《电磁场理论基础》课后答案.pdf

中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 1 45 1 矢量分析矢量分析 1 1 教材 教材 1 1 设 设 求 求 f 解 f 1 r r 1 r r r r r 1 2 教材 教材 1 2 设 设 求 求 f 解 f 1 r r 1 r r r r r 1 3 教材 教材 1 3 证明 证明 证明 r nr r nr r r nr r 1 4 教材 教材 1 4 证明 证明 证明 1 r r r x x r y y r z z r r 3x r r 3y r r 3z r 3r 3r r 0 1 5 教材 教材 1 5 证明 证明 证明 r r 1 r r 1 r r 3 r r r 3 r 3 r r r 3 r 0 1 6 教材 教材 1 6 证明 证明 证明 f f x x f y y f z z x y z x y z f x f y f z x f y z f y z y f x z f x z z f x y f x y 0 1 7 教材 教材 1 7 证明 证明 证明 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 2 45 A x A y A z y A x A z z A x A y A x y A x z A x y A y z A x z A y z 0 1 8 教材 教材 1 8 证明 证明 证明 A B A B A B A B A B B A B A A B A B B A B A 1 9 教材 教材 1 13 证明 证明 证明 f g f g f g f 1 g 1 g f f g g 1 g f g f f g g 1 10 教材 教材 1 14 1 证明 证明 2 求 求 使 使 解 1 f r f r 2 df dr C r f r C r C 1 11 教材 教材 1 15 证明 证明 证明 f f f f f f f f f f f f f f 0 1 12 教材 教材 1 16 证明平面格林定理式 证明平面格林定理式 可以写成可以写成 B ds B n d 形式 求出形式 求出 与 与 M N 的关系 的关系 解 有B n d Mdx Ndy 且n d dxy dyx 再考虑 B N M 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 3 45 则可令B Nx My 1 13 教材 教材 1 17 证明在一般正交曲线坐标系中 证明在一般正交曲线坐标系中 的展开式的展开式 f 1 h h h u h h h f u u h h h f u u h h h f u 证明 f 1 h f u u 1 h f u u 1 h f u u f f 1 h h h u h h f u h h f u h h f 1 h h h u h h h f u u h h h f u u h h h f u 1 14 教材 教材 1 18 证明 证明 证明 r x x y y z z 3 r x y z x y z xyz 0 1 15 在圆柱坐标系 圆球坐标系中分别计算拉梅系数 并写出梯度 散度 旋度的表达式 在圆柱坐标系 圆球坐标系中分别计算拉梅系数 并写出梯度 散度 旋度的表达式 解 圆柱坐标系中 x cos y sin z z h cos sin 1 h sin cos h 1 z z A 1 A A z A 1 A 1 A z A A 1 z z A A A 圆球坐标系中 x rsin cos y rsin sin z rcos h cos sin sin sin cos 1 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 4 45 h r cos cos r sin cos r sin r h r sin sin r cos sin rsin r r r rsin A 1 r sin r r sin A rsin A rA 1 r sin r r sin A 1 rsin sin A 1 rsin A A 1 r sin r r rsin r A rA rsin A 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 5 45 2 静电场静电场 2 1 教材 教材 2 1 如图所示 有两无限大的荷电平面 其面电荷密度分别为 如图所示 有两无限大的荷电平面 其面电荷密度分别为 和和 两 平面的间距为 两 平面的间距为 d 求空间三个区域内的电场分布 求空间三个区域内的电场分布 解 取坐标系 x 轴垂直于两电荷平面 坐标原点位于两平面中心 由高斯定律 得 E x 0 x d 2 E x x x d 2 2 2 教材 教材 2 2 一半径为 一半径为 a 的圆环 环上均匀分布着线电荷 其线电荷密度为的圆环 环上均匀分布着线电荷 其线电荷密度为 求圆 环轴线上任一点处的电场 求圆 环轴线上任一点处的电场 解 取直角坐标系 原点位于圆环中心 z 轴垂直于圆环面 显然轴线上电场方向为垂直于 圆环面 远离圆环 E 4 r z r d z 4 z a ad az 2 z a 2 3 教材 教材 2 3 半径为 半径为 a 