高考复习理科数学专题强化训练：立体几何含解析 (2).docx

教学资料范本高考复习理科数学专题强化训练：立体几何含解析 (2)编 辑：_时 间：_(十八)立体几何一、选择题120xx石家庄一模已知三棱锥PABC中、PCAB、ABC是边长为2的正三角形、PB4、PBC60；(1)证明：平面PAC平面ABC；(2)设F为棱PA的中点、求二面角PBCF的余弦值解：(1)在PBC中、PBC60、BC2、PB4、由余弦定理可得PC2、PC2BC2PB2、PCBC、又PCAB、ABBCB、PC平面ABC、PC平面PAC、平面PAC平面ABC.(2)解法一：在平面ABC中、过点C作CMCA、以CA、CM、CP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0,0,0)、P(0,0,2)、A(2,0,0)、B(1、0)、F(1,0、)设平面PBC的法向量为m(x1、y1、z1)、则取y11、则x1、z10、即m(、1,0)为平面PBC的一个法向量设平面BCF的法向量为n(x2、y2、z2)、则取x2、则y21、z21、即n(、1、1)为平面BCF的一个法向量、|cosm、n|、由题图可知二面角PBCF为锐角、二面角PBCF的余弦值为.解法二：由(1)可知PC平面ABC、又PC平面PBC、平面PBC平面ABC、二面角PBCF的余弦值就是二面角ABCF的正弦值、作FMAC于点M、则FM平面ABC、作MNBC于点N、连接FN、则FNBC、FNM为二面角ABCF的平面角点F为PA的中点、点M为AC的中点、在RtFMN中、FMPC、MN、FN、sinFNM、二面角PBCF的余弦值为.220xx郑州质量预测二如图、等腰直角三角形ABC中、B90、平面ABEF平面ABC,2AFABBE、FAB60、AFBE.(1)求证：BCBF；(2)求二面角FCEB的正弦值解：(1)等腰直角三角形ABC中、B90、即BCAB、又平面ABC平面ABEF、平面ABC平面ABEFAB、BC平面ABC、BC平面ABEF、又BF平面ABEF、BCBF.(2)由(1)知BC平面ABEF、故建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz、设AF1、则由已知可得B(0,0,0)、C(0,2,0)、F、E(1,0、)、(1,2、)、(0,2,0)、设平面CEF的法向量为n(x、y、z)、则有令x、则z5、y2、即n(、2、5)为平面CEF的一个法向量设平面BCE的法向量为m(x1、y1、z1)、则有y10、x1z1、令x1、则m(、0,1)为平面BCE的一个法向量设二面角FCEB的平面角为、则|cos|、sin、二面角FCEB的正弦值为.320xx太原一模如图、在五面体ABCDEF中、四边形ABCD是直角梯形、ABCD、ADCD、四边形CDEF是菱形、DCF60、CD2AD2AB、AEAD.(1)证明：CEAF；(2)已知点P在线段BC上、且CPCB、若二面角ADFP的大小为60、求实数的值解：(1)四边形CDEF是菱形、DECD2AD、CEDF、AEAD、AE25AD2AD2DE2、ADDE、ADCD、AD平面CDEF、ADCE、DFADD.CE平面ADF、AF平面ADF、CEAF.(2)由(1)知以D为坐标原点、的方向为x轴的正方向、|为单位长度、的方向为y轴的正方向、建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz、由题设可知D(0,0,0)、A(1,0,0)、B(1,1,0)、C(0,2,0)、E(0、1、)、F(0,1、)、(0,1、)、(、0)、(、2、0)、设m(x、y、z)是平面DFP的法向量、则、令z1、则、m为平面DFP的一个法向量由(1)可知(0、3、)是平面ADF的一个法向量、二面角ADFP的大小为60、cos60|、.420xx洛阳统考如图1、平面多边形PABCD中、PAPD、AD2DC2BC4、ADBC、APPD、ADDC、E为PD的中点、现将APD沿AD折起、如图2、使PC2.图1图2(1)证明：CE平面ABP；(2)求直线AE与平面ABP所成角的正弦值解：(1)取PA的中点H、连接HE、BH、如图E为PD的中点、HE为APD的中位线、HEAD、且AEAD.又ADBC、BCAD、HEBC、HEBC、四边形BCEH为平行四边形、CEBH.BH平面ABP、CE平面ABP、CE平面ABP.(2)由题意知PAD为等腰直角三角形、四边形ABCD为直角梯形取AD的中点F、连接BF、PF、AD2BC4、平面多边形PABCD中、P、F、B三点共线、且PFBF2、翻折后、PFAD、BFAD、PFBFF、DF平面PBF、BC平面PBF、PB平面PBF、BCPB.在直角三角形PBC中、PC2、BC2、PB2、PBF为等边三角形取BF的中点O、DC的中点M、连接PO、OM、则POBF、DF平面PBF、DFPO.又DFBFF、PO平面ABCD.以O为原点、的方向分别为x、y、z轴的正方向、建立空间直角坐标系、则B(1,0,0)、D(1,2,0)、P(0,0、)、A(1、2、0)、E、(2,2,0)、(1,0、)设平面ABP的法向量为n(x、y、z)、则、故可取n(3、3、)cosn、直线AE与平面ABP所成角的正弦值为.520xx辽宁高考模拟如图、在多面体ABCDEF中、平面ADEF平面ABCD.四边形ADEF为正方形、四边形ABCD为梯形、且ADBC、ABD是边长为1的等边三角形、M为线段BD中点、BC3.(1)求证：AFBD; (2)求直线MF与平面CDE所成角的正弦值；(3)线段BD上是否存在点N、使得直线CE/平面AFN？