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第3课时 一元二次方程的根与系数的关系 1 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理 若ax2 bx c 0 a 0 的两根分别是x1 x2 则 x1 x2 ba x1x2 ca 注意 一元二次方程的根与系数的关系的前提是方程是 即二次项系数 且 一元二次方程 a 0 b2 4ac 0 2 一元二次方程的根与系数的关系的应用 一元二次方程的根与系数的关系在解方程中的应用非常广 泛 这一类问题可归结为四种类型 1 不解方程检验方程的解 2 已知方程的解构建方程 3 求关于方程两根的代数式的值 4 已知关于方程两根的代数式的值 求方程中字母的系数 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 重点 例1 已知方程x2 4x m 0的一个根为 2 求方程的另一根及m的值 思路点拨 根据根与系数的关系 可求出两根的和与两根的积 将已知的根代入即可求出另一根及m的值 解 设原方程的两根为x1 x2 则x1 x2 4 x1x2 m x1 2 x2 4 x1 6 m x1x2 12 即方程的另一根是6 m的值为 12 跟踪训练 1 已知x 1是方程x2 bx 2 0的一个根 则方程的另 一个根是 C A 1 B 2 C 2 D 1 2 方程6x2 3x 2 0的两根之和是 两根 之积是 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用 例2 已知方程x2 3x 2 0 不解这个方程 利用根与系数的关系 求作一个一元二次方程 使它的根分别是已知方程的各根的2倍 思路点拨 如果原方程的两个根为x1 x2 则新方程的两个根为2x1 2x2 则所求方程为y2 2x1 2x2 y 2x1 2x2 0 只要求出x1 x2 x1x2便可解出 解 设原方程的两根为x1 x2 则新方程的两个根为2x1 2x2 又 x1 x2 3 x1 x2 2 2x1 2x2 6 2x1 2x2 8 可设所求作的方程为 y2 2x1 2x2 y 2x1 2x2 0 即y2 6y 8 0 跟踪训练 3 请写出一个两实数根符号相反的一元二次方程 x2 x 6 0 答案不唯一 4 任写一个一根为 1 另一根大于0小于1的一元二次 方程 例3 设x1 x2是关于x的方程x2 m 1 x m 0 m 0 思路点拨 本题是对根的判别式和根与系数关系的综合考查 因为方程有两个实数根 所以 b2 4ac 0 求出m的取 求解 解 m 1 2 0 对于任意实数m 方程恒有两个实数根x1 x2 又 x1 x2 m 1 x1x2 m 且m 0 3m 3 2m m 3 跟踪训练 5 已知关于x的一元二次方程x2 6x k 1 0的两个实 D A 8B 7C 6D 5 6 已知方程x2 3x m
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