的均匀带电半球的体电荷密度为 试计算底面边缘上任一点的 电位与电场 提示 建立极坐标系 的均匀带电半球的体电荷密度为 试计算底面边缘上任一点的 电位与电场 提示 建立极坐标系 解 以待求点为原点建立极坐标系 电位为 cos sin a 2a sin cos a 2asin cos r sin 4 r dr d d 4 2a sin cos d d a 4 sin d a 6 E 1 2 4 3 a 4 a x a 6 x s d s 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 6 45 E y r sin 4 r rcos r dr d d 4 y 2asin cos cos d d a y sin cos d a 3 y 2 4 教材 教材 2 4 设点电荷 设点电荷 与与 相距为相距为 d 试证明在此带电系统中 有一个半径有限 的球形等位面 并求出它的半径 球心位置以及此等位面的电位值 电位参考点为无 限远处 试证明在此带电系统中 有一个半径有限 的球形等位面 并求出它的半径 球心位置以及此等位面的电位值 电位参考点为无 限远处 证明 取球坐标 设 q1位于 a 0 0 q2位于 a d 0 0 处 空间中电位分布为 1 4 q R q R 1 4 q r a 2arcos q r a d 2 a d rcos 1 4 q r a d 2 a d rcos q r a 2arcos r a 2arcos r a d 2 a d rcos 当r a a d 时 r a d 2 a d rcos r a 2arcos a d a 1 4 q a d a q a d a a a d a 2a a a d cos 当q q 0时 0 即 圆心位置 a d 半径 r d d d 电位为零 2 5 教材 教材 2 6 在边长为 在边长为 a 的正方形的四角顶点分别放置电量为的正方形的四角顶点分别放置电量为 q 的点电荷 在正方形 的几何中心处放置电量为 的点电荷 在正方形 的几何中心处放置电量为 Q 的点电荷 问的点电荷 问 Q 为何值时 每个电荷所受的力都是零 为何值时 每个电荷所受的力都是零 解 由对称性可知 无论 Q 为多少 Q 的受力都是零 q 4 a 2 q 4 2a Q 4 1 2a 0 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 7 45 Q q 2 2 1 4 2 6 教材 教材 2 7 求半径为 求半径为 a 电量为 电量为 Q 的均匀带电球面所产生的电位 电场强度和该系 统的总储能 的均匀带电球面所产生的电位 电场强度和该系 统的总储能 解 E r 0 E r Q 4 r U r Q 4 r U r a Q 4 a W 1 2 QU r a Q 8 a 2 7 教材 教材 2 10 一个电量为 一个电量为 的点电荷与半径为的点电荷与半径为 a 电量为 电量为 的均匀带电球体相距为的均匀带电球体相距为 d d a 试求它们的相互作用能 试求它们的相互作用能 解 带电球体的 dv 体积内电荷与 q1电荷的相互作用能为 dw q dv 4 R q r sin drd d 4 d r 2drcos 这里取球坐标 坐标原点位于带电球中心 q1电荷位于 r d 0 处 则 W dw q 4 q r sin 4 d r 2drcos d d dr q 2 r sin d r 2drcos d dr q 2 r d r 2drt dt dr q 2 r d d r 2dr d r 2drt dr q 2 d 2t dr q 3 d a d q 3 d a d 3q 4 a q q 4 d 可见 这里可以将带电球体上的电荷分布视为一个点电荷处理 2 8 教材 教材 2 11 证明 如果一个点电荷 证明 如果一个点电荷 q 在一个半径为在一个半径为 a 的球面内 球外无电荷 则的球面内 球外无电荷 则 q 在球面上所产生的电位平均值在球面上所产生的电位平均值 证明 设点电荷 q 距离圆心为 d 则无穷远处的电位为 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 8 45 q 4 d q 4 d 1 4 1 R n n 1 R ds q 4 d 1 4 1 R n 1 R ds q 4 d 1 4 a n ds 1 4 a ds q 4 d 1 4 a dv 1 4 a ds q 4 d 1 4 a E dv 1 4 a ds q 4 d q 4 a 即 q 4 a 2 9 教材 教材 2 12 求下图所示的电荷分布所产生的偶极矩 求下图所示的电荷分布所产生的偶极矩 和四极矩和四极矩 Q 解 P 2q2 y qax q a x 2qax 4q y Q 3a a q 3a a q 4 2q 8q Q a q a q 3 4 4 2q 16q Q a q a q 4 2q 8q Q Q Q Q Q Q 0 2 10 教材 教材 2 15 以下列出三种电场分布 求包含在各体积内的总电荷 以下列出三种电场分布 求包含在各体积内的总电荷 1 半径为 半径为 R 的球 的球 2 半径为 半径为 a 长度为 长度为 L 的圆柱 的圆柱 3 一顶点位于原点 边长为 一顶点位于原点 边长为 a 的立方体 的立方体 其中其中 A 是常数是常数 