《降次--解一元二次方程》 课件01.ppt

人教版九年级数学多媒体课件 配方法 复习回顾 等号两边都是整式 只含有一个未知数 一元 并且未知数的最高次数是2 二次 的方程 叫做一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 一元二次方程的一般形式 复习回顾 1 一元二次方程3y y 1 7 y 2 5化为一般形式为 其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 3y2 4y 9 0 3 4 9 2 已知关于x的方程 k2 1 x2 kx 1 0为一元二次方程 则k 1 有一桶油漆可刷的面积为1500dm2 李林用这桶油漆刚好刷完了10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面 你能算出盒子的棱长吗 分析 设正方体的棱长为xdm 则一个正方体的表面积为 6x2 dm2 根据题意 可得 10 6x2 1500 整理得 x2 25 5 2 25 x 5 因为x为棱长 故为正数 则x 5 要解方程10 6x2 1500 关键在于把一元二次方程化为一元一次方程 即降次 通过对方程10 6x2 1500的解答 可以发现 方程两边同时开平方即可达到降次的目的 你能求出方程 2x 1 2 5的解吗 方程x2 6x 9 2又如何解呢 分析 方程 2x 1 2 5左边是平方的形式 故可以方程左右两边同时开方 从而把方程转化为一元一次方程 探究 解 方程两边同时开方得 方程的根为 分析 方程x2 6x 9 2左边是完全平方式 则可以写成平方的形式 方程两边也就可以同时开平方降次 从而解出方程 探究 解 原方程整理为 x 3 2 2 方程两边同时开方 降次 得 则方程的根为 探究 由上可知 要方程两边同时开方求出方程的根 需要把方程转化为完全平方式等于常数的形式 完全平方式有什么特点 1 有三项 2 其中两项是平方项 且符号一致 3 第三项是两数积的2倍 练习 解下列方程 注意 方程两边需同时开平方 方程x2 6x 2如何解 此方程不能直接写成完全平方式等于常数的形式 故需要把方程左边凑成完全平方式的形式 x2 6x还差一个平方项 把6x分解为两数积的2倍 则知添上32即可凑成完全平方式 x2 6x 32 2 32 解 方程两边都加上32 得 即 x 3 2 11 则方程的根为 方程两边同时开方 降次 得 像上题 通过配成完全平方式的形式解出一元二次方程的根的方法 叫做配方法 可以发现 配方是为了降次 把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解 例题讲解 解下列方程 1 解 移项得 x2 8x 1 配方 得 x2 8x 42 1 42 x 4 2 15 x 4 则方程的根为 2 解 移项得 3x2 6x 4 配方 得 二次项系数化为1 得 因为实数的平方不会为负数 不论x取何值 x 1 2都不会为负数 则上式不成立 即原方程无实根 解方程3x2 6x 4时 为什么要先把二次项的系数化为1 求方程的根 需要配成完全平方式的形式 而完全平方公式中的两个平方项的系数都是1 先把二次项的系数化为1 更便于配成完全平方式的形式 用配方法解一元二次方程的步骤 1 通过移项 把含未知量的项移到等号的左边 常数项移到等号的右边 2 通过配方 把等号左边凑成完全平方式的形式 3 等号两边同时开方 求方程的根 练习 1 填空 52 5 102 10 12 2x 1 2 解下列方程 公式法 用配方法解一元二次方程的步骤 1 通过移项 把含未知量的项移到等号的左边 常数项移到等号的右边 2 通过配方 把等号左边凑成完全平方式的形式 3 等号两边同时开方 求方程的根 复习回顾 任何一元二次方程都可以写成一般形式 能否用配方法求出此方程的根 把二次项系数化为1 得 解 移项 得 配方 得 因为a 0 所以4a2 0 当b2 4ac 0时 则有 所以方程的根为 对于一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 当b2 4ac 0时 方程的根为 为什么 一元二次方程的求根公式 求一元二次方程的根时 把方程化为一般形式 ax2 bx c 0 a 0 当b2 4ac 0时 把a b c的值代入即可求出方程的根 利用求根公式求出方程的根的方法叫做公式法 例题讲解 解下列方程 解 1 把方程化为一般形式 a 1 b 3 c 1 5 b2 4ac 32 4 1 1 5 3 0 b2 4ac 4 2 4 1 4 0 b2 4ac 3 2 4 1 4 7 0 因为在实数范围内负数没有平方根 所以方程无实数根 