数学理2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测数学理科试题、参考答案及评分标准.pdf

理科数学参考答案及评分细则 第 1 页 共 10 页 2019 2020 学年度第一学期福州市高三期末质量检测 数学 理科 参考答案及评分细则 评分说明 1 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 除第 16 题外 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 B 2 D 3 C 4 A 5 D 6 B 7 C 8 C 9 A 10 B 11 B 12 A 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中的横线上 13 2 e2 14 3 15 8 3 16 2 6 8 6 729 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要 求作答 17 命题意图 本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形 任意三角形的面积 考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力 考查的核心素养是逻辑推理 直观想象 数学运 算 解析 解法一 1 在ABC 中 由正弦定理及题设得 sinsin ACBC BA 故 17 sinsin150B 3 分 解得 1 sin 2 7 B 4 分 理科数学参考答案及评分细则 第 2 页 共 10 页 又030B 所以 3 33 21 cos 142 7 B 6 分 2 设ADCDx 则2BDx 在ABC 中 由余弦定理得 2 22 2cosBCABACAB ACA 即 2 7916 cosxxA 7 分 在等腰ACD 中 有 1 1 2 cos 2 AC A ADx 8 分 联立 解得1x 或1x 舍去 9 分 所以ACD 为等边三角形 所以60A 11 分 所以 113 3 sin3 1 sin60 224 ABC SABACA 12 分 解法二 1 同解法一 6 分 2 设ADx 则 2 CDx BDx 因为ADCBDC 所以BDCADC coscos 7 分 由余弦定理得 得 222 22 4721 42 xxx xx 8 分 所以 2 1x 解得1x 或1x 舍去 9 分 所以ACD 为等边三角形 所以60A 11 分 所以 113 3 sin3 1 sin60 224 ABC SABACA 12 分 18 命题意图 本题考查等差数列和等比数列的通项公式 性质 错位相减法求和 考查 学生的逻辑推理能力 化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力 考查的核心素 养是逻辑推理与数学运算 解答 1 依题意得 2 324 bb b 理科数学参考答案及评分细则 第 3 页 共 10 页 所以 2 111 6 2 14 aaa 1 分 所以 22 1111 12361628 aaaa 解得 1 2 a 2 分 2 n an 3 分 设等比数列 n b的公比为q 所以 34 22 8 2 4 ba q ba 4 分 又 2 22 4 422 nn n bab 5 分 2 由 1 知 2 2 n nn an b 因为 1112 121 2n nn nn cccc aaaa 当2n 时 112 121 2n n n ccc aaa 6 分 由 得 2n n n c a 即 1 2n n cn 7 分 又当1n 时 3 11 2 2cab 不满足上式 1 8 1 2 2 nn n c nn 8 分 数列 n c的前 2020 项的和 342021 2020 82 23 22020 2S 2342021 4 1 22 23 22020 2 9 分 设 23420202021 2020 1 22 23 22019 22020 2T 则 34520212022 2020 21 22 23 2201922020 2T 由 得 23420212022 2020 22222020 2T 10 分 22020 2022 2 12 20202 12 2022 420192 11 分 所以 2022 2020 2019 24T 所以 2020 S 2022 2020 42019 28T 12 分 19 命题意图 本题考查空间直线和直线 直线和平面 平面和平面的垂直的证明 二面 理科数学参考答案及评分细则 第 4 页 共 10 页 角等基础知识 考查学生的逻辑推理能力 化归与转化能力和空间想象能力 考查的核心素养 是直观想象 逻辑推理与数学运算 解析 解法一 1 因为 PA 底面ABCD BC 平面ABCD 所以PABC 1 分 因为ABCD为正方形 所以ABBC 又因为PAABA 所以BC 平面 PAB 2 分 因为 AE 平面 PAB 所以AEBC 3 分 因为 PAAB E 为线段 PB 的中点 所以 AEPB 4 分 又因为PBBCB 所以 AE 平面 PBC 5 分 又因为 AE 平面 AEF 所以平面 AEF 平面PBC 6 分 2 因为PA 底面ABCD ABAD 以 A 为坐标原点 分别以 AB AD AP 的方向为x 轴 y 轴 z轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz 设正方形ABCD的边长为 2 则 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 2 1 0 1ABCDPE 7 分 所以 1 0 1 2 2 2 0 2 2 AEPCPD 设点 F 的坐标为 2 0 02 所以 2 0 AF 设 111 x y z n为平面 AEF 的法向量 则 0 0 AE AF n n 所以 11 11 0 20 xz xy 取 1 2y 则 2 n 8 分 设 222 x y z m为平面PCD的法向量 则 0 0 PC PD m m 所以 222 22 0 0 xyz yz 理科数学参考答案及评分细则 第 5 页 共 10 页 取 2 1y 则 0 1 1 m 10 分 因为平面 AEF 与平面PCD所成的锐二面角为30 所以 2 2 3 cos30 2 224 m n mn 11 分 解得1 故当点 F 为BC中点时 平面 