解 1 Q E ds R AR 4 R 4 AR 2 Q Aa 2 aL 2 Aa L 3 Q Aaa Aaa 2 Aa 2 11 教材 教材 2 17 一个半径为 一个半径为 a 中心在原点的球形带电体 已知其电位分布为 中心在原点的球形带电体 已知其电位分布为 qq 2q o aa 2 x y 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 9 45 求此位场的储能 求此位场的储能 解 E 0 r a a r r r W 2 E dv 2 a r 4 r dr 2 a 1 r dr 2 a 2 12 教材 教材 2 18 求由三个同心导体球构成的导体系的电位系数 求由三个同心导体球构成的导体系的电位系数 其中内球半径为 其中内球半径为 a 中球内外半径为 中球内外半径为 b 和和 c 外球内外半径为 外球内外半径为 d 和和 e 解 P 1 4 1 a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 c 1 d 1 e 1 e 1 c 1 d 1 e 1 c 1 d 1 e 1 e 1 e 1 e 1 e 2 13 教材 教材 2 19 一个半径为 一个半径为 a 的导体球壳充满密度为的导体球壳充满密度为 的电荷 已知电场分布为的电荷 已知电场分布为 求球内的电荷密度求球内的电荷密度 及球壳内外侧面上的面电荷密度及球壳内外侧面上的面电荷密度 解 r E Ar r A 3r r r r 3 6 Ar 球壳内无电场 4 a 内 r dr 6 A4 r dr 4 Aa 内 Aa 外 4 a Aa 4 a Aa 2 14 教材 教材 2 20 一个球形电容器 内球半径为 一个球形电容器 内球半径为 a 外球半径为 外球半径为 b 内外球之间电位差为 内外球之间电位差为 外球接地 求两球间的电位分布及电容量 外球接地 求两球间的电位分布及电容量 C 解 设内球带电量 Q 外球带电量 Q 则两球间电场为 E Q 4 r r 则 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 10 45 U E dr Q 4 1 a 1 b Q 4 U 1 a 1 b E U 1 a 1 b r r U 1 a 1 b r dr U 1 r 1 b 1 a 1 b C Q U 4 1 a 1 b 2 15 教材 教材 2 22 给定一电荷分布为 给定一电荷分布为 cos a x a x a 0 x 试求空间各区域的电位分布 试求空间各区域的电位分布 解 取x 为电位零点 在 x 位置取厚度为 dx 的薄层 由对称性 根据高斯定理易求得它在两侧产生的电场大 小为 方向沿 x 轴指向两侧 则 x 区域的电场为 E s 2 dx 2 cos a xdx 0 0 x 区域的电场为 E x s 2 dx x s 2 dx x 2 cos a xdx cos a xdx x 2 a sin a x sin a x x a sin a x E dx a sin a xdx a a cos a x 1 a cos a x 1 2 16 教材 教材 2 24 一个金属球半径为 一个金属球半径为 a 位于两种不同媒质的分界面上 导体球电位为 位于两种不同媒质的分界面上 导体球电位为 求上 下半空间中任意点处的电位 求上 下半空间中任意点处的电位 解 o a 0 0 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 11 45 设导体球所带自由电荷为 Q 则 E2 r E2 r Q E Q 2 r Edr Q 2 r dr Q 2 a Q 2 a E a r r Edr a r dr a r 2 17 教材 教材2 26 一个球形电容器 内外半径分别为 一个球形电容器 内外半径分别为a与与b 内充非均匀介质 内充非均匀介质 试求其电容量 试求其电容量 C 解 设内球电量为 Q 则 E 4 r Q E Q 4 r Q 4 a 取外球电位为零 则内球电位为 U Edr Q 4 a dr Q b a 4 a 则电容为 C Q U 4 a b a 2 18 教材 教材 2 27 一个平板电容器的长 宽为 一个平板电容器的长 宽为 a 与与 b 极板间距离为 极板间距离为 d 其中一半 其中一半 0 a 2 用介电常数为 的介质充填 另一半为空气 极板间加电压 用介电常数为 的介质充填 另一半为空气 极板间加电压 求极板上自由电荷 密度与介质表面上极化电荷密度 求极板上自由电荷 密度与介质表面上极化电荷密度 解 设介质为 I 区 空气为 II 区 电场EI EII U DI U d DII U d I DI U d II DII U d I EI I U d I U d II U d I U d 2 19 教材 教材 2 28 两个同轴圆筒之间 两个同轴圆筒之间 部分充填了介电常数为 的介质 其余 部分为空气 求它单位长度的电容量 部分充填了介电常数为 的介质 其余 部分为空气 求它单位长度的电容量 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 12 45 解 E Q 2 1 r U Edr Q 2 ln b a C Q U 2 ln b a 2 