对于一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 b2 4ac的范围与方程的根的情况有怎样的联系 1 当b2 4ac 0时 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有两个不等实数根 2 当b2 4ac 0时 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有两个相等实数根 3 当b2 4ac 0时 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 没有实数根 把一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 化为一般形式后 不用解方程 根据b2 4ac的范围则可以判断方程的根的情况 b2 4ac就为一元二次方程根的判别式 记为 b2 4ac 当k取什么值时 关于x的方程 1 方程有两个不相等的实根 2 方程有两个相等的实根 3 方程无实根 探究 解 1 当 8k 9 0 即k 时 方程有两个不相等的实数根 2 当 8k 9 0 即k 时 方程有一个的实数根 3 当 8k 9 0 即k 时 方程没有实数根 已知m为非负整数 且关于x的方程 有两个实数根 求m的值 解 方程有两个实数根 解得 m为非负整数 m 0或m 1 0 m 为什么 练习 2 解下列方程 谢谢 因式分解法 复习回顾 一元二次方程的解法有 1 配方法 2 公式法 1 当b2 4ac 0时 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有两个不等实数根 复习回顾 2 当b2 4ac 0时 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有两个相等实数根 3 当b2 4ac 0时 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 没有实数根 解 设这个数为x 则有 一个数的平方与它本身互为相反数 问 这个数是多少 x2 x 0 你可以有哪些方法解这个方程 除了配方法 公式法外 还有没有更简便的方法解这个方程呢 x2 x 0 方程右边为0 左边因式分解 得 x x 1 0 x x 1 0 x 0或 x 1 0 则x1 0 x2 1 x2 x 0 解 原方程整理得 可以发现 利用因式分解可以很快捷地解出方程 上述解法中 通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式 再使这两个一次式分别等于0 从而实现降次 求出方程的根 这种解法叫做因式分解法 1 什么样的一元二次方程可以用因式分解法来解 3 用因式分解法解一元二次方程 其关键是什么 2 用因式分解法解一元二方程 必须要先化成一般形式吗 例题讲解 解下列方程 x 2 0或3x 5 0 x1 2 x2 解 移项 得 x 2 3x 5 0 提公因式 2 3x 1 2 5 0 解 原方程可变形为 平方差公式 4 两个就是原方程的解 1 方程右边化为 2 将方程左边分解成两个的乘积 3 至少因式为零 得到两个一元一次方程 用因式分解法解一元二次方程的步骤 零 一次因式 有一个 一元一次方程的解 1 不计算 请你说出下列方程的根 练习 2 下面的解法正确吗 如果不正确 错误在哪 1 解方程 解 这个方程需要先转化为一般形式再求解 2 解方程 解 根据等式性质 等式两边都除以一个不为0的数时 等式仍然成立 上式中 方程两边同除以y 而y有可能为0 那么 这个方程应该怎样解呢 解 移项 得 因式分解 得 例题讲解 解方程 分析 等号右边不为0 需要先移项整理 使方程右边为0 再对方程左边因式分解 解 移项 合并得 因式分解 得 练习 1 2a 3 2 a 2 3a 4 2 4x 3 2 x 3 2 解下列方程 1 将方程变形 使方程的右边为零 2 将方程的左边因式分解 3 根据若A B 0 则A 0或B 0 将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程 因式分解法的基本步骤 小结 小结 一元二次方程的解法 1 配方法 2 公式法 3 因式分解法 适用任何一元二次方程 适用部分一元二次方程 谢谢 选择合适的方法解一元二次方程 只含有的 并且都可以化为的形式这样的方程叫做一元二次方程 驶向胜利的彼岸 一元二次方程的概念 把ax bx c a b c为常数 a 称为一元二次方程的一般形式 其中ax bx c分别称为二次项 一次项和常数项 a b分别称为二次项系数和一次项系数 一个未知数x 整式方程 