二次函数综合应用上课.ppt

二次函数综合应用 2017中考数学总复习 蕲春县八里湖实验学校陶红权 二次函数之中考解读 二次函数在中考中占有非常重要的地位 是中考中的热点 重点也是难点 二次函数题型在中考试题中涵盖选择以及解答题 很多时候会涉及到压轴题 2017年中考说明解读 二次函数题考虑突出以二次函数核心知识为主线的考查 可考虑围绕在一定情境下自然生成的二次函数问题展开探究 课前热身 1 已知A B两点是平行于x轴的直线上的任意两点 点A的横坐标是m 点B的横坐标是n 则线段AB 2 已知如图 A B是直线l同一侧的任意两点 请在直线l上求作一点P 使得PA PB的和最小 例 如图 已知抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴为x 1 且抛物线经过A 1 0 C 0 3 两点 与x轴交于另一点B 1 求这条抛物线所对应的函数解析式 自主探究 解 1 根据题意 y ax2 bx c的对称轴为x 1 且过A 1 0 C 0 3 可得 抛物线所对应的函数解析式为y x2 2x 3 二次函数常用的几种解析式 一般式y ax2 bx c a 0 已知三个点坐标三对对应值 选择一般式 顶点式y a x h 2 k a 0 已知顶点坐标或对称轴或最值 选择顶点式 交点式y a x x1 x x2 a 0 已知抛物线与x轴的两交点坐标 选择交点式 用待定系数法确定二次函数的解析式时 应该根据条件的特点 恰当地选用一种函数表达式 解题小结 求解二次函数解析式 例 如图 已知抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴为x 1 且抛物线经过A 1 0 C 0 3 两点 与x轴交于另一点B 2 在抛物线的对称轴x 1上求一点M 使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小 并求出此时点M的坐标 自主探究 分析 点M到点A的距离与到点C的距离之和即是MA MC 本题实质是求定直线上一动点到两定点的和最小问题 例 如图 已知抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴为x 1 且抛物线经过A 1 0 C 0 3 两点 与x轴交于另一点B 2 在抛物线的对称轴x 1上求一点M 使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小 并求出此时点M的坐标 自主探究 解 2 由y x2 2x 3可得 抛物线与x轴的另一交点B 3 0 如图 连接BC 交对称轴x 1于点M 因为点M在对称轴上 MA MB 所以直线BC与对称轴x 1的交点即为所求的M点 设直线BC的函数关系式为y kx b 解 2 由y x2 2x 3可得 抛物线与x轴的另一交点B 3 0 如图 连接BC 交对称轴x 1于点M 因为点M在对称轴上 MA MB 所以直线BC与对称轴x 1的交点即为所求的M点由B 3 0 C 0 3 解得直线BC y x 3 由x 1 得y 2 故当点M的坐标为 1 2 时 点M到点A的距离与到点C的距离之和最小 自主探究 例 如图 已知抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴为x 1 且抛物线经过A 1 0 C 0 3 两点 与x轴交于另一点B 3 在抛物线的对称轴x 1上求一点N 使点N到点A的距离与到点C的距离之差最大 并求出此时点N的坐标 自主探究 分析 点N到点A的距离与到点C的距离之差即是NA NC或NC NA 本题实质是求定直线上一动点到两定点的差最大问题 例 如图 已知抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴为x 1 且抛物线经过A 1 0 C 0 3 两点 与x轴交于另一点B 3 在抛物线的对称轴x 1上求一点N 使点N到点A的距离与到点C的距离之差最大 并求出此时点N的坐标 自主探究 解 3 由题意可得 当点A C N不在同一直线上时 这三个点总能够成三角形 此时总有NA NC AC 只有当这三点在同一直线上时 NA NC AC 所以连接AC 交对称轴x 1于点N 即为所求的N点 N 设直线AC的函数关系式为y kx b 由A 1 0 C 0 3 解得y 3x 3 由x 1 解得y 6 故当点M的坐标为 1 6 时 点N到点A的距离与到点C的距离之差最大 