20 教材 教材 2 30 一对平行金属板 间距为 一对平行金属板 间距为 d 极板间加电压 极板间加电压 插入一液体中 液体的 密度为 插入一液体中 液体的 密度为 g 介电常数为 求极板间液面上升的高度 介电常数为 求极板间液面上升的高度 h 解 W 1 2 UQ 1 2 U Eay 1 2d U ay 其中 a 是平行金属板垂直于纸面方向的宽度 y 是平行金属板平行于纸面方向的高度 W 1 2d U a y 1 2d U a y 1 2d U a 1 2d U ay f W y 1 2d U a 1 2d U a gahd h 1 2g U d 2 21 教材 教材 2 31 一个半径为 一个半径为 a 的介质球沿径向被永久极化 极化强度的介质球沿径向被永久极化 极化强度 其中 其中 d h a b o1 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 13 45 n 是大于零的常数 求 是大于零的常数 求 1 极化体电荷和面电荷密度 极化体电荷和面电荷密度 2 球内外任一点的电场 球内外任一点的电场 3 球内外任一点的电位 球内外任一点的电位 解 1 P r r n 1 r r r r 3 n 2 r P r r 2 r a 时 E 4 a da 4 r r 4 r 4 r r r r r a 时 球内总电荷为 0 即 E 0 3 取 r a 时 0 r a 时 E r dr n 1 r a 2 22 教材 教材 2 37 一个圆柱形电容器外半径为 一个圆柱形电容器外半径为 a 其中充填的介质击穿场强为 其中充填的介质击穿场强为 E 若内导 体的直径可任意选择 试求电容器两极板间能承受的最大电压 若内导 体的直径可任意选择 试求电容器两极板间能承受的最大电压 解 设内半径为 ta 0 t0 置于一接地导体平面之上 在上半空间中存在一均匀 电场 置于一接地导体平面之上 在上半空间中存在一均匀 电场 问点电荷在 问点电荷在 x 为何值时所受的电场力为零 为何值时所受的电场力为零 解 q 4 2x E x q 4 E 3 4 教材 教材 3 5 一半径为 一半径为 a 的导体球内有一点电荷的导体球内有一点电荷 q 到球心距离为 到球心距离为 b 导体球原来未带 电 求此电荷所受的静电力 并问此力大小与导体球接地与否是否有关 导体球原来未带 电 求此电荷所受的静电力 并问此力大小与导体球接地与否是否有关 解 该电荷的镜像电荷大小 q 到球心距离为 则该电荷受力大小为 F q a bq 4 a b b abq 4 a b 方向指向最接近的导体球壳 此力大小仅与导体球内壳有关 与导体球接地与否无关 3 5 教材 教材 3 6 一未接地导体球带电荷 一未接地导体球带电荷 现将一点电荷 现将一点电荷 q 引至导体球附近 求当作用引至导体球附近 求当作用 0 EE x x q a q r0 0 q1 q2 q3 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 17 45 于于 q 上的力为零时 点电荷上的力为零时 点电荷 q 与球心的距离与球心的距离 R 解 设导体球半径为 a 则要求电荷 q 处电场为零 q a Rq 4 R a Rq 4 R a R 0 q q 2R a R a a R 当 R 满足上述方程时 点电荷受力为零 3 6 教材 教材 3 7 有如图一电荷系统 试求点电荷 有如图一电荷系统 试求点电荷 所受的电场力 所受的电场力 解 导体球外电场由q q 及它们的镜像电荷形成 q 受力为 F q 4 a d q d a d a d q d a d q d d F q 4 a d q d a d a d q d a d q d d 正方向指向原点 3 7 教材 教材 3 8 一线电荷 一线电荷 放置在成直角的导体平面所夹区域内放置在成直角的导体平面所夹区域内 处 如图 试用保角变换法求电位解 并将此解与镜象法的结果相比较 处 如图 试用保角变换法求电位解 并将此解与镜象法的结果相比较 解 取保角变换 W z2 直角区域映射为上半平面 线电荷映射到 0 2 处 上半空间电位为 1 1 y x 1 q 2 q 1 d 2 d o a 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 18 45 2 ln u v 2 u v 2 用镜像法 可解得 2 ln x 1 y 1 x 1 y 1 x 1 y 1 x 1 y 1 将下述坐标关系代入上式 可证明两式恒等 u jv x jy u x y v 2xy 3 8 教材 教材 3 9 在半无限大导体平面附近 在半无限大导体平面附近 点有一线电荷点有一线电荷 如图 求它的电位解 如图 求它的电位解 解 取保角变换W z 半无限大空间映射为上半空间 线电荷映射到 u0 v0 其中 u jv x jy 则上半空间电位为 2 ln u u v v u u v v 将坐标的变换代入上式 即得原空间中的电位解 3 9 教材 教材 3 12 两平行的无限大导体 距离为 两平行的无限大导体 距离为 b 其间有一极薄的导体导体片由 其间有一极薄的导体导体片由 y d 到到 y b x 上板和薄片保持电位为 上板和薄片保持电位为 下板保持零电位 如图 设 下板保持零电位 如图 设 z 0 