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3 1 第三章 材料的力学性质 拉压杆的强度计算 3 1 图示水压机 若两根立柱材料的许用应力为MPa 80 试校核立柱的强度 F 600kN 工件 80 解解 立柱横截面上的正应力为 59 7MPaPa 41080 2106002 62 3 A F 所以立柱满足强度条件 3 2 图示油缸盖与缸体采用 6 个螺栓连接 已知油缸内径 mm 350 D 油压MPa 1 p 若螺栓材料的许用应力MPa 40 试求螺栓的内径 F p D 解解 由于内压的作用 油缸盖与缸体将有分开的趋势 依靠六个螺栓 将它们固定在一起 油缸盖受到的压力为 4 2 D pF 每个螺栓承受的轴向力为 46 1 6 2 N D p F F 由螺栓强度条件 2 2 2 2 N 6 4 46 1 d pD d D p A F 可得螺栓的直径应为 d mm6 22mm 350 406 1 6 D p 3 2 3 3 图示铰接结构由杆 AB 和 AC 组成 杆 AC 的长度为杆 AB 长度的两倍 横截面面积均为 2 mm 200 A 两杆的材料相同 许用 应力MPa 160 试求结构的许用载荷 F 45 30B C F A F A FNAC FNAB x y 解解 由0 X 030sin45sin NN ACAB FF 可以得到 ABABAC FFF NNN 2 即 AC 杆比 AB 杆危险 故 32N 1020010160 66 N AF AC kN 216 2 1 NN ACAB FFkN 由0 Y 030cos45cos NN FFF ACAB 可求得结构的许用荷载为 F7 43 kN 3 4 承受轴力kN 160 N F作用的等截面直杆 若任一截面上的 切应力不超过MPa 80 试求此杆的最小横截面面积 解解 由切应力强度条件 A F 22 N max 可以得到 A 6 3 N 10802 10160 2 F m2 3 10 mm2 3 3 3 5 试求图示等直杆 AB 各段内的轴力 B D C A 2a a a 2F F y FA FB FA FA FNCD FNAC F 2F 2F FB FNDB 解解 为一次超静定问题 设支座反力分别为 A F和 B F 如图所示 由截面法求得各段轴力分别为 AAC FF N FFF BCD N BDB FF N 静力平衡方程为 0 Y 02 BA FFFF 变形协调方程为 0 DBCDAC llll 物理方程为 EA aF l AC AC N EA aF l CD CD 2 N EA aF l DB DB N 由 联立解得 FFA 4 7 FFB 4 5 故各段的轴力为 FF AC 4 7 N 4 N F F CD FF DB 4 5 N 3 6 图示结构的横梁 AB 可视为刚体 杆 1 2 和 3 的横截面面 积均为 A 各杆的材料相同 许用应力为 试求许用载荷 F F ACB D E F y FNAD FNCEFNBF F l 2l l aa 解解 为一次超静定问题 由对称性可知 BFAD FF NN BFAD ll 静力平衡条件 0 Y 0 NNN FFFF BFCEAD 变形协调条件 CEAD ll 即 EA lF EA lF CEAD 2 NN 即 CEAD FF NN 2 由 解得 FFFF CEBFAD 5 2 2 NNN 由 AD BF 杆强度条件 A F BFAD 52 可得该结构的 许用载荷为 AF 2 5 3 4 3 7 图示铰接正方形结构 各杆的材料均为铸铁 其许用压应 力与许用拉应力的比值为3 tc 各杆的横截面面积均为 A 试求该结构的许用载荷 F a a F F C B A D b N F FN FN D F FN FN a B 解解 B 点受力如图 a 所示 由平衡条件可得 2 N FF 由对称性可知 AD BD AC BC 四杆受拉 拉力为2F 由拉杆强度条件 A F2 t t 可得 F A 2 t D 点受力如图 b 所示 由平衡条件可得 FFF NN 2 CD 杆受压 压力为F 由压杆强度条件 A F c 3 tc 可得 F A 3 t 由 可得结构的许用载荷为AF 2 t 3 8 图示横担结构 小车可在梁 AC 上移动 已知小车上作用的 载荷kN 15 F 斜杆 AB 为圆截面钢杆 钢的许用应力MPa 170 若载荷 F 通过小车对梁 AC 的作用可简化为一集中力 试确定斜杆 AB 的直径 d 0 8m 1 9m A B F C F C FNAB x A 解解 由几何关系 有388 0 9 18 0 8 0 sin 22 取 AC 杆为研究对象 0 C M 09 1sin N FxF AB 由此可知 当m 9 1 x时 kN66 38kN 388 0 15 sin maxNN F FF AB 由 4 2 maxN max d F AB 可得 d mm17m 10170 1066 384 4 6 3 maxN F 杆 AB 的直径d mm17 3 5 3 9 图示联接销钉 已知kN 100 F 销钉的直径mm 30 d 材料的许用切应力MPa 60 试校核销钉的剪切强度 若强度不 够 应改用多大直径的销钉 F F d 解解 1 校核销钉的剪切强度 62 3 22 1030 1010022 