自主探究 N 解题小结 求定直线一动点到两定点距离和或差问题 距离和最小 三点共线 距离差最大 三点共线 N 例 如图 已知抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴为x 1 且抛物线经过A 1 0 C 0 3 两点 与x轴交于另一点B 4 点Q为线段BC上的一个动点 过点Q作QH y轴交抛物线于点H 求点Q在运动的过程中QH最长时四边形QMNH的面积 小组合作 解题小结 函数与几何综合题 认真审题 画出正确图形 理顺解题思路 寻找题中的数量关系 能够利用抛物线上点的坐标来表示出相关线段的长 并构建等量关系 能够利用抛物线上点的坐标来表示出相关线段的长 并构建等量关系 例 如图 已知抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴为x 1 且抛物线经过A 1 0 C 0 3 两点 与x轴交于另一点B 5 设点P为抛物线的对称轴x 1上的一动点 求使点C B P三点构成直角三角形的点P的坐标 师生合作 解 5 当以点C为直角顶点时 如图 设此时点P的坐标为 1 m 抛物线的对称轴交x轴于点F 1 0 连接PC PB 作PD垂直y轴于点D 则D 0 m 在Rt CDP中 CD m 3 m 3 DP 1 CP2 CD2 DP2 m 3 2 1 在Rt PFB中 PF m FB 3 1 2 PB2 PF2 FB2 m2 4 在Rt COB中 CB2 OB2 OC2 32 32 18 当 PCB 90 时 有CP2 CB2 PB2 即 m 3 2 1 18 m2 4 解得m 4 使 PCB 90 的点P的坐标为 1 4 你能求出其余两种情况下点P的坐标吗 解题小结 满足条件的多解题 分类讨论 在解题过程中 应充分考虑题中所给的条件 结合图形 分析出满足条件的所有情况 中考中常见的涉及到几何图形的分类讨论有三点构成直角三角形 等腰三角形 等腰直角三角形 平行四边形等 求解过程中还要注意各种情况间的相关的位置及数量关系 评价小结 通过本节课的学习 你有哪些收获 在复习中应加强自己的多向思维 优化思维品质 克服思维的片面性 不断提高解题能力及增强自信心 关于二次函数复习的建议 扎实复习好基础知识 训练好基本技能 对二次函数的核心知识应该要有深刻的理解 对以二次函数为背景的综合题型 不能放弃 仍然要精选例题和练习重点进行复习 例 如图 已知抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴为x 1 且抛物线经过A 1 0 C 0 3 两点 与x轴交于另一点B 6 若将抛物线沿x轴翻折 求出此时的抛物线的解析式 课外演练 分析 新抛物线与原抛物线关于x轴对称 要求出抛物线的解析式 应找出新抛物线上对应点的坐标或者相关条件 解 y x2 2x 3 x 1 2 4 解题小结 在图形变换下求解抛物线解析式的方法就是找出对应点的坐标或图形的性质 例 如图 已知抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴为x 1 且抛物线经过A 1 0 C 0 3 两点 与x轴交于另一点B 7 如图抛物线y x2 2x 3顶点为E上 连结BD 与抛物的对称轴交于点F 点P为线段BD上的一个动点 过点P作PH EF交抛物线于点H 设点P的横坐标为m 用含m的代数式表示线段PH的长 并求出m当为何值时 四边形PHEF为平行四边形 设 BDH的面积为s 求s与m的函数关系式 变式训练 分析 要解决这类问题 关键在于能正确用含有m的式子表示出相关线段的长 再利用题中给出的条件构建等量关系 解 7 设直线BD的函数关系式为 y kx b 把B 3 0 D 0 3 分别代入得 解得 k 1 b 3 所以直线BD的函数关系式为 当x 1时 y 1 3 2 F 1 2 当x m时 y m 3 P m m 3 在y x2 2x 3中 当x 1时 y 4 E 1 4 当x m时y m2 2m 3 H m m2 2m 3 线段FE 4 2 2 线段PH m2 3m PH EF 当PH EF时 四边形PHEF为平行四边形 由解得 不合题意 舍去 因此 当m 2时 四边形PHEF为平行四边形 变式训练 例 如图 已知抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴为x 1 且抛物线经过A 1 0 C 0 3 两点 与x轴交于另一点B 7 如