的平 面上 的平 面上 y 从从 0 变到变到 d 时 电位从时 电位从 0 线性地变到线性地变到 求极板间的电位 求极板间的电位 解 U b y A sin n b yexp n b z x z y d b U0 o x0 y0 y x 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 19 45 当 z 0 时 A sin n b y z 0 U b y U U b y d y b U d y U b y 0 y d 两侧乘sin y 并在 0 b 上对 y 积分 得 b 2 A b m U d sin m b d A 2bU n d sin n b d 3 10 教材 教材 3 13 一导体制成的矩形槽 在端面的中心 一导体制成的矩形槽 在端面的中心 x a 2 有一小缝 如图 上板 的电位为 有一小缝 如图 上板 的电位为 下板电位为零 求 下板电位为零 求 0 x0 的区间内电位解 的区间内电位解 解 U a x A sin n a xexp n b z 当 z 0 时 A sin n a x z 0 U a x U U a x a 2 y a 0 U a x 0 y a 2 两侧乘sin x 并在 0 a 上对 x 积分 得 a 2 A aU m cos m 2 A 2U n cos n 2 2U n 1 n 2 4 6 0 n 1 3 5 3 11 教材 教材 3 14 在无限大介质 介电常数为 中有一半径为 在无限大介质 介电常数为 中有一半径为 a 的球形空腔 外加一均 匀电场 的球形空腔 外加一均 匀电场 求空腔内外的电位 求空腔内外的电位 解 设空腔为 1 区 空腔外为 2 区 设坐标原点在球心 取 z 0 平面为零电势面 o z x a 2 a 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 20 45 A r a P cos E rcos B a r P cos 显然 n 1 A r a cos E rcos B a r cos 考虑 r a 面上边界条件 r r A E a B A a E B 2 a A 3 2 E a B 2 E a 3 2 E rcos E rcos 2 E a r cos 3 12 教材 教材 3 15 在均匀外电场 在均匀外电场 中 垂直于电场方向有一半径为 中 垂直于电场方向有一半径为 a 的导体圆柱 无 限长 求圆柱外的电位解和圆柱表面的感应电荷分布 的导体圆柱 无 限长 求圆柱外的电位解和圆柱表面的感应电荷分布 解 取圆柱中心轴线为坐标 z 轴 x 0 平面为零电势面 E cos A cosn a 导体圆柱表面也是零电势 0 E acos A cosn 所以只有 n 1 的项 且A E a E cos E acos a 或者 导体圆柱表面电场为 方向 E 1 E sin A nsinn a 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 21 45 E E asin A nsinn 0 也有上述结果 E E cos E acos 1 a 2 E cos 3 13 教材 教材 3 16 试计算一被均匀极化 试计算一被均匀极化 的半径为 的半径为 a 的介质球在球内外所产生 的电位分布 的介质球在球内外所产生 的电位分布 解 球内无极化电荷 球表面上有极化面电荷分布 设球内为 1 区 球外为 2 区 设坐标原点在球心 取无穷远为零电势面 A r a P cos B a r P cos 在球表面r a处 有边界条件 r r P r P cos 显然 只有n 1的解 得 A B A 1 a cos B 2 a cos P cos 所以 A B aP cos 3 3 14 教材 教材 3 17 一圆柱形电容器 其半径为 一圆柱形电容器 其半径为 a 上半部分加电压 上半部分加电压 U0 下半部分加电压 下半部分加电压 U0 如图 求此电容器内的电位分布 极板间的间隙影响忽略 如图 求此电容器内的电位分布 极板间的间隙影响忽略 解 U0 U0 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 22 45 A a sinn 当 a 时 A sinn U 0 U 2 两侧乘sinm 并在 0 2 上对 积分 得 A 2U m 1 cosm A 2U n 1 cosn 4U n n 1 3 5 0 n 2 4 6 3 15 教材 教材 3 18 一圆筒形电极半径为 一圆筒形电极半径为 b 如图 加电压 如图 加电压 U0 内有一平面电极 内有一平面电极 U 0 求 圆筒内部电位解 求 圆筒内部电位解 解 A b sinn 当 b 时 A sinn U 两侧乘sinm 对上半空间 在 0 上对 积分 得 2 A U 1 m 1 cosm A 2U n 1 cosn 4U n n 1 3 5 0 n 2 4 6 对下半空间 在 2 上对 积分 得 A 2U n cosn 1 4U n n 1 3 5 0 n 2 4 6 3 16 教材 教材 3 19 一矩形域 其边界条件如下图所示 求此域内的电位解 一矩形域 其边界条件如下图所示 求此域内的电位解 U 0 U0 o b 