4 2 d F d F Pa7 70 MPa 销钉的剪切强度不够 2 设计销钉的直径 由剪切强度条件 4 2 2 d F 可得 d 6 3 1060 101002 2 F m6 32 mm 3 10 图示凸缘联轴节传递的力偶矩为mN 200 e M 凸缘之 间用四个对称分布在mm 80 0 D圆周上的螺栓联接 螺栓的内径 mm 10 d 螺栓材料的许用切应力MPa 60 试校核螺栓的剪切 强度 M n n n n 截面 螺栓 D0 e Me 解解 设每个螺栓承受的剪力为 Q F 则由 e 0 Q 4 2 M D F 可得 0 e Q 2D M F 螺栓的剪应力 362 0 2 e 2 0 e Q 10801010 20022 4 2 Dd M d D M A F Pa 9 15 MPa 螺栓满足剪切强度条件 3 6 3 11 图示矩形截面木拉杆的接头 已知轴向拉力kN 50 F 截 面的宽度mm 250 b 木材顺纹的许用挤压应力MPa 10 bs 顺 纹的许用切应力MPa 1 试求接头处所需的尺寸 l 和 a FF ll a b 解解 1 由挤压强度条件 ab F bs bs 可得 a 63 3 bs 101010250 1050 b F m20 mm 2 由剪切强度条件 bl F 可得 l 63 3 10110250 1050 b F m200 mm 3 12 图示螺栓接头 已知kN 40 F 螺栓的许用切应力 MPa 130 许用挤压应力MPa 300 bs 试求螺栓所需的直径 d F F d 10 20 10 解解 1 由螺栓的剪切强度条件 4 2 2 d F 可得 d 6 3 10130 10402 2 F m14 mm 2 由螺栓的挤压强度条件 3 bs 1020 d F bs 可得 d 63 3 bs 3 103001020 1040 1020 F m7 6 mm 综合 1 2 螺栓所需的直径为d 14mm 3 7 3 13 图示结构的 AB 杆为刚性杆 A 处为铰接 AB 杆由钢杆 BE与铜杆CD吊起 已知CD杆的长度为m 1 横截面面积为 2 mm 500 铜的弹性模量GPa 100 E BE 杆的长度为m 2 横截面面积为 2 mm 250 钢的弹性模量GPa 200 E 试求 CD 杆和 BE 杆中的应力 以及 BE 杆的伸长 FNEB F lCD C D E B 0 5m F 200 kN A 0 5m 1m lEB FNCD A 解解 为一次超静定问题 静力平衡条件 0 A M 05 120012 NN CDEB FF 变形协调方程 CDEB ll 2 即 11 N 22 N 1 2 2 AE F AE F CDEB 即 1 500100 250200 11 22 N N AE AE F F CD EB 由 解得 kN100 N EB F kN100 N CD F 各竖杆应力 MPa400Pa 10250 10100 6 3 EB MPa200Pa 10500 10100 6 3 CD 钢杆伸长 mm4m2 10200 10400 2 9 6 2 E l EB EB 3 14 由两种材料粘结成的阶梯形杆如图所示 上端固定 下端 与地面留有空隙mm 08 0 铜杆的 2 1 cm 40 A GPa 100 1 E 16 1 C 105 16 钢 杆 的 2 2 cm 20 A GPa 200 2 E 16 2 C 105 12 在两段交界处作用有力 F 试求 1 F 为多大时空隙消失 2 当kN 500 F时 各段内的应力 3 当kN 500 F且温度再上升C20 时 各段内的应力 1m F 2m 1铜 钢2 2 F 1 FF1 F2 F a b 解解 1 由 11 1 AE F 可得 493 11 1040101001008 0 AEFN32 kN 2 当kN500 F时 空隙已消失 并在下端产生支反力 如图 a 所示 故为一次超静定问题 1 静力平衡方程 0Y 0 21 FFF 即 3 21 10500 FF 3 8 2 变形协调方程 22 2 11 1 21 AE F AE F l 即 3 49 2 49 1 1008 0 102010200 2 104010100 FF 即 3 21 10322 FF 由 解得 344 1 FkN 156 2 RkN 4 3 1 1040 10344 Pa86 MPa 4 3 2 1020 10156 Pa78 MPa 3 设由于温度再上升 20 而引起的两端支反力如图 b 所示 静力平衡条件 0Y 0 21 FF 即 FFF 21 变形协调方程 021 21 21 22 2 11 1 tt AE F AE F l 即 02201025 11201065 1 102010200 2 104010100 55 4949 FF 由此求得 kN7 110 F MPa7 27Pa 1040 107 110 4 3 1 MPa4 55Pa 1020 107 110 4 3 2 当kN500 F作用时 温度再上升 20 后各段应力为 3 587 2786 111 MPa 4 1334 5578 222 MPa 4 1 第四章 扭 转 4 1 某 圆 轴 作 用 有 四 个 外 力 偶 矩1 1e MmkN 6 0 2e MmkN 2 0 4e3e MMmkN 1 试作轴扭矩图 2 若 