AEF 与平面PCD所成的锐二面角为30 12 分 解法二 1 因为 PA 底面ABCD PA 平面 PAB 所以平面 PAB 底面ABCD 1 分 又平面PAB 底面ABCDAB BCAB BC 平面ABCD 所以BC 平面 PAB 2 分 因为 AE 平面 PAB 所以 AEBC 3 分 因为PAAB E 为线段 PB 的中点 所以 AEPB 4 分 因为PBBCB 所以 AE 平面 PBC 5 分 又因为 AE 平面 AEF 所以平面 AEF 平面PBC 6 分 2 同解法一 12 分 20 命题意图 本题考查直线和圆的相切 椭圆的图象和性质 直线和椭圆的位置有关 系 考查学生的逻辑推理能力 化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力 考查的 核心素养是直观想象 逻辑推理与数学运算 解析 1 因为圆O的半径为 2 3 3 所以 22 22 1 0 xy Cab ab 的短轴长为 2 3 62 2 3 1 分 所以22 2b 解得2b 2 分 因为C的离心率为 2 2 所以 2 2 c a 3 分 又因为 222 acb 所以 22 2ac 联立 解得 2 4a 4 分 所以所求C的方程为 22 1 42 xy 5 分 理科数学参考答案及评分细则 第 6 页 共 10 页 2 证明 证法一 当直线l斜率不存在时 直线l的方程为 2 3 3 x 当 2 3 3 x 时 2 3 2 32 32 3 3333 AB 所以 44 0 33 OA OB 6 分 当 2 3 3 x 时 2 3 2 32 32 3 3333 AB 所以 44 0 33 OA OB 综上 OAOB 所以AOB 为直角三角形 7 分 当直线l斜率存在时 设其方程为 1122 ykxm A x yB xy 直线l与圆相切 2 2 3 3 1 m k 即 22 3440mk 8 分 由 22 1 42 ykxm xy 得 222 12 4240kxkmxm 所以 2 1212 22 424 1212 kmm xxx x kk 9分 所以 1 212 OA OBx xy y 1212 x xkxm kxm 22 1212 1 kx xkm xxm 10分 222222 2 1 24 4 12 12 kmk mmk k 22 2 344 0 12 mk k 11分 所以 OAOB 综上所述 OAOB 所以AOB 为直角三角形 12分 证法二 当直线方程为 2 3 3 y 时 理科数学参考答案及评分细则 第 7 页 共 10 页 2 3 2 32 3 2 344 0 333333 ABOA OB 所以 OAOB 所以AOB 为直角三角形 6分 当直线方程为 2 3 3 y 时 2 32 32 32 344 0 333333 ABOA OB 所以 OAOB 所以AOB 为直角三角形 7分 当直线l不与x轴平行时 设其方程为 1122 xtym A x yB xy 因为直线l与圆相切 所以 2 2 3 3 1 m t 即 22 3440 mt 8分 由 22 1 42 xtym xy 得 222 2 240 tytmym 所以 2 1212 22 24 22 tmm yyy y tt 9分 1212 OA OBy yx x 1212 y ytym tym 22 1212 1 ty ytm yym 10分 222222 2 1 4 2 2 2 tmt mm t t 22 2 344 0 2 mt t 11分 所以 OAOB 所以AOB 为直角三角形 综上所述 AOB 为直角三角形 12分 21 命题意图 本题考查函数和导数的应用 利用导数判断函数的单调性 证明不等式 函数零点个数等基础知识 考查学生的逻辑推理能力 化归与转化能力 考查的核心素养是直 观想象 逻辑推理与数学运算 解答 1 当 1 2 a 时 2 1 cos1 2 f xxx 所以 f x的定义域为 R 且 fxf x 故 f x为偶函数 1分 当0 x 时 sinfxxx 记 sing xfxxx 所以 cos1g xx 2分 理科数学参考答案及评分细则 第 8 页 共 10 页 因为 0g x 所以 g x在 0 上单调递增 即 fx 在 0 上单调递增 3分 故 00fxf 4分 所以 f x在 0 上单调递增 所以 00f xf 5分 因为 f x为偶函数 所以当x R 时 0f x 6分 2 当0a 时 cos1f xx 令cos10 x 解得 2xkk 所以函数 f x有无数个零点 不符合题意 7分 当0a 时 22 cos10f xxaxax 当且仅当0 x 时等号成立 故0a 符合题 意 8分 因为 fxf x 所以 f x是偶函数 又因为 00f 故0 x 是 f x的零点 9分 当0a 时 sin2fxxax 记 sin2g xfxxax 则 cos2g xxa 1 当 1 2 a 时 cos2cos10g xxax 故 g x在 0 单调递增 故当0 x 时 00 g xg 即 0fx 故 f x在 0 单调递增 故 00 f xf 所以 f x在 0 没有零点 因为 f x是偶函数 所以 f x在R 上有且只有一个零点 10分 2 当 1 0 2 a 时 当 0 2x 时 存在 1 0 x 使得 1 cos2xa 且当 1 0 xx 时 g x单调递减 故 00g xg 11分 即 1 0 xx 时 0fx 故 f x在 1 0 x单调递减 1 00f xf 又 2 2 2cos22140faa 所以 1 20f xf 由零点存在性定理知 f x在 1 2 x 上有零点 又因为0 x 是 f x的零点 故 1 0 2 a 不符合题意 理科数学参考答案及评分细则 第 9 页 共 10 页 综上所述 a的取值范围为 1 0 2 12分 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做 第一个题目计分 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 命题意图 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化 直线和圆的位置关系 以 及直线的参数方程的参数的几何意义等基础知识 考查学生的逻辑推理能力 化归与转化能 力 考查的核心素养是直观想象 逻辑推理与数学运算 解答 1 由2cos 得 2 2 cos 2分 将 cos sin x y 代入得 22 2xyx 4分 所以C的直