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 23 45 解 A sin n x a sh n y a 当 y b 时 A sin n x a sh n b a Asin 3 x a cos x a A 2 sin 4 x a sin 2 x a A A 2sh 2 b a A A 2sh 4 b a A 2sh 2 b a sin 2 x a sh 2 y a A 2sh 4 b a sin 4 x a sh 4 y a 3 17 教材 教材 3 20 有一偶极矩为 有一偶极矩为 的电偶极子位于导体球形空腔的中心 如果空腔的半径 为 的电偶极子位于导体球形空腔的中心 如果空腔的半径 为 a 试求空腔内的电位分布及腔内表面上的感应电荷分布 试求空腔内的电位分布及腔内表面上的感应电荷分布 解 设偶极矩为p q z 取 xy 平面为零电势面 偶极矩产生的电位为 p r 4 r pz r 4 r pcos 4 r 该电位对应的电场为 E p 4 cos r p 4 r r r cos r p 4 r 2cos r r sin r p 4 r 2cos r sin 偶极矩关于内球面的镜像为 Q a 2 q D a 2 0 其在球心处产生的电场为 a b y x o 0 0 3 xx Asincos aa 0 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 24 45 E 2 Q 4 D z 2 a 2 q 4 a 2 z p 4 a z p 4 a r cos sin 对应电位为 E z pz 4 a prcos 4 a 则球腔内总电位为 pcos 4 1 r r a 腔内表面上总电场为 E E E 3pcos 4 a r 感应电位分布为 E 3pcos 4 a 3 18 教材 教材 3 22 有一半径为 有一半径为 a 的中空圆柱体 其轴与的中空圆柱体 其轴与 z 轴相合 其两底面各在轴相合 其两底面各在 z 0 和和 z L 的平面上 上下底面分别加电位的平面上 上下底面分别加电位 柱面的电位为零 求柱面的电位分布 柱面的电位为零 求柱面的电位分布 解 A shk z B shk L z J k 其中 kzi是J k 0的第 i 个根 在 z 0 平面上 B shk LJ k 两侧乘 J0 kzj 并在 0 a 上对 积分 得 B sh k L a 2 J k a J k d a k J k a B 2 k a shk L J k a 在 z L 平面上 A shk LJ k 两侧乘 J0 kzj 并在 0 a 上对 积分 得 A sh k L a 2 J k a J k d a k J k a 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 25 45 A 2 k a shk L J k a 所以 2 k a shk L J k a shk z shk L z J k 3 19 教材 教材 3 23 一圆柱形导体空腔其半径为 一圆柱形导体空腔其半径为 a 高度为 高度为 L 试求此域内第一类边值问题 的格林函数 试求此域内第一类边值问题 的格林函数 解 设圆柱轴线为 z 轴 底面在 z 0 上 顶面在 z L 上 G r r 以 z z0面将导体腔分为上下两个区域 设 z z0区域为 1 区 z0 的电位分布 的电位分布 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 26 45 解 上半空间格林函数为 G r r 1 4 1 x x y y z z 1 x x y y z z 则 f G z ds 1 2 f x y z x x y y z dx dy 3 21 教材 教材 3 26 一半径为 一半径为 a 的无限长直圆柱面 其电位为的无限长直圆柱面 其电位为 试求柱内 外 空间的电位 试求柱内 外 空间的电位 解 I 格林函数法解 显然 电位在 z 方向上均匀分布 设柱内为 1 区 柱外为 2 区 G r r 1 2 ln 1 r r 2 cos G 1 2 r r 1 2 r cos r 则 G ad G ad 解 II 分离变量法解 A a cosn B a cosn 在 a上匹配 可解得 A a cos A a cos 3 22 教材 教材 3 27 一扇形域如图 此域由 一扇形域如图 此域由 和和 所围成 求此域内第一类 边值问题的格林函数 所围成 求此域内第一类 边值问题的格林函数 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 27 45 解 G 1 以 0面将导体腔分为两个区域 设 0区域为 1 区 0区域为 2 区 G A a sin n G B a a sinn 在 0面上 G G G G 1 A a B a a B n a a a sinn A n a a sin n 1 A a B a a 0 B a a A a 2 n sin n A 1 n sin n a a a B 1 n sin n 1 a 3 23 一圆球形电极半径为一圆球形电极半径为 b 如图 加电压 如图 加电压 内有一平面电极 内有一平面电极 U 0 求圆球内部电位解 求圆球内部电位解 o a 0 