1e M 2e M位置互换 扭矩图有何变化 解解 0 4 0 2 0 6 1 0 0 4 0 2 T kN m 2 1 4 2 如图所示一传动轴AC 主动轮A传递外扭矩1 1e MmkN 从动轮B C传递的外扭矩分别为4 0 2e MmkN 6 0 3e MmkN 已知轴的直径4 dcm 各轮间距50 lcm 切变模量80 GGPa 1 试合理布置各轮的位置 2 试求各轮在合理位置时轴内的最大切应力以及轮 A 与轮 C 之间的相对扭转角 T kN m 1 0 0 6 0 4 0 6 解解 1 由扭矩图可以看出 按原先的布置 轴的最大扭矩为mkN 0 1 当主动轮 A 位于中间位置时 轴的最大扭矩降低为mkN 6 0 因此 将主动轮 A 布置在两从动轮 B 和 C 中间较为合理 2 47 7MPaPa 104 16 106 0 63 3 p max W TAC 854 0rad0149 0 104 32 1080 1050106 0 849 23 p GI lTAC AC 或 22 p p max d GW lT GI lT d G l ACAC AC 2m2 5m2 5m mmmm 342 1 l m mm 21 3 l ACB l m m m2 1 3 l BCA 4e M 3e M 2e M 1e M 3e M 2e M 1e M 3e M 2e M 1e M 4 2 4 3 一空心圆轴的外径90 Dmm 内径60 dmm 试计算该 轴的抗扭截面系数 p W 若在横截面面积不变的情况下 改用实心圆 轴 试比较两者的抗扭截面系数 p W 计算结果说明了什么 解解 1 空心圆轴的抗扭截面系数 34 444444 p mm105 11 9016 6090 162 32 D dD D dD W 2 实心圆轴的抗扭截面系数 设实心圆轴的直径为 d 由实心圆轴与空心圆轴的横截面面积相 等 即 222 44 dDd 可得 mm1 676090 2222 dDd 故实心圆轴的抗扭截面系数为 343 p mm109 5 16 dW 3 比较 1 和 2 可知 在横截面相同的情况下 空心圆截面要比实心 圆截面的抗扭截面模量大 因而 在扭转变形中 采用空心圆截面要 比实心圆截面合理 4 4 图示阶梯形圆轴的直径分别为4 1 dcm 7 2 dcm 轴上 装有三个皮带轮 已知由轮 3 输入的功率为30 3 PkW 轮 1 输出的 功率为13 1 PkW 轴作匀速转动 转速200 nr min 材料的许用切 应力60 MPa 切变模量80 GGPa 许用单位长度扭转角 2 m 试校核该轴的强度和刚度 解解 62 0 200 13 55 9 1e MmkN 43 1 200 30 55 9 3e MmkN MPa3 49Pa 104 16 1062 0 63 3 p max AC AC AC W T m77 1mrad 031 0 104 32 1080 1062 0 849 3 p AC AC AC IG T MPa2 21Pa 107 16 1043 1 63 3 p max DB DB DB W T m43 0mrad 008 0 107 32 1080 1043 1 849 3 p DB DB DB IG T 0 62 1 43 T kN m 0 5m m m m 1 2 3 ACBD 0 3m1m 3e M 2e M 1e M 4 3 4 5 图示外径100 Dmm 内径80 dmm 的空心圆轴与直径 80 1 Dmm 的 实 心 圆 轴 用 键 相 连 轴 的 两 端 作 用 外 力 偶 矩 6 e MmkN 轴 的 许 用 切 应 力80 MPa 键 的 尺 寸 为 mm30mm10mm10 键的许用切应力100 MPa 许用挤压应 力280 bs MPa 试校核轴的强度并计算所需键的个数 n 解解 1 校核轴的强度 空心轴 1244 33 44 e max 1080100 10 2 100 10632 32 2 dD D M Pa8 51 MPa 实心轴 93 3 3 1 e max 1080 10616 16 D M Pa7 59 MPa 轴满足强度条件 2 求所需键的个数 3 3 1 e 1080 1062 2 D M FN150 kN 由 6 103010 n F 可得 n 5 10100103010 10150 66 3 由 6 bs 10305 n F bs 可得 n 6 3 1028010150 10150 66 3 所需键的个数n 5 4 6 图示两圆轴用法兰上的 12 个螺栓联接 已知轴传递的扭矩 50 e MmkN 法兰边厚2 tcm 平均直径30 Dcm 轴的许用 切应力40 MPa 螺栓的许用切应力60 MPa 许用挤压应力 120 bs MPa 试求轴的直径 d 和螺栓直径 1 d 解解 d mm D d1 tt 1 求轴的直径 由轴的剪切强度条件 16 3 e max d M 可得 d 3 6 3 3 e 1040 105016 16 M m185 mm 2 求螺栓的直径 每个螺栓所受到的力为 2 3 e 10306 1050 212 1 D M FN8 27 kN 由螺栓的剪切强度条件 2 1 2 1 Q4 4d F d F 可得 1 d 6 3 1060 108 274 4 F m24 mm 由螺栓的挤压强度条件 