3 4 45 例1 13蒲丰问题 2020 3 4 46 取a 2L 投针N次 如果有k次与直线相交 则 的近似值为N k 例1 13蒲丰问题 2020 3 4 47 零概率事件不一定不发生 在 0 1 区间上任意取一个随机数 则这个随机数恰好等于0 5的概率是多少 0 1 0 5 P 点 0 5 的长度 0 1 区间的长度 0 2020 3 4 48 1 4 1条件概率 例1 14一个家庭中有两个小孩 已知其中一个是女孩 问另一个也是女孩的概率是多少 假定生男生女是等可能的 解 由题意 样本空间为 设B 其中一个是女孩 A 两个女孩 则B M F F M F F A F F 因此 要求的是 P A B 1 3 2020 3 4 49 定义1 3 P 16 设A B是两个事件 且 则称 为事件B发生的条件下事件A的条件概率 易知 条件概率具有如下性质 2020 3 4 50 条件概率的性质 2020 3 4 51 1 4 2乘法公式 2020 3 4 52 例1 16 2020 3 4 53 例1 16 2020 3 4 54 例1 17 2020 3 4 55 1 4 3全概率与贝叶斯公式 例1 18一在线计算机系统 有3条输入线 其性质如下表 通讯线 通讯量份额 无误差的讯息份额 1 2 3 0 4 0 35 0 25 0 9998 0 9999 0 9997 1 求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率 2020 3 4 56 例1 18 续 解 设事件B 一讯号无误差地被接受 Ai 讯号来自于第i条通讯线 i 1 2 3 由题意 问题转化为 已知 2020 3 4 57 例1 18 续 我们的做法是把样本空间分割成了3个不相交的部分 这样 事件B也被分割成3部分 利用乘法公式可得 2020 3 4 58 例1 18 续 原问题简化为 已知 2020 3 4 59 例1 18 续 2 已知一讯号是有误差地被接受 则这一讯号最有可能来自哪条通讯线路 解 由 1 已知P B 0 99981 想 本质是一个条件概率 2020 3 4 60 例1 18 续 最有可能来自第一条通讯线路 2020 3 4 61 定理1 1全概率与Bayes公式 设Ai是样本空间的完备事件组 P Ai 0 即 2020 3 4 62 例1 19 一盒中装有12个球 其中8个是新球 第一次比赛从盒中任取两球 使用后放入盒中 第二次比赛时再从盒中任取两球 求 1 第2次取出两个新球的概率 2 已知第2次取出两个新球 而第一次仅取出1个新球的概率 解 把第1次取球的所有可能情况 作为样本空间的划分 Ai 第1次取出i个新球 i 0 1 2 2020 3 4 63 例1 19 续 第1步 P A0 P A1 P A2 第2步 P B A0 P B A1 P B A2 第3步 写公式 第4步 利用Bayes公式计算第2问 2020 3 4 64 例1 19 续 一盒中装有12个球 其中8个是新球 第一次比赛从盒中任取两球 使用后放入盒中 第二次比赛时再从盒中任取两球 1 令Ai 第一次取出i个新球 i 0 1 2 同理 2 令B 第二次取出2个新球 计算P B Ai 2020 3 4 65 例1 19 续 0 2893 2 已知第2次取出两个新球 而第一次仅取出1个新球的概率 0 5333 2020 3 4 66 商店论箱出售玻璃杯 每箱20只 其中每箱含0 1 2只次品的概率分别为0 8 0 1 0 1 某顾客选中一箱 从中任选4只检查 结果都是好的 便买下了这一箱 问这一箱含有一个次品的概率是多少 课堂练习 解 设B 从一箱中任取4只检查 结果都是好的 A0 A1 A2分别表示事件每箱含0 1 2只次品 2020 3 4 67 已知 P A0 0 8 P A1 0 1 P A2 0 1 由Bayes公式 2020 3 4 68 医学统计分析 人群中患某种疾病的人数占总人数的0 5 一种血液化验以95 的概率将患有此病的人检查出阳性 但也以1 的概率将不患此病的人检查出阳性 现设某人检查出阳性 问他确实患有此病的概率 例1 20样本空间的另一种划分方式 将人群划分为 有病的 A和 没有病 AB 检查为阳性 2020 3 4 69 续 2020 3 4 70 1 5事件的独立性 定义1 4 设A B是随机试验E的两个事件 若 则称事件A B相互独立 性质 2020 3 4 71 证明事件的独立性 B A 2020 3 4 72 1 5 1事件的独立性 两两独立与相互独立 定义1 5 设A1 A2 An n 2 是n个事件 如果Ai Aj是其中任意两个事件 i j 有P AiAj P Ai P Aj 则称这n个事件两两独立 2020 3 4 73 注意相互独立与两两独立的区别 定义1 6设A1 A2 An n 2 是n个事件 如果 则称n个事件A1 A2 An相互独立 2020 3 4 74 例如 三个事件的独立 若三个事件A B C满足 P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C 则称事件A B C两两相互独立 若在此基础上还满足 P ABC P A P B P C 则称事件A B C相互独立 2020 3 4 75 利用