若存在、求的值；若不存在、请说明理由解：(1)证明：因为ADEF为正方形、所以AFAD.又因为平面ADEF平面ABCD、且平面ADEF平面ABCDAD、所以AF平面ABCD、BD平面ABCD、所以AFBD.(2)取AD中点O、EF中点K、连接OB、OK、则在ABD中、OBOD、在正方形ADEF中、OKOD.又平面ADEF平面ABCD、则OB平面ADEF、所以OBOK、即OB, OD, OK两两垂直分别以OB、OD、OK为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图), 则B、D、C、E、M、F所以、(0,0,1)设平面CDE的一个法向量为n(x、y、z)、则、即.令x5、则y、则n(5、0)设直线MF与平面CDE所成角为、sin|cos、n|.(3) 要使直线CE平面AFN、只需ANCD.设、0,1、则、所以xn、yn、zn0、N、所以.又 (、0)、由、得 、解得0,1、所以线段BD上存在点N、使得直线CE平面AFN、且.620xx福州质量抽测如图、在四棱锥PABCD中、底面ABCD为正方形、PA平面ABCD、E为AD的中点、AC交BE于点F、G为PCD的重心(1)求证：FG平面PAD；(2)若PAAD、点H在线段PD上、且PH2HD、求二面角HFGC的余弦值解：(1)因为AEBC、所以AEFCBF、因为E为AD的中点、所以2AEADBC、所以CF2AF.如图、延长CG、交PD于M、连接AM、因为G为PCD的重心、所以M为PD的中点、且CG2GM、所以FGAM、因为AM平面PAD、FG平面PAD、所以FG平面PAD.(2)以A为坐标原点、分别以AB、AD、AP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系设PAAD3、则C(3,3,0)、D(0,3,0)、P(0,0,3)、F(1,1,0)因为PH2HD、所以H(0,2,1)因为G为PCD的重心、所以G(1,2,1)设平面FGC的法向量为n1(x1、y1、z1).(2,2,0)、(0,1,1)、则、所以、取x11、则y11、z11、所以n1(1、1,1)为平面FGC的一个法向量设平面FGH的法向量为n2(x2、y2、z2).(1,1,1)、则、所以、则x20、取y21、则z21、所以n2(0,1、1)为平面FGH的一个法向量所以cosn1、n2.由图可知、该二面角为钝角、所以二面角HFGC的余弦值为.720xx浙江卷如图、已知三棱柱ABCA1B1C1、平面A1ACC1平面ABC、ABC90、BAC30、A1AA1CAC、E、F分别是AC、A1B1的中点(1)证明：EFBC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值解：解法一：(1)如图、连接A1E、因为A1AA1C、E是AC的中点、所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC、A1E平面A1ACC1、平面A1ACC1平面ABCAC、所以、A1E平面ABC、则A1EBC.又因为A1FAB、ABC90、故BCA1F.又A1EA1FA1、所以BC平面A1EF.又EF平面A1EF因此EFBC.(2)取BC的中点G、连接EG、GF、则四边形EGFA1是平行四边形由于A1E平面ABC、故A1EEG、所以平行四边形EGFA1为矩形连接A1G交EF于O、由(1)得BC平面EGFA1、则平面A1BC平面EGFA1、所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角)不妨设AC4、则在RtA1EG中、A1E2、EG.由于O为A1G的中点、故EOOG、所以cosEOG.因此、直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.解法二：(1)连接A1E、因为A1AA1C、E是AC的中点、所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC、A1E平面A1ACC1、平面A1ACC1平面ABCAC、所以、A1E平面ABC.如图、以点E为原点、分别以射线EC、EA1为y、z轴的正半轴、建立空间直角坐标系Exyz.不妨设AC4、则A1(0,0,2)、B(、1,0)、F、C(0,2,0)因此、(、1,0)由0得EFBC.(2)设直线EF与平面A1BC所成角为.由(1)可得(、1,0)、(0,2、2)设平面A1BC的法向量为n(x、y、z)由、得取n(1、1)、故sin|cos、n|.因此、直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.820xx北京卷如图、在四棱锥PABCD中、PA平面ABCD、ADCD、ADBC、PAADCD2、BC3.E为PD的中点、点F在PC上、且.(1)求证：CD平面PAD；(2)求二面角FAEP的余弦值；(3)设点G在PB上、且.判断直线AG是否在平面AEF内、说明理由解：(1)因为PA平面ABCD、所以PACD.又因为ADCD、PAADA、所以CD平面PAD.(2)过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA平面ABCD、所以PAAM、PAAD.如图建立空间直角坐标系Axyz、则A(0,0,0)、B(2、1,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)因为E为PD