1bs bs bs td F A F bs 可得 1 d 62 3 bs 10120102 108 27 t F m12 mm 1 d 24mm F m D 10 Dd 1 m m 10 30 e Me M e M e M e M 4 4 4 7 图示密圈螺旋弹簧的平均直径250 Dmm 簧杆直径 5 12 dmm 承受轴向拉力180 FN 已知弹簧有效圈数10 n 切 变模量80 GGPa 试求该弹簧的轴向变形和簧杆内的最大切应力 解解 1 弹簧的轴向变形 8 64 4 3 4 3 Gd nFD Gd nFR mm 2 115m 105 121080 10250180108 1249 93 2 簧杆内的最大切应力 20 5 12 2502 d D d R c 333 max 8615 0 44 14816 d FD cc c d FD k d FR k MPa 8 62Pa 105 12 102501808 20 615 0 4204 1204 93 3 4 8 图示端部固定的钢圆杆和铜圆管以销钉联接 联接前 因 制造误差 两杆销孔中心相差一角度035 0 rad 已知60 Dmm 40 dmm 钢杆和铜管的长度及切变模量分别为400 1 lmm 600 2 lmm 80 1 GGPa 40 2 GGPa 试求强行联接后二杆内的最 大切应力 Dd A A A A ll1 2 解解 mm 为扭转超静定问题 设杆件的约束外扭矩为 e M 根据题意有 21 4 1 1e 1 p1 1e 1 32 dG lM IG lM 44 2 2e 2 p2 2e 2 32 dDG lM IG lM 由 和 式可求得 mN 1012 1040601040 10600 10401080 10400 32 035 0 12449 3 1249 3 e M MPa 5 80Pa 1040 101216 16 933 e max 1 d M MPa 7 29Pa 104060 1060101216 16 1244 3 44 e max 2 dD DM d D 2 F F e M e M 5 1 第五章 梁的基础问题 5 1 试用截面法求图示梁中nn 截面上的剪力和弯矩 FQ b q 4kN m n n a A B 1m 2m 1m n n A B C C FAy 2m 2m 2m F1 8kN F2 6kN FQ 4kN m 6kN M O 8kN 6kN M O 解解 a 将梁从 n n 截面处截开 截面形心为 O 取右半部分研究 0 Y 068 Q F 14 Q FkN 0 O M 03618 M 26 MmkN b 对整个梁 0 B M 01644 Ay F 6 Ay FkN 将梁从 n n 截面处截开 截面形心为 O 取左半部分研究 0 Y 0246 Q F 2 Q FkN 0 O M 024 2 1 26 2 M 4 MmkN 5 2 试用截面法求图示梁中 1 1 2 2 截面上的剪力和弯矩 并 讨论这两个截面上内力的特点 设 1 1 2 2 截面无限接近于载荷作 用位置 Me FBy FAy FBy FAy A B 1 2 21 b l 2 l 2 a A B 1 2 21 l 2 l 2 F FQ1 M1 F 2 FQ2 M2 F 2 FQ1 M1 Me l FQ2 M2 Me l 解解 a 以整个梁为研究对象 求得支反力 2 F FF ByAy 由截面法 分别以 1 1 截面左半部分 2 2 截面右半部分为研究对象 求得 2 1Q F F 4 1 Fl M 2 2Q F F 4 2 Fl M 可见 集中力作用处 剪力有突变 突变值为 F 弯矩不变 b 以整个梁为研究对象 求得支反力 l M FAy e l M FBy e 由截面法 分别以 1 1 截面左半部分 2 2 截面右半部分为研究对象 求得 l M F e 1Q 2 e 1 M M l M F e 2Q 2 e 2 M M 可见 集中力偶作用处 弯矩有突变 突变值为 e M 剪力不变 5 2 5 3 试写出图示梁的内力方程 并画出剪力图和弯矩图 a F 10kN a Me 12kN m A B C FAy FBy x x x FQ kN 7 3 M kN m 12 9 M x FQ x 7kN 12kN m 3kN FQ x M x a3 a2 a1 3m 3m 解解 1 求支反力 图 a 0 C M 0310126 Ay F kN7 Ay F 0 Y 010 ByAy FF kN3 By F 2 列内力方程 图 a 和 1 a 63 kN 3 30 kN 7 Q x x xF 63 30 mkN 6 3 mkN 127 x x x x xM 3 作内力图 图 2 a 3 a b FQ FQ x FBy FAy q A C B b l l 2 ql x x ql M x FQ x q M x b1 ql ql b2 M ql2 2 b3 解解 1 求支反力 图 b 0 B M 0 22 1 2 l qlqllFAy 0 Ay F 0 Y 0 qllqFF ByAy qlFBy2 2 列内力方程 图 b 和 1 b 23 0 Q lxl lx ql qx xF 23 0 23 2 2 lxl lx xlql qx xM 3 作内力图 图 2 b 3 b 5 3 5 4 试画出图示梁的剪力图和弯矩图 