猜想、证明与拓展第一课时.doc

课题学习猜想、证明与拓广教案-潜龙学校九年级备课组 孙丽丽教学目标1、经历猜想、证明、拓广的过程,增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发展的新体验。2、在问题解决过程中，综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识。3、在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的重要性。4、在合作交流中扩展思路，发展推理能力。5、帮助学生积累研究数学问题的活动经验。教学重点与难点重点：1、体验“问题情境实验猜测验证证明拓广”的过程，学习处理问题的策略和方法。2、二次方程的模型建立与求解，方程组、函数等知识的综合应用。3、帮助学生积累研究数学问题的活动经验。难点：1、在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的思想方法,体会证明的重要性。2、含有字母的二次方程的求解。 教学程序教学设计设计意图问题提出抛出研究的问题：任意给定一个已知矩形，是否存在新矩形使它的周长和面积是已知矩形的周长和面积的2倍？先看一组例子，找一找：学生自主完成，并找出新矩形：新矩形的周长与面积同时是原矩形周长、面积的2倍。长宽周长面积已知矩形43新矩形小结：长4宽3时，新矩形存在。当长为4，宽为3时，学生能够通过试数的方式找到新矩形，但长为2，宽为1时，新矩形不容易通过试数找到，所以引起学生思考：新矩形存在吗？我们有没有新的办法解决呢？让学生产生强烈的问题意识。合作探究小组活动：当已知矩形长为2、宽为1时，周长为6、面积为2，同时扩大两倍得到周长为12、面积为4，这样的新矩形存在吗？方法一：利用方程或方程组求解设新矩形的长为x，则长宽周长面积已知矩形2162新矩形x6xy124x(6x)4 b24ac364143616200， 这个方程有解。 这样的矩形存在。方法二：利用函数图像求解课堂几何画板演示图像交点小结：长2宽1时，新矩形也存在。在巡视指导时对于有困难的小组及学生给予第一种方法的指导。巡视时,注意每一组的方法,是不是把几种方法都涉及了,若没有涉及,及时进行指导,以便在学生展示成果时,让学生有成功的体验。 若几种方法都有所体现，可以引导学生对比几类方法，进行方法的小结，体会数形结合、转化等思想方法，拓展思维空间。自主验证问题：这样的已知矩形和新矩形还存在吗？我们再找几组验证一下：各小组自己规定一组矩形长宽来验证，能否找到新的矩形周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？学生投影研究成果，小结：同学们的举例都存在，你有什么想法呢？在探究问题的方法基础上，再给出几组数据，让学生感受从特殊到一般过程中，进一步验证一些特殊情形。思维升华引出猜想：任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。矩形的形状太多了，仅以上这些例子能肯定这个结论吗？接下来，我们该怎么做才能证明这个结论成立呢？师生共同完成证明：若已知矩形的长和宽分别为m和n，是否有相同的结论？利用方程组转化为函数，图像交点（几何画板演示）验证存在性，再通过转化为一元二次方程求解证明猜想成立。前面将问题特殊化后，在解决时积累了不少方法，此时再将一般问题作为研究对象，符合一般认知规律，由于此问题涉及到解含有字母系数的一元二次方程，对于判断存在性，只需要研究判别式，但对于解是否大于0的问题还要讨论，对于多数学生来说会产生一定的困难，采用师生共析或告知的方式，使学生理解。思维总结通过这节课，猜想并验证了一个问题，如果以后再遇到类似的数学问题时，你会怎么做呢？在验证过程中，你还有哪些体会？预设回答：1、探究问题时，先从具体数据验证入手，再过渡到含有字母的证明。（特殊到一般）2、探究过程中方法可以多样化，有二次方程、分式方程、函数图像知识的应用。3、数形结合思想解决问题。4、数学知识之间是有联系的，虽然方法多样，但都可以转化为一元二次方程求解问题。总结归纳探究问题的策略及方法，过程中教师适当的引导和补充。思维拓广各小组提出问题，解决问题。可能问题：1、任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍呢？4倍呢？5倍？。2、任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面