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 28 45 解 A r b P cos 当 2 时 0 即P 0 0 即 n 1 3 5 A r b P cos 当 b 时 A P cos U 两侧乘P cos m 1 3 5 对上半空间 在 0 2 上对cos 积分 得 1 2n 1 A U P cos dcos U P t dt A 2n 1 U P t dt 对上半空间 在 2 上对cos 积分 得 1 2n 1 A U P cos dcos U P t dt A 2n 1 U P t dt U 0 U0 o b 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 29 45 4 恒定电流的电场恒定电流的电场 4 1 真空中两平行导体板构成一平板电容器 导体板面积为真空中两平行导体板构成一平板电容器 导体板面积为 S 间距为 间距为 d 两板间初始电 压为 两板间初始电 压为 V0 在 在 t 0 时刻 导体板与电源断开 并向两导体板之间填充介电常数为 电导率为 的介质 试求导体板间电压随时间的变化 时刻 导体板与电源断开 并向两导体板之间填充介电常数为 电导率为 的介质 试求导体板间电压随时间的变化 解 Q C V V S d C S d V t Q t C Q t d S E t V t d Q t S J t E t Q t S I t J t S Q t dQ t dt 解之 得 Q t Q e V S d e 4 2 由导电媒质构成如下图的半环 电导率为 计算由导电媒质构成如下图的半环 电导率为 计算 A B 间的电阻 间的电阻 解 dR rd dxdy dG dxdy rd G dG dW rd R rd dW R R r dW B a d W A 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 30 45 4 3 设介电常数为 电导率为 的非理想介质中的恒定电流密度为设介电常数为 电导率为 的非理想介质中的恒定电流密度为 介质是线性和 各向同性的 如果介质是不均匀的 证明介质中将存在自由电荷 且体密度为 介质是线性和 各向同性的 如果介质是不均匀的 证明介质中将存在自由电荷 且体密度为 证明 D E J J J 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 31 45 5 恒定磁场与电磁感应恒定磁场与电磁感应 5 1 教材 教材 4 3 一正 一正 K 边形线圈通有电流边形线圈通有电流 I 证明线圈中心处的磁感应强度 证明线圈中心处的磁感应强度 为 为 其中其中 d 是多边形的外接圆的半径 证明当是多边形的外接圆的半径 证明当 K 很大时 很大时 与一个圆线圈在其中心处产生 的磁感应强度相同 与一个圆线圈在其中心处产生 的磁感应强度相同 证明 正 K 边形边长为2dsin K 2dsin K 到线圈中心距离为dcos K 则 d d d dcos K tan dcos K 1 cos 线圈中心磁感应强度 B K I 4 dcos K 1 cos cos dcos K cos d K K KI 2 1 dcos K cos d K KI 2 d tan K 半径为 d 的圆线圈在圆心处产生的磁场强度为 B I 2d lim K B I 2 d lim K Ktan K I 2d B 5 2 教材 教材 4 7 空心长直导线内半径 空心长直导线内半径 外半径 外半径 导线中通有电流 导线中通有电流 求各处的磁感应强度 假设电流在导体内均匀分布 求各处的磁感应强度 假设电流在导体内均匀分布 解 导线空心内部 B 0 导线中 B I R R R 4 10 200 6 7 6 8 10 6 13 1 933 10 6 T 式中 以 mm 为单位 R1 R2 o 0 0 0 I 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 32 45 导线外 B I 4 10 200 8 10 2 513 10 T 5 3 教材 教材 4 12 一半径为 一半径为 a 的导体球带净电量为的导体球带净电量为 q 以角速度 绕它的直径旋转 求 磁矩 以角速度 绕它的直径旋转 求 磁矩 解 取角速度方向为 方向 旋转轴为 z 轴 球心为原点 设球体积V a J q S asin m 1 2 r J ds z 1 2 aJ sin a sin d d z 1 2 q S a sin d d z q a 2S sin d d z q a 2 4 a 8 3 z q a 3 5 4 教材 教材 4 14 半径为 半径为 a 的磁介质球 中心在坐标原点 磁化到的磁介质球 中心在坐标原点 磁化到 其中 其中 A B 为常数 求等效磁化电流和磁荷 为常数 求等效磁化电流和磁荷 解 等效磁流为 J M x y z x y z 00Az B 0 M A rcos B r cos sin J M r A rcos B sin 等效磁荷为 M 2Az r M A rcos B cos 5 5 教材 教材 4 16 画出下列各图中的镜像电流 并注明电流的方向 大小及计算的有效区 域 画出下列各图中的镜像电流 并注明电流的方向 大小及计算的有效区 域 解 