q b a a qa2 a a a C Fa 2F A B C A B Fa Fa M FQ qa2 2qa qa2 2 qa2 2 M FQ 2F q B A q 30kN m b 1m 1m 1m 1m F 20kN D C E a l 2 l 2 q B A C FCy 40kN FEy 40kN M ql2 16 9ql 2 128 FAy 3ql 8 FBy ql 8 30 FQ kN 10 10 30 M kN m 15 15 5 FQ 3l 8 3ql 8 ql 8 5 4 5 5 试用 Q F M与q 之间的微分关系判断图示梁的内力图形态 画出内力图 并求出 max Q F和 max M a q BA aa q C a M FQ qa qa2 2 qa2 解解 根据微分关系 xF x xM Q d d 和 q x xM x xF 2 2 Q d d d d AC 段 q为常数 且0 q FQ图从左到右为向下的斜直线 M 图为 向上凸的抛物线 CB 段 q为常数 且0 q FQ图从左到右为向上的斜直线 M 图为 向下凹的抛物线 在 C 截面处 FQ图连续 M 图光滑 b q C AB 2a a qa2 b M FQ 5qa 3 qa2 18 25 2 qa qa 3 3 4 2 qa 5a 3 解解 1 求支反力 0 A M 02 2 1 3 22 aqqaaFBy 3 qa FBy 0 Y 02 aqFF ByAy 3 5qa FAy 2 判断内力图形态并作内力图 AC 段 q为常数 且0 q FQ图从左到右为向下的斜直线 M 图为 向上凸的抛物线 在距A端a 3 5 截面处 M 取极大值 CB 段 0 q FQ图为水平直线 且0 Q F M 图从左到右为向下的 斜直线 在 C 截面处 FQ图连续 M 图光滑 FBy FAy 5 5 c q D AB aa P qa a C c 3qa2 2 M FQ 2qa qa qa2 解解 1 求支反力 0 A M 02 2 1 3 2 aqaaqaFBy qaFBy 0 Y 02 qaaqFF ByAy qaFAy2 2 判断内力图形态并作内力图 AC 段 q为常数 且0 q Q F图从左到右为向下的斜直线 M 图为 向上凸的抛物线 C截面处 有集中力F作用 Q F图突变 M 图不光滑 CD 段 q为常数 且0 q Q F图从左到右为向下的斜直线 M 图 为向上凸的抛物线 DB 段 0 q Q F图为水平直线 且0 Q F M图从左到右为向下 的斜直线 注注 AC CD 两段 xM曲线非同一函数表示的曲线 d q 6kN m C AB 1m m 8kN m 1m4m D d b FQ kN 9 33 14 67 9 33 17 93 1 33 2 44 a b c e d M mkN 解解 1 求支反力 0 B M 046 2 1 86 2 Ay F kN 33 9 Ay F 0 Y 046 ByAy FF kN 67 14 By F 2 判断内力图形态 作内力图 Q F图 AD 段 0 q 为水平直线 DB 段 0 q 从左到右为向下的斜直线 M 图 AC 段 0 q 且0 Q F 从左到右为向上的斜直线 C 截面处 有集中力偶 e M作用 有突变 CD 段 0 q 且0 Q F 从左到右为向上的斜直线 且abcb DB 段 0 q 为向上凸的抛物线 且c b 与ce在c点相切 在距D端m 9 22 截面处 0 Q F M 取极大值 e M FAy FBy F FBy FAy 5 6 5 6 图示起吊一根单位长度重量为 q kN m 的等截面钢筋混 凝土梁 要想在起吊中使梁内产生的最大正弯矩与最大负弯矩的绝对 值相等 应将起吊点 A B 放在何处 即 a 解解 作梁的计算简图及其 M 图 由 maxmax MM 即 22222 2 2 qalq a lql 即 0 4 2 2 l laa 求得 lla207 0 2 12 5 7 图示简支梁受移动载荷 F 的作用 试求梁的弯矩最大时载 荷 F 的位置 B A l F x F l xlx M 解解 当载荷 F 移动到距 A 支座为 x 位置时 梁的最大弯矩为 F l xlx xM max 由 02 d d max xl l F x xM 求得 2 l x 即 当移动载荷F位于梁的中点时弯矩M达到最大 2 2222 lq a lql q M 2 2 qa 2 2 qa ql 2 ql 2 F ql B A a a l 5 7 5 8 长度mm 250 l 截面宽度mm 25 b 高度mm 8 0 h的 薄钢尺 由于两端外力偶矩的作用而弯成中心角为 60的圆弧 已知 钢的弹性模量GPa 210 E 试求钢尺横截面上的最大正应力 解解 根据题意 l z EI M 1 可以得到 l E E I M z 故钢尺横截面上的最大正应力为 MPa 352 Pa 2 108 0 10250 3 10210 2 3 3 9 max max h l E I My z 5 9 图示矩形截面简支梁 试求 1 1 截面上 a b 两点的正应力 和切应力 8kN 1 AB 1000 12001000 1 10 150 40 75 b a 解解 1 求 1 1 截面上的剪力和弯矩 0 B M 0182 2 Ay F kN 11 40 Ay F 1 1 