李庆扬-数值分析第五版第4章习题答案(20130714).pdf

第 4 章 复习与思考题 习题 1 给出计算积分的梯形公式及中矩形公式 说明它们的几何意义 答 用两端点的算术平均值作为 f 的近似值 这样导出的求积公式 d 2 a a ba f xxf af b 就是梯形求积公式 而如果改用区间中点 2 ba c 近似取代 f 则导出中矩形公式 d 2 a a ab f xxba f 几何意义的图形 略 2 什么是求积公式的代数精确度 梯形公式及中矩形公式的代数精确度是多少 答 如果某个求积公式对次数不超过 m 的多项式均能准确成立 但对于 m 1 次多项式就不 准确成立 则称该求积公式具有 m 次代数精度 梯形公式和中矩形公式的代数精度为 1 3 对给定求积公式的节点 给出两种计算求积系数的方法 由于是给定求积公式的节点 因此 不能使用高斯型求积公式 由于未说明是等距节点 因此不能用牛顿 科特斯求积公式 未找到明确的资料 答 插值型求积公式和 4 什么是牛顿 柯特斯求积 它的求积节点如何分布 它的代数精确度是多少 答 设积分区间 a b 划分为 n 等份 步长 h b a n 选取等距节点 k xakh 构造出的 插值型求积公式 0 n k nnk k IbaC f x 成为牛顿 柯特斯求积公式 式中 k n C称为柯特斯系数 其节点是等距分布的 代数精度为节点数 n 1 次 5 什么是辛普森求积公式 它的余项是什么 它的代数精确度是多少 当 n 2 时 牛顿 柯特斯求积公式即为辛普森求积公式 其余项为 4 4 1802 ba ba R ff 其 代数精度为 3 6 什么是复合求积法 给出复合梯形公式及其余项表达式 答 为了提高计算精度 通常把积分区间分成若干子区间 通常是等分 再在每个子区间 上使用低阶求积公式 这种方法称为复合求积法 复合梯形公式为 11 1 01 2 a 22 a b 32 nn kkk kk nn hh Tnf xf xff xf b ba h RfITf 7 给出复合辛普森公式及其余项表达式 如何估计它的截断误差 复合辛普森公式为 11 1 2 01 4 4 a 4 2 6 b 1802 nn kk kk nn h Snff xf xf b ba h RfISfa 8 什么是龙贝格求积 它有什么优点 龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法 它是在梯形公式 辛普森公式和柯特斯公式之间的 关系的基础上 构造出一种加速计算积分的方法 使用理查森外推算法 它在不增加计算量 的前提下提高了误差的精度 在等距基点的情况下 用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行 这样 前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用 且易于编程 龙贝格算法公式 1 11 41 1 2 3 4141 m kkk mmm mm TTTk 9 什么是高斯型求积公式 它的求积节点是如何确定的 它的代数精确度是多少 为何称 它是具有最高代数精确度的求积公式 答 如果求积公式 0 d an n kk k a f xxxA f x 具有 2n 1 n 为秋季节点数 次代数精度 则称其节点 k x为高斯点 求积公式为高斯型求 积公式 可以使用证明的方法求证 插值公式的代数精度不超过 2n 1 即回到了最后一个问题 根据老师的讲课 给出证明的方法 10 牛顿 柯特斯求积和高斯求积的节点分布有什么不同 对同样数目的节点 两种求积方 法哪个更精确 为什么 牛顿 柯特斯求积节点等距分布 高斯求积的节点分布是插值型多项式的零件 对同样数目的节点 高斯求积更精确 11 描述自动求积的一般步骤 怎样得到所需的误差估计 答 如果求积区间中被积函数变化很大 有的部分函数值变化剧烈 需要使用小不长 另一 部分函数值变化平缓 可以使用大步长 针对被积函数在区间上的不同情形采用不同的步长 使得在满足精度前提下积分计算工作量尽可能小 针对这类问题的算法技巧是在不同区间上 预测被积函数变化的剧烈程度确定响应步长 就是自动求积的一般步骤 12 怎样利用标准的一维求积公式计算矩形域上的二重积分 基本原则 累次积分 多重积分的辛普森公式 11 01 2 01 4 2 6 bd ac MM bbbb iiM aaaa ii f x y dydx k f x y dxf x ydxf x y dxf x ydx 对每一个积分再次利用辛普森公式 11 1 2 01 4 2 6 nn kk k a k b h f af xff xf bx dx 13 对给定函数 给出两种近似求导的方法 