ax bx c a b c为常数 a 方程4x x 2 5化成一般形式为 方程8x x2 4的二次项系数为 一次项为 常数项为 x2 4x x 24 若x2 9 则x 5 方程3x2 x的解是 6 方程4x x 2 0的解是 7 方程x2 2x 0的解是 8 已知两个数的和等于2 积等于 1 设其中一个数为x 可列方程 4x2 8x 5 0 1 8 4 4 2 3或 3 0或1 3 0或 2 0或2 X2 2x 1 o 你学过一元二次方程的哪些解法 说一说 因式分解法 开平方法 配方法 公式法 你能说出每一种解法的特点吗 方程的左边是完全平方式 右边是非负数 即形如x2 a a 0 直接开平方法 1 用因式分解法的条件是 方程左边能够分解 而右边等于零 因式分解法 2 理论依据是 如果两个因式的积等于零那么至少有一个因式等于零 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 方程的右边 0 二分 方程的左边因式分解 三化 方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程两个解 1 化1 把二次项系数化为1 2 移项 把常数项移到方程的右边 3 配方 方程两边同加一次项系数一半的平方 4 变形 化成 5 开平方 求解 配方法 解方程的基本步骤 一除 二移 三配 四化 五解 用公式法解一元二次方程的前提是 公式法 1 必需是一般形式的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 2 b2 4ac 0 用适当的方法解一元二次方程 完成后与你的同伴交流你的解法3x2 27 2 4x2 6x 0 3 x2 2x 5 4 2x2 3x 1 0 例1 用四种方法解方程9 x2 4x 4 4 4x2 12x 9 方法一 直接开平方法9 x 2 2 4 2x 3 2 3 x 2 2 2x 3 3 x 2 2 2x 3 或3 x 2 2 2x 3 9 x2 4x 4 4 4x2 12x 9 方法二 因式分解法9 x 2 2 4 2x 3 2 3 x 2 2 2 2x 3 2 0 3 x 2 2 2x 3 3 x 2 2 2x 3 0 x 7x 12 0 方法三 配方法 化成一般形式 得 7x2 12x 0 方法四 公式法 化成一般形式 得 7x2 12x 0 解 a 7 b 12 c 0 b2 4ac 12 2 4 7 0 144 一元二次方程 一元二次方程的定义 一元二次方程的解法 一元二次方程的应用 把握住 一个未知数 最高次数是2 整式方程 一般形式 ax bx c 0 a 0 直接开平方法 适应于形如 x k h h 0 型配方法 适应于任何一个一元二次方程公式法 适应于任何一个一元二次方程因式分解法 适应于左边能分解为两个一次式的积 右边是0的方程 例2 解方程 3x 2 2 8 3x 2 15 0 分析 可将3x 2看成一个整体 用换元法解题 解 设y 3x 2 得 y2 8y 15 0 y 3 y 5 0 y1 3 y2 5 3x 2 3或3x 2 5 x1 x2 1 例3 解方程 注意观察方程的左右两边的两项的次数和系数 解 1 填空 x2 3x 1 0 3x2 1 0 3t2 t 0 x2 4x 2 2x2 x 0 5 m 2 2 8 3y2 y 1 0 2x2 4x 1 0 x 2 2 2 x 2 适合运用直接开平方法适合运用因式分解法适合运用公式法适合运用配方法 3x2 1 0 5 m 2 2 8 3t2 t 0 2x2 x 0 x 2 2 2 x 2 x2 3x 1 0 3y2 y 1 0 2x2 4x 1 0 x2 4x 2 规律 一般地 当一元二次方程一次项系数为0时 ax2 c 0 应选用直接开平方法 若常数项为0 ax2 bx 0 应选用因式分解法 若一次项系数和常数项都不为0 ax2 bx c 0 先化为一般式 看一边的整式是否容易因式分解 若容易 宜选用因式分解法 不然选用公式法 不过当二次项系数是1 且一次项系数是偶数时 用配方法也较简单 公式法虽然是万能的 对任何一元二次方程都适用 但不一定是最简单的 因此在解方程时我们首先考虑能否应用 直接开平方法 因式分解法 等简单方法 若不行 再考虑公式法 适当也可考虑配方法 练习 用最好的方法求解下列方程1 3x 2 49 02 3x 4 4x 3 3 4y 1 y 解 3x 2 493x 2 7x x1 3 x2 解 法一 3x 4 4x 3 3x 4 4x 3或3x 4 4x 3 x 1或7x 7 x1 1 x2 1法二 3x 4 4x 3 2 0 3x 4 4x 3 3x 4x 3 0 7x 7 x 1 07x 7 0或 x 1 0