311 变化率问题.ppt

3 1导数及其变化率 微积分 Calculus 是研究函数的微分 积分以及有关概念和应用的数学分支 微积分学是微分学和积分学的总称 它是一种数学思想 无限细分 就是微分 无限求和 就是积分 无限就是极限 极限的思想是微积分的基础 它是用一种运动的思想看待问题 极限和微积分的概念可以追溯到古代 到了十七世纪后半叶 牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作 分别独立地建立了微积分学 微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的 可以说它是继欧氏几何后 全部数学中的最大的一个创造 介绍 微积分是与实际应用联系着发展起来的 它在天文学 力学 化学 生物学 工程学 经济学等自然科学 社会科学及应用科学等多个分支中 有越来越广泛的应用 特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展 微分学的主要内容包括 极限理论 导数 微分等 积分学的主要内容包括 定积分 不定积分等 1 1变化率问题 问题1气球膨胀率 在吹气球的过程中 可发现 随着气球内空气容量的增加 气球的半径增加得越来越慢 从数学的角度 如何描述这种现象呢 气球的体积V 单位 L 与半径r 单位 dm 之间的函数关系是 若将半径r表示为体积V的函数 那么 当空气容量V从0L增加到1L 气球半径增加了 随着气球体积逐渐变大 它的平均膨胀率逐渐变小 思考 当空气容量从V1增加到V2时 气球的平均膨胀率是多少 当空气容量V从1L增加到2L 气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 气球的平均膨胀率为 问题2高台跳水 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度h 单位 m 与起跳后的时间t 单位 s 存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态 那么 在0 t 0 5这段时间里 在1 t 2这段时间里 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态 需要用瞬时速度描述运动状态 计算运动员在这段时间里的平均速度 并思考下面的问题 1 运动员在这段时间里是静止的吗 2 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗 探究 观察 3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化 用曲线图表示为 注 3月18日为第一天 问题1 气温陡增 是一句生活用语 它的数学意义是什么 形与数两方面 问题2 如何量化 数学化 曲线上升的陡峭程度 1 曲线上BC之间一段几乎成了 直线 由此联想如何量化直线的倾斜程度 2 由点B上升到C点 必须考察yC yB的大小 但仅仅注意yC yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度 为什么 在考察yC yB的同时必须考察xC xB 函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变 3 我们用比值近似地量化B C这一段曲线的陡峭程度 并称该比值为 32 34 上的平均变化率 4 分别计算气温在区间 1 32 32 34 的平均变化率 现在回答问题1 气温陡增 是一句生活用语 它的数学意义是什么 形与数两方面 平均变化率定义 式子称为函数f x 从x1到x2的平均变化率 令 x x2 x1 y f x2 f x1 则 1 式子中 x y的值可正 可负 但的 x值不能为0 y的值可以为0 2 若函数f x 为常函数时 y 0 3 变式 理解 思考 观察函数f x 的图象平均变化率表示什么 O A B x y y f x x1 x2 f x1 f x2 x2 x1 f x2 f x1 直线AB的斜率 练习 1 甲用5年时间挣到10万元 乙用5个月时间挣到2万元 如何比较和评价甲 乙两人的经营成果 2 已知函数f x 2x 1 g x 2x 分别计算在下列区间上f x 及g x 的平均变化率 1 3 1 2 0 5 3 已知函数f x x2 x的图象上的一点A 1 2 及临近一点B 1 x 2 y 则 y x A 3B 3 x x 2C 3 x 2D 3 x D 4 求y