若给定函数值有扰动 在你的方法中怎样处理 这个问题 14 判断如下命题是否正确 1 如果被积函数在区间 a b 上连续 则它的黎曼 Riemann 积分一定存在 2 数值求积公式计算总是稳定的 3 代数精确度是衡量算法稳定性的一个重要指标 4 n 1 个点的插值型求积公式的代数精确度至少是 n 次 最多可达到 2n 1 次 5 高斯求积公式只能计算区间 1 1 上的积分 6 求积公式的阶数与所依据的插值多项式的次数一样 7 梯形公式与两点高斯公式精度一样 8 高斯求积公式系数都是正数 故计算总是稳定的 9 由于龙贝格求积节点与牛顿 柯特斯求积节点相同 因此它们的精度相同 10 阶数不同的高斯求积公式没有公共节点 1 正确 2 错误 3 错误 是衡量计算准确度的一个指标 4 正确 5 错误 可以通过变化使得计算时区间在 1 1 上 6 错误 典型的例子是 当 n 为偶数时 牛顿 柯斯特公式至少为 n 1 阶代数精度 7 错误 梯形公式 代数精度为 1 两点高斯公式代数精度为 3 8 正确 9 错误 龙贝格精度为 2n 牛顿 柯特斯精度最大为 n 1 10 错误 习题 1 确定下列求积公式中的待定参数 使其代数精度尽量高 并指明所构造出的求积公式所 具有的代数精度 1 0 101 hfAfAhfAdxxf h h 2 0 101 2 2 hfAfAhfAdxxf h h 3 3 3 2 1 21 1 1 xfxffdxxf 4 0 2 0 2 0 hffahhffhdxxf h 1 0 101 hfAfAhfAdxxf h h 由于需要确定 3 个 未知量 因此 需要给定 3 个方程 设 2 1 f xx x 有 101 11 322 11 2 0 2 3 hAAA hAhA hh Ah A 解出 101 1 0 1 2 1 3 4 3 1 3 hAAA Ah Ah Ah 令 3 f xx 有 333443 411 000 33333 h h hhh hhhhx dx 令 4 f xx 有 4445455 4212 00 333355 hh hh hhh hhhx dxxh 因此 具有 3 次代数精度 2 0 101 2 2 hfAfAhfAdxxf h h 由于需要确定 3 个 未知量 因此 需要给定 3 个方程 设 2 1 f xx x 有 101 11 322 11 4 0 16 3 hAAA hAhA hh Ah A 解出 101 1 0 1 4 8 3 4 3 8 3 hAAA Ah Ah Ah 令 3 f xx 有 333443 84888 000 33333 h h hhh hhhhx dx 令 4 f xx 有 2 4445455 2 84816164 00 333355 hh hh hhh hhhx dxxh 因此 具有 3 次代数精度 3 1 12 1 1 2 3 3f x dxff xf x 需要确定 2 个待定参数 因此 令 设 2 1 f xx x 有 12 22 12 2 1 23 3 0 1 23 3 2 1 23 3 3 xx xx 解出 0 6899 0 2899 0 6899 0 5 1 2 1 2266 x x x x 令 3 f xx 有 11 43 11 33 1 0 4 1 2 0 6899 3 0 2899 3 12 0 68993 0 2899 3 0 52788 xx dxf x dx fff 因此 具有 2 次代数精度 4 0 2 0 2 0 hffahhffhdxxf h 需要确定 2 个待定参数 因此 令 设 2 1 f xx x 有 22 3 33 0 0 22 22 3 hh hh h hah 解出 1 12 a h 为任意常数 令 3 f xx 有 4 3444 00 11 2 444 hh h x dxf x dxhhh 令 4 f xx 有 5 4555 00 11 2 536 hh h x dxf x dxhhh 所以代数精度为 3 2 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分 1 1 2 0 8 4 x dx n x 2 9 1 4xdxn 3 6 2 0 4sin 6dn 1 1 2 0 8 4 x dx n x 梯形公式 1 1 2 2 n nk k h Tf af xf b 8n 所以 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 k k xk 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0311 0 0615 0 0906 0 1176 0 1423 16440 