截面上的剪力和弯矩为 kN 11 40 11Q F mkN 11 40 11 M 2 求 1 1 截面上 a b 两点的应力 46 123 m 1009 21 12 1015075 z I MPa 03 6Pa 1009 21 1040 2 150 10 11 40 6 33 11 z a a I yM MPa 0 38Pa 1009 211075 10 2 40 2 150 407510 11 40 63 93 11Q z z a bI SF MPa 93 12Pa 1009 21 10 2 150 10 11 40 6 33 11 z b b I yM 0 b FAy 5 8 5 10 为了改善载荷分布 在主梁 AB 上安置辅助梁 CD 若主 梁和辅助梁的抗弯截面系数分别为 1z W和 2z W 材料相同 试求 a 的 合理长度 4 alF 4 Fa 2 al 2 a 2 a 2 al B A F C D MCD MAB 解解 1 作主梁 AB 和辅助梁 CD 的弯矩图 2 求主梁和辅助梁中的最大正应力 主 梁 111 max max 4 4 zzz AB AB W alF W alF W M 辅助梁 222 max max 4 4 zzz CD CD W Fa W Fa W M 3 求a的合理长度 最合理情况为 max max CDAB 即 21 44 zz W Fa W alF 由此求得 l WW W a zz z 21 2 5 11 钢油管外径mm 762 D 壁厚mm 9 t 油的重度 3 1 mkN 3 8 钢 的 重 度 3 2 mkN 67 钢 管 的 许 用 正 应 力 MPa 170 若将油管简支在支墩上 试求允许的最大跨长 l q ql2 8 l 2 762 744 解解 1 作油管的受力简图 kN m 1029762 4 3 8 1029762762 4 76 62 622 q kN m 23 5 2 求允许的最大跨长 l 4124444 m 1029762762 6464 dDIz 43m 1051 1 由 zz I Dql I yM 28 2 maxmax max 得到 l m 1 32m 107621023 5 101701051 116 16 33 63 qD Iz 允许的最大跨长为m 1 32 5 9 5 12 图示正方形截面悬臂木梁承受载荷作用 已知木材的许用 正应力MPa 10 现需要在梁的 C 截面中性轴处钻一直径为 d 的 圆孔 试问在保证该梁强度的条件下 圆孔的最大直径 d 可达多少 不 考虑圆孔处应力集中的影响 250 1000 2kN m 5kN A B C 160 160 y z C 截面 解解 C 截面为危险截面 mkN 1025010002 2 1 1025010005 623 C M mkN 31 4 4334 33 mm 160 3 40 mm 12 160 12 160160 d d Iz mm 80mm 2 160 max y 由 10160 3 40 1233 maxmax max d yM I yM C z C 可得 d mm 1040 3 160 3 12 max 3 yMC mm 115mm 10101040 10801031 43 160 3 612 33 3 5 13 图示 T 形截面铸铁梁承受载荷作用 已知铸铁的许用拉应 力MPa 40 t 许用压应力MPa 160 c 试按正应力强度条件 校核梁的强度 若载荷不变 但将 T 形横截面倒置成 形 是否合理 为什么 解解 q 10kN m B A F 20kN D C 200 200 30 30 y zC 30kN 10kN 2m 3m 1m yC 10 20 M kN m 1 作 M 图 求 zC I mm 5 157 3020030200 1003020021530200 C y 47 2 3 2 3 mm 1001 6 5 5730200 12 20030 5 5730200 12 30200 zC I 2 强度校核 B 截面 24 1MPaPa 105 721020 t 33 t zC BB I 上 2MPa25Pa 105 1571020 c 33 c zC BB I 下 C 截面 12 1MPaPa 105 721010 c 33 c zC CC I 上 26 2MPaPa 105 1571010 t 33 t zC CC I 下 3 若倒置成 形时 MPa 2 52 tt 上BB 不合理 5 10 5 14 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成 已知kN 5 F m 5 1 a 木材的许用正应力MPa 10 试确定当抗弯截面系数 最大时矩形截面的高宽比bh 以及锯成此梁所需木料的最小直径 d B A F C D F a a 3a h d y b z Fa M 解解 1 作弯矩图 2 求高宽比 222 6 1 6 1 bdbbhWz 由0 d d b Wz 求得 3 d b dh 3 2 抗弯截面系数最大时的高宽比为 2 b h 此时 39 3 d Wz 3 确定所需材料的最小直径 由 3 max max 39 d Fa W M z 得到 d m 0 227m 1010 5 110539 39 3 6 3 3 Fa 5 15 一悬臂梁长为mm 