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 33 45 a c 2 1 0 a I 2 1 0 b a I d 2 1 0 a I I 2 1 0 a I I I b 2 1 0 b I I 2 1 0 b I I I I d 2 1 0 a I I d 2 1 0 b a I I I I I I I 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 34 45 5 6 教材 教材 5 2 在磁导率为 在磁导率为 的媒质中 有载流直导线与两媒质分界面平行 垂直距离 为 的媒质中 有载流直导线与两媒质分界面平行 垂直距离 为 a 设 设 求两种媒质中磁场强度及载流导线每单位长度所受之 力 求两种媒质中磁场强度及载流导线每单位长度所受之 力 解 镜像电流I 8 9I 位于上半空间 到界面距离 a 镜像电流I 8 9I 与电流 I 重合 则上半空间中 H 1 2 I R 4I 5R 下半空间中 H 1 2 I R 4I 5R 镜像电流 I1在电流所在位置的磁感应强度方向在纸面内向左 大小为 B 2 4I 5 2a 9 I 5 a 则单位长度导线受力大小为 F BI 9 I 5 a 方向在纸面内向下 5 7 教材 教材 5 6 一个平均半径为 一个平均半径为 b 的环形螺线管 其横截面为圆形 半径为的环形螺线管 其横截面为圆形 半径为 a 且 且 在 其上密绕 在 其上密绕 N 匝导线 证明其自感为匝导线 证明其自感为 如果磁感应强度如果磁感应强度 沿横截面的变化必须考虑 证明 沿横截面的变化必须考虑 证明 证明 B NI 2 r 当忽略磁感应强度沿横截面的变化时 BN a NI 2 b N a N a I 2b L I N a 2b 当磁感应强度沿横截面的变化必须考虑时 1 9 0 2 0 a I 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 35 45 NI 2 r N2 a b r dr N I a b r r dr N I b b a L I N b b a 5 8 教材 教材 5 8 两同轴螺线管一个长度为 两同轴螺线管一个长度为 其上绕有 其上绕有 匝线圈 令另一个长度为匝线圈 令另一个长度为 其上绕有 其上绕有 匝线圈 它们的半径近似相等 且等于匝线圈 它们的半径近似相等 且等于 R 设两个绕组的长度都比 半径大很多 设两个绕组的长度都比 半径大很多 因此端部效应可忽略不计 求它们之间的互感 因此端部效应可忽略不计 求它们之间的互感 解 设 A 线圈通电流 I 其内部磁场大小为 B N I 该磁场在 B 线圈中的磁通为 N R B M I N N R 本题应注意 B 线圈的磁场并不全部约束在 A 线圈内 而会在离开 B 后向四周发散 a b 2R 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 36 45 6 时变电磁场时变电磁场 6 1 教材 教材 6 1 在定义辅助位函数时 若对 在定义辅助位函数时 若对 的附加条件不是 的附加条件不是 而是 而是 常称之为库仑规范条件 试求此时 常称之为库仑规范条件 试求此时 所满足的方程 所满足的方程 解 t A A A t A t J 因为 A 0 所以 A A t t J 6 2 教材 教材 6 5 对线性 均匀媒质 写出以矢量磁位 对线性 均匀媒质 写出以矢量磁位 和标量电位 所表示的麦克斯韦方 程组 和标量电位 所表示的麦克斯韦方 程组 解 B A E A t E B t A t A t 0 H J D t 1 A 1 A A J t A t A A t A t J D E A t t A B A 0 所以 对应的麦克斯韦方程为 t A A A t A t J 6 3 教材 教材 6 8 在同一空间中存在静止电荷的静电场和永久磁铁的磁场 证明此时对任 一闭合曲面 在同一空间中存在静止电荷的静电场和永久磁铁的磁场 证明此时对任 一闭合曲面 S 有有 证明 该场中没有电流 J 0 场中任一点的焦耳损耗密度为零 静电场和静磁场的能量密度恒定 则场中任一点的能量密度变化率为零 电磁场理论基础 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社 中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论 37 45 根据坡印亭定理 流入任一闭合曲面的能量为零 即 E H n dS S 0 6 4 教材 教材 8 1 设一矩形波导截面的尺寸为 设一矩形波导截面的尺寸为 当频率 当频率 和和 时 该波导内能传播哪几种模式 时 该波导内能传播哪几种模式 解 f c m a n b 2 0 15 m 0 0864 n 0 0432 GHz 各模式截止频率由低到高为 m n 1 0 0 1 2 0 1 1 2 1 3 0 3 1 0 2 fc GHz 1 736 3 4723 8824 9115 2086 2606 944 当频率 f1 3GHz 时 波导内能传播 TE10模 当频率 f2 5GHz 时 波导内能传播 TE10 TE01 TE20 TE11 TM11 TE21 TM21模 6 5 教材 教材 8 4 设计一