0 1836 0 200 f x f x f x f x f x f x f x f x f x 所以有 1 8 1 0 2 1 2 0 1114 n k k h Tff xf 辛普森公式 111 1 2 001 4 2 6 nnn nkk kkk h Sf af xf xf b 4n 所以 0 1 2 3 4 4 k k xk 1 2 1 0 1 2 3 84 k k xk 所以 111 41 2 001 0 4 2 1 6 0 11157 nnn kk kkk h Sff xf xf 2 9 1 4xdxn 梯形公式 1 1 2 2 n nk k h Tf af xf b 4n 所以12 0 1 2 3 4 k xk k 1 0000 1 7321 2 2361 2 6458 3 000 0 1 0 4 k kf x 1 4 1 2 2 17 2278 n k k h Tf af xf b 辛普森公式 111 1 2 001 4 2 6 nnn nkk kkk h Sf af xf xf b 2n 所以14 0 1 2 k xk k 1 2 34 0 1 k xk k 所以 111 21 2 001 4 2 6 17 3321 nnn kk kkk h Sf af xf xf b 3 6 2 0 4sin 6dn 梯形公式 1 1 2 2 n nk k h Tf af xf b 6n 所以 0 1 2 3 4 5 6 36 k xk k 2 0000 1 9981 1 9924 1 9832 1 9705 1 9548 1 9 0 1 3 566 k kf x 1 6 1 2 2 1 0356 n k k h Tf af xf b 辛普森公式 111 1 2 001 4 2 6 nnn nkk kkk h Sf af xf xf b 3n 所以 0 1 2 3 18 k xk k 1 2 0 1 2 3618 k xk k 所以 111 31 2 001 4 2 6 1 3577 nnn kk kkk h Sf af xf xf b 3 直接验证柯特斯公式 2 4 具有 5 次代数精度 验证以下公式在 5 f xx 时 等式成立 在 6 f xx 时 等式不成立 01234 7 32 12 32 7 90 b a ba f x dxf xf xf xf xf x 验证过程同题 1 2345 1 f xx xxxx 时 以 5 f xx 为例 b a dxx ab bbaaba ab babbababaa ab bbabbababaa babbababaa babbababaaa ab b bababa a ab 5 66 4224 54322345 554322345 54322345 543223455 55555 6 2 6 151515151515 90 7 2434052709015 32 1 510105 8 3 1590270405243 32 1 7 90 7 4 3 32 2 12 4 3 327 90 6 f xx 时 b a dxx ab babbabababaa ab bbabbabababaa babbabababaa babbabababaaa ab b bababa a ab 6 77 6542332456 66542332456 6542332456 65423324566 66666 6 64 825 32 405 128 1710 16 195 128 1710 32 405 64 825 90 7 7291458121554013518 128 1 61520156 16 3 1813554012151458729 128 1 7 90 7 4 3 32 2 12 4 3 327 90 从而此求积公式最高具有 5 次代数精度 4 用辛普森公式求积分 1 0 dxe x 并估计误差 解 辛普森公式 4 62 baab Sf aff b 0 5 1 0 1 0 5 1 f fe fe 所以 0 51 1 0 4 0 5 1 6 1 14 6 0 63233 Sfff ee 余项为 44 a b 1802 ba ba R ff 40 1fee 0 06 1 25 1 3 47e 4 180 R f 5 推导下列三种矩形求积公式 2 2 ab f abafdxxf b a 2 2 ab f abbfdxxf b a 3 24 2 ab f ab ba fdxxf b a 解 本题有 2 中证明方式 解法 1 利用插值型求积公式的余项公式证明 1 1 1 1 m bb m mm aa f R fRx dxwx dxKf m 其中 221 0 11 1 2 n mmm kk k KbaA x mm 