900 在自由端受集中力 F 作用 此梁 由三块mm 100mm 50 的木板胶合而成 如图所示 图中 z 轴为中性 轴 胶合缝的许用切应力MPa 35 0 试按胶合缝的切应力强度条 件确定许用载荷 F 并求在此载荷作用下梁的最大正应力 F FQ M Fl F 100 z y 50 50 50 解解 1 求许用载荷 45 1233 m 108125 2 12 10150100 12 bh Iz 359 m 1025105010050 z S 由胶合缝的剪切强度条件 z z z z bI FS bI SF Q 得到 F N 3938N 1025 1035 0108125 21 0 5 65 z z S bI F 2 求梁的最大弯曲正应力 MPa 45 9Pa 108125 2 2 15 0 9 03938 5 maxmax max z I yM 5 11 5 16 若图示梁的许用正应力MPa 160 许用切应力 MPa 100 试选择工字钢的型号 10kN m B A 4kN C 4m 2m FAy 18kN FBy 26kN 22 16 2 8 M kN m 1 8m 18 4 FQ kN 解解 1 求支反力 作剪力 弯矩图 kN 22 maxQ F mkN 2 16 max M 2 按正应力强度条件选择工字钢型号 由 z W Mmax max 得到 z W 3 6 3 max cm 25 101 10160 102 16 M 查表选 14 号工字钢 其 3 cm 102 z W mm 5 5 b cm 0 12 zz SI 3 切应力强度条件校核 MPa 3 33Pa 100 12105 5 1022 23 3 maxQ max zz SIb F 满足切应力强度条件 选择 14 号工字钢 5 17 图示木梁受移动载荷kN 40 F作用 已知木材的许用应 力MPa 10 许用切应力MPa 3 木梁的横截面为矩形截面 其高宽比2 3 bh 试选择此梁的横截面尺寸 P AB 1m b z y h x 解解 1 求 max M和 max Q F 当移动载荷 F 位于任一位置 x 时 xFxxM 1 max 令 0 max xM 求得 m 5 0 x时 4 max FM 当0 x或m 1 x时 FF max Q 2 选择截面 由正应力强度条件 32 max max 4 9 6 4 h F bh F W M z 可得 h m 208 0m 10104 10409 4 9 3 6 3 3 F 由切应力强度条件 2 max Q max 4 95 1 5 1 h F bh F A F 可得 h m 173 0m 1034 10409 4 9 6 3 F h m 208 0 32hb m 139 0 F Q F Fx 1 x M F 1 x Fx 5 12 5 18 试问用积分法求图示梁的变形时有几个积分常数 试列 出相应的边界条件和连续性条件 a 四个 当0 x时 0 A y 0 A 当ax 时 21CC yy 21CC b 六个 当ax 时 0 21 AA yy 21AA 当bax 时 0 32 BB yy 32BB c 六个 当0 x时 0 A y 0 A 当ax 时 21BB yy 当bax 时 0 32 CC yy 32CC d 二个 当0 x时 0 A y 当lx 时 11 1 1 2AE qll lyB 注 1 E和 1 A分别为拉杆的弹性模量和横截面面积 5 19 试用积分法求图示外伸梁的 A B 及 A y D y A B C D q F ql 2 l 2 l 2 x x x y l 解解 AB 段 2 0 l x qlxxMyEI 2 1 1 1 2 1 4 1 CqlxyEI 11 3 1 12 1 DxCqlxEIy BC 段 2 3 2 l x l x l qlx l qxMyEI 2 3 4 1 2 3 2 1 2 2 2 23 2 2 3 8 1 2 3 6 1 Cx l qlx l qyEI 22 34 2 2 3 2 3 24 1 2 3 24 1 Dx l Cx l qlx l qEIy 边界条件 2 l x 0 1 y 0 2212 1 11 3 D l C l ql Me Me F q Me a a a b F a b l c q l d l1 a b a 1 2 2 1 2 1 3 3 D A B C A B C A B C A B C 5 13 0 2 y 0 24 1 24 1 22 44 DlCqlql 2 3l x 0 2 y 0 2 D 连续性条件 2 l x 21 2 33 1 2 8 1 6 1 24 1 CqlqlC l ql 由 求得 0 22 DC 3 1 48 5 qlC 4 1 24 1 qlD 转角和挠曲线方程为 AB 段 EI ql x EI ql x 48 5 4 3 2 1 EI ql x EI ql x EI ql xy 2448 5 12 43 3 1 BC 段 23 2 2 3 82 3 6 x l EI ql x l EI q x 34 2 2 3 242 3 24 x l EI ql x l EI q xy 由此可得到 48 5 3 0 1 EI ql x A EI ql l x B 24 3 2 1 24 4 0 1 EI ql yy x A EI ql yy lx