由于只用到 1 个插值点 x a 此时 m 0 n 0 此时插值基函数为 1 00 1 bb aa Al x dxdxba 所以 有 221 0 22 2 11 1 2 1 2 1 2 n mmm kk k KbaA x mm baba a ba 同理 当用到 1 个插值点 x b 此时 m 0 n 0 此时插值基函数为 1 00 1 bb aa Al x dxdxba 所以 有 221 0 22 2 11 1 2 1 2 1 2 n mmm kk k KbaA x mm baba b ba 1 和 2 即可证得 但对于 3 3 24 2 ab f ab ba fdxxf b a 使用此种方法需要调整 用到 1 个插值点 2 ba x 此时 m 0 n 0 此时插值基函数为 1 00 1 bb aa Al x dxdxba 所以 有 221 0 22 11 1 2 1 22 0 n mmm kk k KbaA x mm ba baba 说明对 m 0 时 求积公式没有误差 令 m 1 n 0 此时插值基函数为 1 00 1 bb aa Al x dxdxba 所以 有 221 0 332 3322 3 11 1 2 1 1 2 32 1111 0 5 121244 1 24 n mmm kk k KbaA x mm ba baba baa bab ba 即可证得 解法 2 利用微分中值定理证明 由微分中值定理有 axfafxf 从而 2 2 2 2 ab f abaf ax f xafdxaxfafdxxf b a b a b a 再由微分中值定理有 bxfbfxf 从而 2 2 2 2 ab f abbf bx f xbfdxbxfbfdxxf b a b a b a 由微分中值定理有 2 2 2 2 2 2 ba x fba x ba f ba fxf 从 而 3 3 32 2 24 2 4 6 2 2 6 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ab f ab ba f abf ab ba f ba x fba x ba fx ba f dx ba x fba x ba f ba fdxxf b a b a b a 6 若用复合梯形公式计算积分 1 0 x Ie dx 问区间 0 1 应分多少等份才能使截断误差不超 过 5 1 10 2 若改用辛普森公式 要达到同样精度区间 0 1 应分多少等份 本题为书上的例题 考核的是复合梯形公式和复合辛普森公式的误差与节点的关系 解 复合梯形公式余项 2 12 n ba Rfh f e 0 1f 225 111 10 12122 n ba Rfh fe n 解得 213212 849n 复合辛普森公式余项 4 4 2880 n ba Rfh f 4 e 0 1f 4 4 45 111 10 288028802 n ba Rfh fe n 解得 43 71n 需要 8 个节点 7 如果 0fx 证明用梯形公式计算积分 1 0 x Ie dx 所得结果比准确值I大 并说明 其几何意义 解 0fx 说明 f x在 0 1 区间上是一个内凹的函数 本题 选择梯形公式余项证明 1 1 2 0 0 0 12 nkk k ba Rff x dxA f xh f 所以 1 1 0 0 kk k If x dxA f x 即梯形公式计算积分 1 0 x Ie dx 所得结果比准确值I 大 几何解释 8 用龙贝格方法计算下列积分 要求误差不超过 5 10 1 1 0 2 x e dx 2 2 0 sinxxdx 3 3 2 0 1xx dx 解 龙贝格求积算法 本题还不会 特别是求 T0 还需要多看书 1 11 41 4141 m kkk mmm mm TTT 计算 T0 时的递推公式 1 21 0 2 1 22 n nn k k h TTf x 1 1 0 2 x e dx T 表如下 K h T0 T1 T2 T3 T4 0 1 0 6839397 1 0 5 2 0 25 3 0 125 4 0 0625 9 用辛普森公式的自适应积分计算 1 5 2 1 lnxxdx 允许误差 3 10 本题考核自适应积分 计算量较大 关于步长的确定还需要再复习一下 10 是构造高斯型求积公式 1 0011 0 1 f x dxA f xA f x x 本题同例 9 考核高斯节点的求法和高斯公式的构造方法 解 具有最高代数精度的求积公式是高斯型求积公式 其节点为关于权函数 1 x x 的 正交多项式的零点 01 x x 设 2 01 w xxxxxxbxc 由于正交性 w x与1 x 带权正交 即得 11 00 11 0 0w x dxxw x