D 384 4 2 5 20 试用叠加法求图示梁指定截面的挠度和转角 设梁的抗弯 刚度EI为已知 a A C y M C AB l 2 F l 2 e 解解 a 1 当 F 单独作用时 查表得 EI Fl AF 16 2 EI Fl yCF 48 3 2 当 e M单独作用时 查表得 EI lM AM 6 e e EI lM yCM 16 2 e e 3 当 F 和 e M共同作用时 EI lM EI Fl AMAFA 616 e 2 e EI lM EI Fl yyy CMCFC 1648 2 e 3 e 5 14 b C C y Cq y 1CF Bq e BM F Me Fa a a F qa q A C B F b 1 当 q 单独作用时 查表得 EI qa BqCq 24 3 EI qa ay BqCq 24 4 2 当 F 单独作用时 查表得 EI qa EI aqa EI aqa CFBMCF 6 5 23 322 1 e EI qa EI aqa a EI qa fay CFBMCF 3 2 33 433 1 e 3 当 q 和 F 共同作用时 EI qa EI qa EI qa CFCqC 24 19 6 5 24 333 EI qa EI qa EI qa yyy CFCqC 8 5 3 2 24 444 5 21 欲在直径为 d 的圆木中锯出抗弯刚度最大的矩形截面梁 试求该截面高度 h 和宽度 b 的合理比值 d b h 解解 欲使抗弯刚度 z EI最大 当E一定时 即要求 z I最大 方法一方法一 322 3 12 1 12 hhd bh Iz 令 0 12 43 d d 22 222 hd hhd h Iz 得到 dh 2 3 dhdb 2 1 22 高度与宽度的合理比值为 3 bh 方法二方法二 12 sincos 12 sincos 12 3433 dddbh Iz 令 cossin3cossin 12d d 24 4 dIz 0cos3sinsin 12 222 4 d 即 0cos3sin 22 由此得到高度与宽度的合理比值为 3tan bh d 5 15 5 22 已知一钢轴的飞轮 A 重kN 20 F 轴承 B 处的许用转角 5 0 B 钢的弹性模量GPa 200 E 试确定轴的直径 d a 1m b 2m A F 20kN B C d F Fa 轴的受力简图 F 解解 1 作轴的受力简图 2 由刚度条件确定轴的直径 由 64 3 3 4 d E Fab EI bFa B 180 B 可得 d mm 112m 5 0 180 102003 21102064 180 3 64 4 9 3 4 B E Fab 5 16 5 23 试用叠加法画出图示梁的弯矩图 ql 4 q ql 8 ql 8 ql 4 5ql 8 q ql 8 3ql 4 C A q F ql 4 D B a l 2 l 2 l 2 ql2 8 ql2 16 ql2 8 M ql 4 ql 2 ql 8 ql 8 FQ ql 8 ql 2 5 17 q qa qa 3qa2 qa qa qa2 q 2qa 4qa2 qa 2qa qa 2qa qa2 a 2a b q qa A B C FQ 4qa2 2qa2 3qa2 2qa2 M 5 18 5 24 图示桥式起重机大梁上小车的每个轮子对大梁的压力均 为 F 小车的轮距为 d 大梁的跨度为 l 试问小车在什么位置时梁内 的弯矩最大 其最大弯矩值等于多少 最大弯矩在何截面 解解 1 求支反力 作内力图 当小车的左轮运动到距梁左端 A 任意 x 位置时 由 0 A M 得 0 lFdxFxF By 即 F l dx FBy 2 由 0 Y 得 02 ByAy FFF 即 F l dxl FAy 22 F l xdxl M 22 左 F l ddxl F l xdxl M 2 22 右 2 求最大弯矩及其所在截面和小车的位置 当02 dxl时 即 2 dl x 时 小车右轮所在截面上得弯矩为 最大弯矩 max MM 右 令0 d d x M右 得 4 32dl x 此时F l dl M 8 2 2 max 当02 dxl时 即 2 dl x 时 小车左轮所在截面上得弯矩为 最大弯矩 max MM 左 令0 d d x M左 得 4 2dl x 此时F l dl M 8 2 2 max 5 25 图示外伸梁用 a25工字钢制成 其跨长m 6 l 且在全 梁上受集度为 q 的均布载荷作用 当支座处的截面 A B 以及跨中截 面 C 上的最大正应力均为MPa 140 时 试问外伸部分的长度 a 及 载荷集度 q 各等于多少 q a ED B la AC l 2 z y 解解 M 2 2 42 a lq qa2 2 qa2 2 1 求支反力 作弯矩图 2 确定a和q 查表得 25a 号工字钢的 4 cm 5020 z I mm 250 h 对截面 A B 由 z BA I hqa22 2 maxmax 得到 mN 10124 1 10250 1050201014044 5 3 86 2 h I qa z 对截面 C 由 zz C I haq I halq 4 9224 222 max 得到 mN 10124 1 4 9 52 h I aq z 由 解得 kN m 25 q m 12 2 a F l d