dx xx 于是有 1 2 0 1 2 0 122 20 53 222 0 753 xbxc dxbc x x xbxc dxbc 解得 6 7 3 35 b c 所以 2 63 735 w xxx 解得 0 1 0 1156 0 7416 x x 由于两个节点的高斯型求积公式具有 3 次代数精度 故公式对 23 1 f xx xx 成立 为方 便计算 A0 A1 取前两个 当 1f x 时 1 01 0 11 001 101 00 1 2 12 0 11560 7146 3 AAdx x A xAxAAxdxxdx x 解得 0 1 1 273 7270 A A 所以高斯型求积公式为 1 0 1 1 273 0 1156 0 727 0 7416 f x dxff x 11 用2 3n 的高斯 勒让德公式计算积分 3 1 sin x exdx 本题考查积分区间的变化 高斯 勒让德公式 解 高斯 勒让德积分区间为 1 1 因此需要进行区间变化 则 31 2 11 1 2 1 sinsin 2 2 sin 2 xx x exdxexd x exdx 即 变化区间后 2 sin 2 x f xex 当 n 2 时 为 3 点的高斯型求积公式 由表 4 7 高斯节点为 0 1 2 0 7745967 0 0 7745967 x x x 系数为 02 1 0 5555556 0 AA A 所以高斯 勒让德即公式为 1 2 1 sin 2 0 5555556 0 7745967 0 8888889 0 0 5555556 0 7 10 94 745967 84 x exdxfff 同理可得 3 点的高斯 勒让德计算 不再计算 12 卫星轨道是一个椭圆 椭圆周长的计算公式是 2 2 2 0 41sin c Sad a 这里 a 是椭圆的半长轴 c 是地球中心与轨道中心 椭圆中心 的距离 记 h 为近地点距离 H 为 远地点距离 6371R 公里为地球半径 则 2 2aRHh 2cHh 我国 第一颗人造卫星近地点距离439h 公里 远地点距离为2384H 公里 试求卫星轨道的 周长 本题属于沿线积分求周长的题型 解 5 7782 2 439238463712 2 2 hHR a 5 972 2 4392384 2 hH c 22 2 2 22 00 972 5 41sin311301sin 7782 5 c Sadd a 则有 2 2 972 5 1sin 7782 5 f 使用复合梯形公式或复合辛普森公式求解 设梯形公式节点为 n 6 辛普森公式 n 3 所以 5 0 12 6 4 3 122 k 1 0000 0 9995 0 9980 0 9961 0 9941 0 9927 0 9922 k f 所以 1 1 4 3110 0 22 4 8707 10 n k h Sfff 使用辛普森公式 1 2 0 6 3 2 5 12 4 12 k k 1 0000 0 9980 0 9941 0 92 2 9 k f 1 2 0 9995 0 9961 0 9927 k f 11 1 2 01 4 3110 0 4 2 62 4 8708 10 nn kk kk h Sffff 两者计算精度基本相当 13 证明等式 35 24 sin 3 5 n nnn 试依据sin 3 6 12 nn n 的值 用外推 算法求 的近似值 14 用下列方法计算积分 3 1 1 dy y 并比较结果 1 龙贝格方法 2 三点及五点高斯公式 3 将积分区间分为四等分 用复化两点高斯公式 三点及五点高斯公式 需要将区间化为 1 1 用复化两点高斯公式 需要将区间化为 1 1 15 用 n 2 的高斯 拉盖尔求积公式计算积分 2 0 1 x x e dx e 本题需要先构造高斯 拉盖尔求积公式的形式 随后查表即可求得 22 00 1 11 x x xx e dxedx ee 所以 2 1 1 x f x e 查表 4 8 n 2 时有 0 1 2 0 415774557 2 294280360 6 289945083 x x x 0 1 2 0 711093010 0 278517734 0 010389257 A A A 则 0 1 2 0 69668 0 98993 1 x x x 有 001122 2 0 0 7815 1 1 1 x x edxA f xA f xA f x e 16 用辛普森公式 取 N M 2 计算二重积分 0 50 5 00 y x edydx 本题考核多重积分的求法 考核多重积分的辛普森公式 对其中的单个积分再次应用辛普森 公式求积 解 多重积分的辛普森公式 11 01 2 01 4 2 6 bd ac MM bbbb iiM aaaa